|
Math.ru
Григорий Александрович Гальперин, Александр Николаевич ЗемляковМ.: Наука, 1990. 288 с.
Серия Библиотечка «Квант», выпуск 77
| |||||||||||
Рассказывается о поведении бильярдного шара на столе произвольной формы без луз. Описание этого поведения приводит к решению разнообразных вопросов математики и механики: задач о переливании жидкости, об освещении зеркальных комнат, об осциллографе и фигурах Лиссажу и др.
На доступном школьникам языке вводятся понятия конфигурационного и фазового пространства, понятия геодезических на простейших двумерных поверхностях, предлагаются (с решениями) многочисленные интересные задачи.
Для школьников 9-10-х классов.
Содержание
Предисловие.
Введение.
Часть I. БИЛЬЯРДЫ В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ.
Глава 1. Бильярд в круге.
§ 1. Шар в круглом бильярде без луз.
§ 2. Теорема Якоби. Применение к теории чисел.
§ 3. Теорема Пуанкаре о возвращении. Конфигурационное и фазовое пространства. Парадокс Цермело и модель Эренфестов.
Глава 2. Бильярд в эллипсе.
§ 4. Эллипс и его бильярдные свойства. Каустики.
§ 5*. Задача об освещении невыпуклой области.
§ 6. Экстремальные свойства бильярдных траекторий. Принцип Ферма и теорема Биркгофа.
Часть II. ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО БИЛЬЯРДА.
Глава 3. Геометрия прямоугольного бильярда.
§ 7. Бильярдный шар на прямоугольном столе без луз.
§ 8. Top и его обмотки.
§ 9. Бильярд в прямоугольнике и тор.
Глава 4. Физика прямоугольного бильярда.
§ 10. Фигуры Лиссажу.
§ 11. Бильярд в прямоугольнике и осциллограф.
§ 12. Задача о пеленге.
Часть III. ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА СТОЛКНОВЕНИЙ.
Глава 5. Одномерный «газ» из двух молекул.
§ 13. Два упруго сталкивающихся шара на отрезке.
§ 14. Два шара на отрезке: сведение к бильярду в треугольнике.
§ 15. Два шара на полупрямой: сведение к бильярду в угле.
Глава 6. Одномерный «газ» из большого числа молекул.
§ 16. Три упругих шара на прямой.
§ 17. n упругих шаров на прямой.
§ 18*. Число столкновений между молекулами одномерного «газа».
Глава 7**. Многомерный «газ».
§ 19. Конфигурационное пространство «газа» из n молекул в пространстве и сосуде.
§ 20. Сведение «газа» в пространстве и сосуде к бильярду.
Часть IV. БИЛЬЯРДЫ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ И МНОГОГРАННИКАХ.
Глава 8. Геометрия многоугольного бильярда.
§ 22. Бильярды в «торических» многоугольниках.
§ 23. Склейка поверхностей из многоугольников.
§ 24. Бильярды в рациональных многоугольниках и поверхности.
Глава 9. Поведение бильярдных траекторий в многоугольниках.
§ 25. Траектории в рациональных многоугольниках и обмотки кренделей.
§ 26. Может ли непериодическая траектория в выпуклом многоугольнике не быть всюду плотной в нем?
§ 27. Периодические траектории в многоугольниках и многогранниках.
Заключение.
Список литературы.
| |||||||||||
Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/bmkvant/77
Математический бильярд. — Алгебра — Факультативы
Просмотр содержимого документа
«Математический бильярд.»
Задачи на переливание
Автор:Мишин Вячеслав Александрович, ученик 9 «А» класса, МОУ «Лицей № 36» города Калуги
Учитель: Фисенко Ирина Андреевна
Цель ю работы
- Является нахождение рационального способа решения алгебраических задач на переливание жидкости.
- Выявить, какие существуют способы решения подобных задач;
- Изучить эти методы.
- Составить алгоритмы решения задач с помощью этих методов.
- Понять при каких условиях решаются эти задачи.
- Объектом исследования являются методы математического бильярда и метод трилинейных координат, их возможность и эффективность применения.
- Предметом исследования является применение методов при решении задач занимательного и олимпиадного характера.
Математический бильярд.
Задача № 2
- В фильме «Крепкий орешек 3: Возмездие», чтобы обезвредить бомбу Брюсу Уиллису необходимо было решить головоломку с переливанием. До взрыва бомбы остается 2 минуты… В распоряжении у него 5-ти литровая и 3-х литровая бутылки и фонтан с водой. Чтобы обезвредить бомбу нужно положить на весы ровно 4 литра воды (4 кг), если больше или меньше, то бомба взорвется.
- Какие переливания нужно совершить Брюсу Уиллису, чтобы обезвредить бомбу?
Решение.
- Строю параллелограмм и отмечаю на нём точки. Соединяю линиями.
- Двигаю шар по траектории.
Ответ.
5 лит. сосуд
3
3 лит. сосуд
0
0
3
3
5
3
0
1
1
1
1
0
4
3
0
Условие разрешимости задач
- Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда.
- Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель. Так как в этом случае шар будет двигаться по одной и той же траектории.
Метод математического бильярда
- Идея метода:
- Нарисовать бильярдный стол.
- Интерпретировать действия движениями бильярдного шара.
- Фиксирование состояния в отдельной таблице.
- Преимущества метода:
- Наглядность.
- Привлекательность идеи.
- Возможность обобщить метод на широкий класс задач.
Алгоритм решения задач на переливание методом математического бильярда.
- 1. Построить геометрическую фигуру, зависимости от количества сосудов.
- 2. На сторонах параллелограмма отме тить точки по количеству литров в сосудах и пронумеровываем их.
- 3. Пос трои ть равно сторонние треугольники.
- 4. Построить и заполнить таблицу.
- 5. Записа ть результаты.
Трилинейные координаты.
Решение задач с помощью трилинейных координат.
- Задача № 3
- «Имеются три бочонка: 16, 11 и 6 — ведёрные. 16 — ведёрный бочонок полон, 11 и 6 — ведёрные пусты. Требуется разделить квас поровну, используя только эти бочонки».
Строю равносторонний треугольник и отмечаю на нём точки. Соединяю линии.
Провожу стрелки по траектории.
Записываем ответы в таблицу.
Боч
16 лит
16
Боч
11 лит.
0
10
Боч
6 лит.
0
10
0
6
4
6
0
4
6
11
6
15
0
1
15
1
9
1
0
1
9
7
3
6
3
7
0
11
6
14
2
0
14
2
8
2
0
8
8
6
6
0
Трилинейные координаты .
- Идея метода:
- Нарисовать равносторонний треугольник.
- Зафиксировать состояния точек в отдельной таблице.
- Преимущества метода:
- Простота.
- Легкость поиска решения.
- Возможность обобщить метод на широкий класс задач.
Трилинейные координаты.
- 1. Построить треугольник, зависимости от количества сосудов.
- 2. На сторонах треугольника отметить точки по количеству литров в сосудах и пронумеровать их.
- 3. Построить равносторонние треугольники внутри большого треугольника.
- 4. Передвигать шар по траектории, внимательно следя за ходами которые мы делаем.
- 5. Записать результаты.
Свои задачи на переливание.
- Задача № 4
- Капитан Немо плавал на своей подводной лодке «Наутилус» в Индийском океане. И вдруг на него нападают пираты и пробивают отсек лодки который должен заполнять балласт водой для погружения. Матросам нужно заполнить балласт водой вручную, как можно быстрее имея 10 тыс. и 6 тыс. бочки. А объём балласта 8 тыс. литров.
Первый вариант.
Второй вариант
Ответ
- Первый вариант оказался самым быстрым.
Бочки.
10 тыс.
10
6 тыс.
0
4
4
6
0
0
4
10
4
8
6
Задача №6
- «Задаю тебе последнюю задачу, — сказала принцесса Иванушке»,- найдешь решение -выйду за тебя замуж.
Задача: У тебя три бочонка: 6-ти ведерный, 3-х ведерный и 4-х ведерный. Налей мне литр кваса из батюшкиных запасов.
Решаю задачу.
Ответ.
Банки
6 л
4 л
6
0
3 л
2
2
4
0
1
5
0
1
3
0
Задача№7
- На водонапорной башне в деревни 50 литров воды. Бабке Матрене нужно 8 литров воды для того чтобы сварить суп. Как водопроводчику с помощью 10 литровой бочки 4 литровым ведром отмерить 8 литров воды?
Строю параллелограмм.
Двигаю шар.
Записываю ответ в таблицу.
сосуды
10л
10
4л
0
6
6
4
0
2
4
2
0
0
10
2
2
8
4
Задача№8
- Кот Матроскин собрался съездить в гости к коту Леопольду и взять с собой 4 л молока. Но Шарик разбил мерный стакан, а у Матроскина только 2 пустых бочонка: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком от любимой коровки. Как Матроскину отмерить 4 литра молока с помощью этих сосудов?
Решаю задачу.
Ответ.
ходы
8л
3л
8
0
3
5л
3
0
0
3
5
6
6
0
2
2
1
2
0
2
1
3
5
4
0
4
4
Подборка по базе: Постановка задачи.docx, Мат задачи для подготовки 1 курс.pdf, кейс задача.docx, ЛД задачи для аккредитации.doc, Тест 6 Повторение. Решение задач.doc, Тест 5 Решение уравнений.doc, постановка задачи.pptx, практикум 3 задача про топливо.docx, Фролова — решение задач.pdf, математика Состав числа в пределах 10. Решение текстовых задач.. Решение задач на переливание с помощью метода математического бильярда Введение В век скоростей и нехватки времени люди начинают искать возможности для совмещения нескольких видов деятельности. Игра в бильярд позволяет совместить занятия спортом, общение и отдых. Бильярд — редкостная игра, дозволяющая усовершенствовать физические и умственные способности человека, помогает научиться быть хозяином своих эмоций, добиваться назначенных целей, с честью вести поединок. Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил известный физик Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Математическая теория явлений бильярдной игры» 1835-го года. Прошло более полутораста лет и математический бильярд по сути превратился в огромное дерево с тьмой отростков и гигантских ветвей. «Теория биллиардов» сегодня имеет важнейшее применение в физике. Поэтому целью данной работы является исследование теории математического бильярда и его применении при решении задач на переливание История возникновения бильярда.Игра в шары – одна из первых игр, о которых имеются исторические сведения. Многие исследователи считают, что именно игры в шары, родиной которых стала Азия, стали основой для появления бильярда. Считается, что китайские купцы завезли простенькую игру в шары в Англию, в период средних веков. И уже англичане, усовершенствовав ее – стали родоначальниками бильярда. В Европе первые упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В Россию бильярд был завезен из Голландии Петром I. и быстро завоевал популярность. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий. Методы решения логических задач на переливание Решать логические задачи очень увлекательно. Половина решения любой логической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами. Есть люди, для которых решение логической задачи – увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Замечательно, что при этом он и не могут объяснить, как они пришли к решению. «Ну, это же очевидно, ясно», – говорят они. «Ведь если …» – и они начинают легко распутывать клубок противоречивых высказываний. «Действительно, все ясно», – говорит слушатель, огорченный тем, что он сам не увидел очевидного рассуждения. Согласитесь, что такое же ощущение часто возникает при чтении детективов. Логические задачи можно решать разными способами. Способы разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Для решения задач на переливания чаще всего используются следующие способы решения: Метод рассуждений; Метод таблиц; Метод блок-схем; Метод бильярда. Метод бильярда. Суть метода заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика по столу особой конструкции с размерами, соответствующими объемам первоначально пустых сосудов. Нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию, необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с законом «угол падения равен углу отражения» и попадание им в требуемые точки по условию задачи. Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма. Задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов В данном разделе рассматриваются задачи, в которых вместо одного из сосудов присутствует бесконечный или большой источник, водоем, из которого можно набирать жидкость любое количество раз, а также сливать жидкость в него. Рассмотрим задачу: как с помощью сосудов объемом 7 и 11 литров и бочкой с водой отмерить 2 литра воды. Как ни странно, но головоломки на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов ромбического стола. Границы таких столов удобнее всего рисовать на бумаге, на которую нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц. 11 литров 11 4 4 0 11 8 8 1 1 0 11 5 5 0 11 9 9 2 7 литров 0 7 0 4 4 7 0 7 0 1 1 7 0 5 5 7 0 7 По горизонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали – та же величина для 7-литрового сосуда. Как же пользоваться диаграммой? Представьте себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11. Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-литровый пуст. Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 7 по вертикали. Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось всего 4 литра воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд. Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения до тех пор, пока он не попадет в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды. Все 18 переливаний изображены схематически. Наклонные стрелки говорят о том, что вода переливается из одного сосуда в другой, а вертикальные означают, что либо вода целиком выливается из меньшего сосуда обратно в бочку, либо больший сосуд надо наполнить водой до краев. Является ли это решение самым коротким? Нет,существует второй путь, когда воду сначала наливают в 7-литровый сосуд. Нарисовав траекторию бильярдного шара, читатель убедится в том, что точка 2 достигается на этот раз за 14 отражений от борта. Полученное решение с 14 переливаниями уже является самым коротким. Задачи на переливание сосудов конечного объема Задача. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды? В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. Главная диагональ параллелограмма разделена на 8 равных частей, относится к 8-литровому сосуду. Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны в точке А. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке В, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд. Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы, в конце концов, мы попадаем в точку, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице. Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. Если на диаграмме шар из точки О покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне параллелограмма и т.д., то получим более короткое решение задачи. Можно показать, что полученное решение с 6 переливаниями уже является самым коротким. Заключение Для выяснения того, является ли применение метода математического бильярда к решению задач на переливание универсальным способом решения задач данного класса, нами были рассмотрены различные способы решения логических задач на переливание. При рассмотрении способов решения задач на переливание установлено, что все задачи имеют как минимум два способа решения, одно из которых всегда более рационально, но для того, чтобы установить, какое, надо рассмотреть разные варианты решений. В работе подробно рассмотрено применение «Метода бильярда» к решению задач на переливание. Приведены модели таких задач, условия разрешимости и алгоритмы решения с помощью рассматриваемой модели. Выяснено, что данный подход позволяет быстро оценить, все ли объемы можно получить, т.е. во всех ли точках бильярдного стола мы сможем оказаться или же получение каких-то объемов невозможно. Этот метод дает единообразный и систематический подход к решению задач на переливания. Задачи для контроля Две группы туристов готовятся к походу. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В лагере имеется 10- литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом? Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9- литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров? Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока? Домашнее задание На другой год Вини-Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра – 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам? Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления «Зеленый великан» требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана. |
Физико-математический бильярд — Quincunx.: ru_math — LiveJournal
Многие из нас помнят, как на лекции по теории вероятностей приносили так называемую доску Гальтона, чтоб продемонстрировать нормальное распределение, так часто встречающееся в статистике. Фокус не всегда удавался.
Доска Гальтона устроена очень просто. В доску в несколько рядов набиты гвозди или металлические штырьки. Набиты они в регулярном порядке, так чтоб каждый следующий ряд был сдвинут ровно на половину расстояния между гвоздями в предыдущем ряду. Так часто сажают деревья в садах, отсюда и название, которое дал Гальтон этой демонстрации — Quincunx.
Доска ставится вертикально и сверху через воронку сыплется дробь — стандартные металлические шарики диаметра сравнимого с диаметром гвоздей, вбитых в доску Гальтона. Расстояние между гвоздями в каждом ряду и между самими рядами гвоздей в несколько раз больше диаметра дробинок, так что после нескольких соударений с гвоздями все дробинки просыпаются вниз в специально подставленный ряд ящичков.
Получающаяся картинка множества дробинок, собранных в ящички, сильно напоминает знакомые всем статистические гистограммы. Обычно лектор еще и говорит, что получается колоколобразное распределение, потому что в результате множества независимых случайных отскоков «вправо-влево» все дробинки перемешиваются. Еще он говорит, что так как дробинок и отскоков много, то работает «Закон Больших Чисел» и в результате получается нормальное распределение или распределение Гаусса.
Не тут-то было. Проблема в том, что нормальное распределение при демонстрации получается не всегда. Чаще всего получается достаточно нерегулярно устроенное многогорбое распределение, никак не напоминающее гладкое нормальное распределение.
Известно, что сам Гальтон провел несколько месяцев, экспериментируя с разными шариками и штырьками, прежде чем подобрал примерно геометрию и материал для более-менее стабильной демонстрации чего-то хоть как-то похожего на нормальное распределение.
А распределения получаются действительно странные и многогорбые. Вот, например:
Дело в том, что траектории дробинок — нелинейные, да и вид распределения в результате зависит от соотношения многих параметров в задаче. Задачка похожа на математический бильярд, но не с прямолинейными траекториями, а с параболическими.
Вот еще одна иллюстрация, где «дробинка» падает вертикально на верхний левый «гвоздь» и после 13 отскоков вылетает вниз (к ящикам). Рядов гвоздей здесь всего пять. Радиус белых кружков равен сумме радиусов «дробинки» и «гвоздя». Показана траекория центра дробинки, состоящая из дуг разных парабол. Считается, что ускорение силы тяжести направлено вниз и дробинка отскакивает от гвоздей абсолютно упруго.
Вот здесь есть та же картинка поподробнее:
http://finmath.com/Quincunx1.jpg ~80Kb
http://finmath.com/Quincunx2.jpg >1Mb
Даже в такой простой системе, состоящей всего из нескольких рядов гвоздей, при некоторых соотношениях геометрических параметров и начальных условий, дробинка может проводить в системе довольно долгое время и совершать сотни и тысячи отскоков от гвоздей, прежде чем вылетать вниз к ящикам.
Несколько лет назад я обсуждал эту задачку с Синаем и Бунимовичем, тогда ничего подобного не было в литературе, но с тех пор ситуация могла измениться.
Вопрос к уважаемой публике: кто-нибудь где-нибудь встречал публикации о бильярдах с параболическими траекториями?
Метод бильярда решения задач на переливания | Проекты
Различные математические теории своим рождением обязаны играм. Так, анализ игр в кости и карты привел к развитию теории вероятностей, а игра в бильярд послужила предметом научных исследований по механике и математике. В книге известного французского физика Гаспара Густава Кориолиса, написанной им в 1835 г. приводится описание движения бильярдного шара (с учетом трения) на прямоугольном столе с лузами [1]. Это самое первое издание, в котором содержится подробное исследование систем бильярда, поэтому математическая теория бильярдных систем сравнительно молодая ветвь математической науки.
В данной работе изучается применение бильярдных систем к решению задач на переливания. К простейшим бильярдным системам относится «бильярд в плоской области» (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т. д.). [1,2]. Общим свойством таких систем является закон абсолютно упругого отражения. Этот закон позволяет применять метод бильярда к исследованию геометрических, арифметических и физических величин.
Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, имеют вид традиционной геометрии, а с другой — относятся к новейшим отраслям современной математики и механики. Как показано в работе, метод бильярда достаточно простой и наглядный, однако он позволяет исследовать сложнейшие физические процессы. С настоящее время в некоторых ВУЗах изучают метод математического бильярда, что облегчает студентам практическое применение сложных законов физики и математики. Многие ученые рассматривают бильярд как модель познания законов природы [1].
Актуальность темы работы следует из большой практической значимости метода бильярдных систем для проведения современных научных исследований в математике и механике. Изучение этого метода и его применение для решения логических задач на переливания позволит познакомиться с методом современной математики и взглянуть по-новому на решаемые традиционно табличным или методом рассуждений задачи любому школьнику. А конструирование модели математического бильярда и написание программы, моделирующей процесс решения задачи, делает это решение нагляднее иинтереснее.
Гипотеза работы заключается в том, что метод бильярда, являясь строгим научным и математически сложным методом, позволяющим решать сложные физические задачи, оказывается оптимальным методом решения логических задач на переливания — достаточно простым и наглядным, а реальная и компьютерная модели бильярда в этом помогает и позволяют пользоваться эти методом уже ученикам младшихклассов.
Целью работы является исследование и применение метода бильярда к решению задач на переливания, проверка его оптимальности, а также конструирование реальной и компьютерной модели, позволяющих использовать этот метод на практике.
Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:
изучена литература по даннойтеме;
исследован метод математическогобильярда и его применение при решении практических задач, в частности, для решения задач напереливания;
рассмотрены различные виды логических задач на переливания и способы ихрешения;
- решено большое количество различных задач разнымиметодами;
на основе выполненных решений проведен анализ и сравнение различных методов решения таких задач и выбран оптимальныйметод;
сконструирована модель, позволяющая применять метод бильярда на практике для решения задач напереливания;
написана программа на языке С++, позволяющая проиллюстрировать процесс решения задачи напереливания.
В ходе выполнения работы использовались следующие методы: анализ литературы и интернет источников, различные методы решения задач на переливания, сопоставление методов по их применению к решению задач, конструирование модели математического бильярда, написание программы на языке программированияС++.
Исследование метода математического бильярда, проведенный в работе анализ различных методов решения задач на переливания, доказательство оптимальности метода бильярда для решения таких задач и конструирование моделей, особенно компьютерной, для его применения к решению задач на практике, характеризуют новизну и практическую значимость работы.
Возможность использования данного метода доказана в [3] и приведена в работе. В ходе ее выполнения подробно изучен метод бильярда в случае, когда границами служит параллелограмм, для этого же случая сконструированы реальная и компьютерная модели (приведены в приложении), позволяющие применить этот метод на практике и этого достаточно для решения задач на переливания. Исследование может быть продолжено в плане изучения различных бильярдных областей для решения других практических задач, а также в плане написания программы, позволяющей проводить решение более сложных задач на переливания, требующих дополнительного анализа и ограничений прирешении.
Список использованной литературы
1. Гальперин Г.А. Математические бильярды [текст]/ Земляков А.Н., Гальперин Г.А — М.: Наука,
1990.
2. Земляков А.Н., Арифметика и геометрия столкновений [текст]/ Земляков А.Н. // Квант. 1978. №4.
3. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии [текст] / Протасов В.Ю. – М.: МЦНМО,
2005.
Автор: Фролова Наталия Сергеевна,
7 класс, МАОУ «Лицей 44» г.Липецка
Научный руководитель:
Иванова Ольга Евгеньевна, учитель математики, руководитель НЛО МАОУ «Лицей 44» г.Липецка
Математические бильярды, часть 1 — PressF — студенческий журнал
Ты – с нами. Ты – на ПМиИТе. А это значит, что тебе, как минимум, нравится математика, а возможно, ты даже принимал участие (и одерживал победы, конечно же!) в различных олимпиадах по тематике царицы наук.
Наверняка тебе знакома формулировка: имея сосуды 3 л и 5 л, получить 4 л воды. Звучит просто? Возможно… Знаешь алгоритм решения? Здорово! А сегодня мы поделимся с тобой необычным способом решения данной задачи. В этом нам помогут малоизвестные математические бильярды. Бери тетрадь, ручку и присаживайся поудобнее…
Математический бильярдный стол – это параллелограмм с углами 60° и 120°, стороны которого равны объёмам сосудов (в нашем случае 3 и 5). По сути, мы имеем область I (верхнего правого) угла координатной плоскости, скошенного вправо. Область ограничена скошенными прямыми x = 5, y = 3. Весь стол расчерчен параллельными прямыми на равносторонние треугольники.
Главным действующим лицом является бильярдный шар. Он двигается по следующим правилам:
- Может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме.
- После удара о стороны отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. Выйти из этой точки шарик может только под углом 60°!
При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.
Итак, вернемся к нашей задаче.
Что имеем?
Стороны параллелограмма 3 и 5 единиц, прямые параллельные линии, расчерчивающие нашу плоскость, и шарик (рис.1). В бой!
Рис.1Решение
Будем следить за движением шарика и анализировать каждую точку его удара о борт стола. Начинаем в точке (0;0).
1) Точка удара (5; 0): полностью наполняем водой пятилитровый сосуд (рис.2).
Рис.22) Точка удара (2; 3): переливаем 3 литра в маленький сосуд, 2 литра остается в большом (рис.3).
Рис.33) Точка удара (2;0): полностью выливаем воду из маленького сосуда (рис.4).
Рис.44) Точка удара (0;2): переливаем оставшиеся два литра воды в маленький сосуд.
5) Точка удара (5;2): снова до краёв наполняем пятилитровый сосуд водой.
6) Точка удара (4;3): доливаем воду из большого сосуда в маленький (ответ уже у нас в руках)
7) Доводим до идеала: точка удара (4;0). Бинго! Получили заветные 4 литра.
Таким образом, уже за 6 шагов мы получили правильный ответ. На рис.5 представлен весь «путь».
Рис.5Примечателен тот факт, что «запускать» шар можно в любую сторону (т.е. можно начать с точки удара (0;3)), а значит, получить 4 литра в задаче можно двумя способами. Один мы разобрали, второй – оставили для тебя!
Для самых любознательных читателей мы подготовили несколько вопросов для размышления.
- Какое максимальное количество литров мы можем отмерить сосудами 3 л и 5 л?
- Можно ли получить 6, 7, 8 литров воды, используя сосуды 3 л и 5 л?
- Можно ли получить 5 литров воды, используя сосуды 6 л и 2 л?
Ответы опубликуем в следующей части статьи.
Надеемся, тебе понравился наш маленький туториал и ты с удовольствием решишь эту задачку вторым способом. Для более глубоко изучения данной темы рекомендуем к прочтению учебник «Математические бильярды» (авторы Гальперин Г.А., Земляков А.Н.).
Введение в математический бильярд: 9789813276468: Уткир А Розиков: Книги
У.А. Розиков родился 20 мая 1970 года в Бухаре, Узбекистан. Профессор Института математики Академии наук Узбекистана, г.Ташкент, Узбекистан. Окончил Самаркандский государственный университет (1993 г.) с отличием. Он был победителем нескольких математических олимпиад. Получил степень кандидата технических наук (1995 г.) и доктора физико-математических наук (2001 г.) в Институте математики г. Ташкента.
Профессор Уткир Розиков – всемирно известный специалист в области вероятностей, математической физики и анализа, специализирующийся на динамических системах и статистической механике на графах. Он представляет сильную ташкентскую научную школу, выросшую из семинара Добсрушина–Минлоса–Синай в Москве в 1960–70-х годах. Розиков внес значительный вклад в глубокий анализ состояний Гиббса в актуальных моделях статистической механики на деревьях (Изинг, Поттс, SOS), в частности со случайными взаимодействиями и/или во внешнем поле.Он продвигал новые инструменты для изучения мер Гиббса на графах, такие как теория представления групп, информационные потоки, взвешенные по узлам случайные блуждания, контурные методы на деревьях и нелинейный анализ. Розиков также выдвинул идею изучения p-адических динамических систем, относящихся к многомасштабным и/или хаотическим системам, в применении к статистической механике на деревьях и графах Кэли неаменабельных групп. Его более поздние интересы сосредоточены на алгебрах эволюции сцепленных с полом популяций с целью включения термодинамики в модели математической биологии.
Розиков исключительно плодовитый автор: с 1995 года он опубликовал более 140 статей в ведущих журналах, в том числе 12(!) статей во флагманском Journal of Statistical Physics (импакт-фактор 1.202), а также в Lett. Мат. физ. (1.939), Комм. Мат. физ. (2.086), J. Stat. мех. Теория Эксп. (2.404), J. Math. Анальный. заявл. (1.120) и др. В частности, в 2013 году он опубликовал обширную обзорную статью (112 страниц) в Rev. Math. физ. (1.329), за которой следует авторитетная исследовательская монография «Меры Гиббса на деревьях Кэли» (World Scientific, 2013).Он также опубликовал учебник «Введение в математический бильярд» (World Scientific, 2019).
Розиков был приглашенным профессором и приглашенным исследователем во многих университетах и научных центрах Франции, Германии, Италии, Испании, Великобритании, Швейцарии и Турции.
Среди его наград: премия посольства Японии; премия Академии наук Узбекистана; Премия TWAS для молодых ученых; Медаль «Узбекистон белгиси» от правительства Узбекистана. Он получил исследовательские гранты от TWAS, DFG и НАТО, а также стипендии, присужденные CNR (Италия), CNRS (Франция), ICTP (Триест, Италия), CPT & IMéRA (Марсель) и др.Его часто приглашают на семинары и семинары за границей, и он тесно сотрудничает с некоторыми ведущими исследователями по всей Европе (Франция, Германия, Италия, Испания, Великобритания, Швейцария).
В настоящее время Розиков работает над вещественными и p-адическими мерами Гиббса для спиновых систем статистической механики на графах. Кроме того, он развивает теорию динамических систем и эволюционных алгебр популяционной биологии.
Розиков, Уткир A: 9789811221255: Amazon.com: Books
U.А. Розиков родился 20 мая 1970 года в Бухаре, Узбекистан. Профессор Института математики Академии наук Узбекистана, г.Ташкент, Узбекистан. Окончил Самаркандский государственный университет (1993 г.) с отличием. Он был победителем нескольких математических олимпиад. Получил степень кандидата технических наук (1995 г.) и доктора физико-математических наук (2001 г.) в Институте математики г. Ташкента.
Профессор Уткир Розиков – всемирно известный специалист в области вероятностей, математической физики и анализа, специализирующийся на динамических системах и статистической механике на графах.Он представляет сильную ташкентскую научную школу, выросшую из семинара Добсрушина–Минлоса–Синай в Москве в 1960–70-х годах. Розиков внес значительный вклад в глубокий анализ состояний Гиббса в актуальных моделях статистической механики на деревьях (Изинг, Поттс, SOS), в частности со случайными взаимодействиями и/или во внешнем поле. Он продвигал новые инструменты для изучения мер Гиббса на графах, такие как теория представления групп, информационные потоки, взвешенные по узлам случайные блуждания, контурные методы на деревьях и нелинейный анализ.Розиков также выдвинул идею изучения p-адических динамических систем, относящихся к многомасштабным и/или хаотическим системам, в применении к статистической механике на деревьях и графах Кэли неаменабельных групп. Его более поздние интересы сосредоточены на алгебрах эволюции сцепленных с полом популяций с целью включения термодинамики в модели математической биологии.
Розиков исключительно плодовитый автор: с 1995 года он опубликовал более 140 статей в ведущих журналах, в том числе 12(!) статей во флагманском Journal of Statistical Physics (импакт-фактор 1.202), а также в лат. Мат. физ. (1.939), Комм. Мат. физ. (2.086), J. Stat. мех. Теория Эксп. (2.404), J. Math. Анальный. заявл. (1.120) и др. В частности, в 2013 году он опубликовал обширную обзорную статью (112 страниц) в Rev. Math. физ. (1.329), за которой следует авторитетная исследовательская монография «Меры Гиббса на деревьях Кэли» (World Scientific, 2013). Он также опубликовал учебник «Введение в математический бильярд» (World Scientific, 2019).
Розиков был приглашенным профессором и приглашенным исследователем во многих университетах и научных центрах Франции, Германии, Италии, Испании, Великобритании, Швейцарии и Турции.
Среди его наград: премия посольства Японии; премия Академии наук Узбекистана; Премия TWAS для молодых ученых; Медаль «Узбекистон белгиси» от правительства Узбекистана. Он получил исследовательские гранты от TWAS, DFG и НАТО, а также стипендии, присужденные CNR (Италия), CNRS (Франция), ICTP (Триест, Италия), CPT & IMéRA (Марсель) и др. Он часто выступает с докладами на симпозиумах и семинарах за границей и тесно сотрудничает с некоторыми ведущими исследователями по всей Европе (Франция, Германия, Италия, Испания, Великобритания, Швейцария).
В настоящее время Розиков работает над вещественными и p-адическими мерами Гиббса для спиновых систем статистической механики на графах. Кроме того, он развивает теорию динамических систем и эволюционных алгебр популяционной биологии.
Бильярд
БильярдИгра в бильярд проводится на прямоугольном столе (известном как бильярдный стол), на котором шары помещены. Затем по одному шару («битку») ударяют концом «битка», заставляя его отскакивать от других. шары и отражаются от стенок стола.Настоящий бильярд может включать в себя вращение шара так, что он не движется по прямой, но математическое изучение бильярда обычно состоит из Отражения, в которых углы отражения и падения совпадают. Однако странные формы стола такие как круги и эллипсы часто рассматриваются. Много интересных задач можно возникают.
Дан прямоугольный бильярдный стол только с угловыми лузами и сторонами целочисленной длины и (с и Относительно простой), мяч, отправленный под углом 45° из угла, будет забит в другой угол после отскока. (Стейнхаус, 1983, с.63).
Бильярдная задача Альхазена пытается найти точку на краю круглого «бильярдного» стола в которым должен быть нацелен биток в данной точке, чтобы один раз ударить по краю стола и ударить по другому шару. вторая заданная точка. Только в 1997 году Нейман доказал, что проблема неразрешима с помощью компаса и Конструкция линейки.
На эллиптическом бильярдном столе огибающая траектории — это меньший эллипс, Гипербола, линия, проходящая через фокусы эллипса или периодическая кривая (т.грамм., Ромбовидная) (Wagon 1991).
См. также Бильярдная задача Альхазена, Задача о бильярдном столе, Свойство отражения
Каталожные номера
Дэвис, Д.; Юинг, К.; Он, З.; и Шен Т. «Симуляция бильярда». http://serendip.brynmawr.edu/chaos/home.html.
Даллин, Х. Р.; Рихтер, П. Х.; и Виттек, А. «Двухпараметрическое исследование степени хаоса в бильярдной системе». Хаос 6 , 43-58, 1996.
Мадачи, Дж.S. «Прыгающие бильярдные шары». В Madachy’s Mathematical Recreations. Нью-Йорк: Довер, стр. 231–241, 1979 г.
Neumann, P. Представлено в амер. Мат. Ежемесячно.
Паппас, Т. «Математика бильярдного стола». Радость математики. Сан-Карлос, Калифорния: Wide World Publ./Tetra, с. 43, 1989.
Петерсон, И. «Бильярд в раунде». http://www.sciencenews.org/sn_arc97/3_1_97/mathland.htm.
Штейнхаус, Х. Математические снимки, 3-е американское изд. Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета, 1983.
Вагон, С. «Бильярдные дорожки на эллиптических столах». §10.2 в Mathematica в действии. Нью-Йорк: WH Freeman, стр. 330-333, 1991.
© 1996-9 Эрик В. Вайсштейн
1999-05-26
ВНЕШНИЕ НОВОСТИ — Леонид Бунимович о бильярде и хаосе в Scilight | школа математики | Технологический институт Джорджии
При переходе от математического бильярда к физическому бильярду, где шар из точечной частицы становится положительным радиусом, может показаться интуитивным предположить, что между ними не существует категорического различия.Новый документ с доказательством концепции Леонида Бунимовича говорит об обратном. Бунимович обнаружил, что по мере увеличения радиуса физического бильярдного шара изменение поведения всей системы эквивалентно моделированию математического бильярда с меньшим столом. С увеличением радиуса геометрия системы эволюционирует. Например, некоторые части стола могут стать недоступными для мяча. Это приводит к прогрессированию в динамике системы между математическим и физическим случаями, и она может стать более или менее хаотичной с изменением радиуса.
Выдержка из статьи в Scilight https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.5128222
При переходе от математического бильярда к физическому бильярду, где шар из точечной частицы становится положительным радиусом, может показаться интуитивным предположить, что между ними не существует категорического различия. Новое доказательство концепции Леонида Бунимовича говорит об обратном.
Бунимович обнаружил, что по мере увеличения радиуса физического бильярдного шара изменение поведения всей системы эквивалентно моделированию математического бильярда с меньшим столом.С увеличением радиуса геометрия системы эволюционирует. Например, некоторые части стола могут стать недоступными для мяча. Это приводит к прогрессированию в динамике системы между математическим и физическим случаями, и она может стать более или менее хаотичной с изменением радиуса.
— Все возможно, — сказал Бунимович. «Существуют различные типы переходов от порядка к хаосу и от хаоса к порядку».
Статья: «Физический и математический бильярд: от регулярной динамики к хаосу и обратно», Л.А. Бунимович, Хаос (2019). Доступ к статье можно получить по адресу https://doi.org/10.1063/1.5122195.
Техническое доказательство (TP) — Принципы игры в бильярд и пул, методы, ресурсы
Общие сведения о физике и математические формулы, поддерживающие многие принципы из раздела Иллюстрированные принципы игры в пул и бильярд .
ПРИМЕЧАНИЕ. Эта информация будет интересна только людям с хорошим физико-математическим образованием.
Действуйте на свой страх и риск.
Доктор Дэйв поддерживает этот сайт без рекламы, без рекламы . Если вы цените бесплатные ресурсы , подумайте о том, чтобы сделать разовое или ежемесячное пожертвование , покажите свою поддержку :
Глава 4 – Spin and English Глава 6 – Банк и кик-шоты- ТП Б.1 – Угол разбрызгивания, длина поворота и размер наконечника
- TP B.2 – Сопротивление качению, сопротивление вращению и «поворот мяча»
- TP B.3 – Калибровка броска и контурные графики для различных углов резания, скоростей, английский, и кувырок
- TP B.4 – Скорость удара и ускорение в зависимости от расстояния
- TP B.5 – Перекатывание CB, прыжки с прямым попаданием и расстояния перемещения шара
- TP B.6 – Длина перемещения стола битка для разных скоростей , учет потерь на отскок и лобовое сопротивление рельса
- TP B.7 – Влияние брызг на количество вращения
- TP B.8 – Физика ничьего выстрела
- TP B.9 – Вращение ничьего выстрела в зависимости от коэффициента вращения
- TP B.10 – Эффекты возвышения реплики ничьего выстрела
- TP B .11 – Система зеркального удара в точке контакта с малым углом
- TP B.12 – Оптимальная высота кончика для контроля скорости/расстояния
- TP B.13 – Приблизительные значения угла поворота катящегося битка
- TP B.14 – Кий для ничьего удара аппроксимации угла шара
- TP B.15 – расчеты геометрии кармана
- TP B.Рис. ) эффекты «конечной массы» и жесткости
- TP B.20 – Пиковые силы и расстояние контакта наконечника во время разбивающего удара
- TP B.21 – Эффекты комбинированного броска с малым зазором
- TP B.22 – Как пиковое контактное усилие наконечника и размер пятна контакта зависит от скорости выстрела и испытаний на падение
- TP B.23 – Контрольная точка поворота, необходимая для известного угла CB Carom
- TP B.24 – Оценка угла поворота CB Carom с 1/4 контрольной точки
- TP B.25 – Процент бокового вращения, необходимый для максимального SIT при любом угле среза
- TP B .26 – Процентное отношение BHE/FHE Pivot к Cue Natural Pivot Length
Доктор Дэйв поддерживает этот сайт без рекламы, без рекламы . Если вы цените бесплатные ресурсы , подумайте о том, чтобы сделать разовое или ежемесячное пожертвование , покажите свою поддержку :
Команда США выигрывает международную олимпиаду по математике, эллиптический бильярдный стол и решает загадку «Крепкий орешек» с помощью математического бильярда – помните о своих решениях
..
«Все будет хорошо, если вы будете использовать свой разум для принятия решений и думать только о своих решениях.» С 2007 года я посвятил свою жизнь разделению радости теории игр и математики. MindYourDecisions теперь содержит более 1000 бесплатных статей без рекламы благодаря поддержке сообщества! Помогите и получите ранний доступ к публикациям с залогом на Patreon.
..
Это третий пост в моей новой серии, цель которой — поделиться лучшим математическим контентом в Интернете.
1.Команда США выиграла олимпиаду по математике
Первый пункт — поздравление сборной США.
Среди членов сборной США были Райан Алвейс, Аллен Лю, Ян Лю, Шьям Нараянан и Дэвид Стоунер, все из которых были награждены золотыми медалями, а Майкл Курал, заработавший серебряную медаль, всего в одном очке от золота. . В последний раз команда США занимала первое место в 1994 году.
Экзамен длится 2 дня, каждый день нужно ответить на 3 вопроса за 4.5 часов.
Экзамен в этом году считался очень сложным. Вот пример задачи:
Если вы хотите попробовать решить задачу, то не читайте спойлеры ниже…
Эта необычная задача на самом деле связана с жонглированием! Я узнал об этом из Reddit Math. Изначально это было размещено в искусстве решения проблем).
Вот идея: существует нотация математического жонглирования, называемая sitewap, где каждый элемент a t – 1 представляет высоту мяча, подброшенного в момент времени t .То есть мяч подбрасывается в точке t , а затем приземляется в точке a t – 1 + t . Например, обычная последовательность жонглирования тремя мячами соответствует a t = 4, а последовательность 3, 3, 3, …
. Затем задачу можно переформулировать в терминах жонглирования b мячами. а значение, подлежащее ограничению, представляет собой сумму высот шаров. (Поэтому название b для мячей внезапно обретает смысл).
Звучит безумно? Ну вообще-то соавтор задачи подтвердил, что другой соавтор жонглирует искусством решения задач.
Вот ссылка на все проблемы: 2015 Проблемы ИМО.
2. Эллиптический стол для пула
Стандартный стол для пула или бильярда имеет прямоугольную форму. Алекс Беллос пишет о новом виде стола, который он построил в форме эллипса.
Эллипсы — это фигуры, имеющие два фокуса, и если вы стреляете из одного фокуса, мяч всегда будет отскакивать от другого фокуса.
Вот видео, иллюстрирующее эллиптический бильярдный стол.
Эллиптический бильярдный стол
Трудность на практике заключается в том, чтобы бить с правильной силой.
3. Графическое решение головоломки «Крепкий орешек»
У вас есть ведра на 3 и 5 галлонов и неограниченное количество воды. Как отмерить ровно 4 галлона?
Это одна из моих любимых загадок и самых популярных постов.
Mathologer представляет замечательное графическое решение, относящееся к бильярду и пулу!
В следующем видео показана сцена из фильма и сначала представлено стандартное решение.Вы можете перейти к 3:08, если хотите просто посмотреть решение для бильярда.
Как не умереть крепко
Я также узнал из Reddit Math, что эту тему освещал Мартин Гарденер в 1963 году — он опередил свое время! См. Прыгающие мячи в многоугольниках и многогранниках.
Еще несколько интересных историй
Ученые ЦЕРН открыли пентакварк. Это новый вид частиц, который был предсказан математически, но никогда не предполагалось, что он существует на самом деле, потому что он такой странный.
Дети лучше изучают математику, если вы даете им понять ее. Может не стоит давать ответы на ребусы?
Понимание различных способов округления чисел. Существует больше способов, чем просто округлить в большую сторону, округлить в меньшую сторону и округлить до ближайшего целого числа. Есть причины округлять четные десятичные числа иначе, чем нечетные десятичные.
Эдвард Френкель Спросите меня о чем угодно: это дискуссия на Reddit с Эдвардом Френкелем, который является «профессором математики в Калифорнийском университете в Беркли и автором бестселлера New York Times Любовь и математика ».”
Наткнулись ли вы на какую-нибудь замечательную математическую информацию, которой стоит поделиться? Дайте мне знать! Отправьте мне электронное письмо [email protected], и ссылка может появиться в моей следующей коллекции.
МОИ КНИГИ
Если вы совершаете покупку по этим ссылкам, я могу получить компенсацию за покупки, сделанные на Amazon. Как партнер Amazon я зарабатываю на соответствующих покупках. Это не влияет на цену, которую вы платите.
Рейтинги книг по состоянию на январь 2022 года.
(ссылки для США и всего мира)https://mindyourdecisions.com/blog/my-books. Теория
(3) Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предубеждения
(4) Лучшие математические приемы
(5) Умножение чисел путем рисования линий
Радость теории игр показывает, как вы можете использовать математика, чтобы перехитрить своих конкурентов.(оценка 4,2/5 звезд в 224 отзывах)
40 парадоксов в логике, теории вероятностей и теории игр содержит наводящие на размышления и противоречивые результаты. (оценка 4,1/5 звезд в 38 обзорах)
Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предубеждения — это руководство, в котором объясняется множество причин, по которым мы предвзято относимся к принятию решений, и предлагаются методы принятия разумных решений. (оценка 4/5 звезд в 24 отзывах)
Лучшие математические трюки в уме учит, как можно выглядеть математическим гением, решая задачи в уме (оценка 4.2/5 звезд за 76 обзоров)
Умножение чисел путем рисования линий Эта книга является справочным пособием для моего видео, которое набрало более 1 миллиона просмотров по геометрическому методу умножения чисел. (оценка 4,3/5 звезд в 30 обзорах)
Размышляйте над головоломками представляет собой сборник из трех книг «Математические головоломки», тома 1, 2 и 3. Темы головоломок включают математические предметы, включая геометрию, вероятность, логика и теория игр.
Math Puzzles Volume 1 содержит классические головоломки и загадки с полными решениями задач по счету, геометрии, вероятности и теории игр.Том 1 получил оценку 4,4/5 звезд по 87 отзывам.
Математические головоломки, том 2 — это продолжение книги с большим количеством больших задач. (оценка 4,1/5 звезд по 24 отзывам)
Math Puzzles Volume 3 — третья книга в серии. (оценка 4,2/5 звезд по 22 отзывам)
KINDLE UNLIMITED
Преподаватели и студенты со всего мира часто пишут мне по электронной почте о книгах. Поскольку образование может иметь такое огромное влияние, я стараюсь сделать электронные книги доступными как можно большему числу людей по минимально возможной цене.
В настоящее время вы можете читать большинство моих электронных книг через программу Amazon «Kindle Unlimited». Включенный в подписку, вы получите доступ к миллионам электронных книг. Вам не нужно устройство Kindle: вы можете установить приложение Kindle на любой смартфон/планшет/компьютер и т. д. Ниже я собрал ссылки на программы в некоторых странах. Пожалуйста, проверьте доступность и условия программы на местном веб-сайте Amazon.
США, список моих книг (США)Великобритания, список моих книг (Великобритания)
Канада, список моих книг (CA)
Германия, список моих книг (Германия)
Франция, список моих книг (Франция)
Индия , список моих книг (IN)
Австралия, список моих книг (AU)
Италия, список моих книг (IT)
Испания, список моих книг (ES)
Япония, список моих книг (JP)
Бразилия, книга результаты (BR)
Мексика, результаты книги (MX)
ТОВАРЫ
Возьмите кружку, футболку и многое другое на официальном сайте товаров: Принимайте решения в Teespring .
Геометрия и бильярд | Математическая ассоциация Америки
Геометрия и бильярд запускает новую коллекцию — часть серии «Студенческая математическая библиотека», опубликованную совместно Американским математическим обществом и программой Mathematical Advanced Study Semesters (MASS). Планируется, что каждая книга в коллекции будет основана на конспектах лекций для курсов углубленной подготовки бакалавриата по программе MASS или программе REU (Research Experiences for бакалавриат) в Penn State.Все они предназначены для того, чтобы быть автономными и касаться нестандартных математических тем, доступных для студентов, прошедших два года обучения по математике в колледже.
Математический бильярд — это изучение движения точечной массы по области с упругими отражениями от границы (при естественном требовании равенства угла падения и угла отражения). Это не единая математическая теория, а своего рода игровая площадка, где можно опробовать различные методы и подходы.Мотивация для математического бильярда исходит из динамических систем, геометрии и физики, и особенно из геометрической оптики.
Ключевые вопросы, возникающие в математическом бильярде, обычно связаны с взаимосвязью между геометрией области — в частности, формой ее границы — и характером возникающей в результате динамики. Для эллиптической области динамика хорошо себя ведет в том смысле, что бильярдное отображение T интегрируемо: существует гладкая функция (называемая интегралом или интегралом движения) на фазовом пространстве системы, которая постоянна на каждой траектории Т.Противоположной крайностью является хаотический бильярд, возникающий, например, в квадратной области с круглым препятствием в центре. Более распространены смешанные примеры, такие как грибной бильярд, где движение интегрируемо в шляпке гриба и хаотично в ножке с непрерывным переходом между ними.
Более геометрический вопрос — существование каустик. Каустика — это огибающая отраженных лучей для данной бильярдной траектории. Каустики для эллиптического бильярда представляют собой конфокальные эллипсы. Вообще какие еще плоские выпуклые биллиарды с гладкой границей имеют каустики? Оказывается, это тонкий вопрос, на который можно ответить с помощью мощных методов теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера о возмущениях интегрируемых систем.
Геометрия и бильярд касается кругового и эллиптического бильярда, а также бильярда в кониках, квадриках и многоугольниках. Есть также разделы по бильярду и интегральной геометрии, периодическим бильярдным траекториям, каустикам и двойственному бильярду. Отступлений великое множество. Хотя отступления могут быть поучительными или забавными, здесь их слишком много. В некоторых главах они кажутся полностью доминантными до такой степени, что трудно уследить за основным содержанием главы.Хотя цель книги, кажется, состоит в том, чтобы представить множество математических идей в контексте бильярда, повествование настолько прыгает, что трудно разобрать тему. Большинство тем рассматриваются так быстро, что читатель едва ли получает представление об описываемой концепции.
Книга, однако, содержит множество увлекательных идей. Если у студента есть склонность погрузиться в идею, которую он или она могли бы развивать более подробно, то это был бы потрясающий источник.
Билл Сатцер ([email protected]) – старший научный сотрудник компании 3M, занимающийся вопросами интеллектуальной собственности. Ранее он был руководителем лаборатории 3M по композитам и электромагнитным материалам. Его подготовка связана с динамическими системами и особенно с небесной механикой; его текущие интересы широко связаны с прикладной математикой и преподаванием математики. .