4D куб: характеристики, фото и отзывы покупателей

Гиперкуб

Гиперкуб

Ещё когда я был студентом-первокурсником у меня с одним моим одногруппником вышел горячий спор. Он говорил, что четырёхмерный куб представить нельзя ни в каком виде, а я уверял, что его можно представить достаточно отчётливо. Тогда я даже сделал из скрепок проекцию гиперкуба на наше трёхмерное пространство… Но давайте обо всём по-порядку.

Что такое гиперкуб и четырёхмерное пространство

В нашем привычном пространстве три измерения. С геометрической точки зрения это значит, что в нём можно указать три взаимно-перпендикулярных прямых. То есть для любой прямой можно найти вторую, перпендикулярную первой, а для пары можно найти третью прямую, перпендикулярную двум первым. Найти четвёртую прямую, перпендикулярную трём имеющимся, уже не удастся.

Четырёхмерное пространство отличается от нашего только тем, что в нём есть ещё одно дополнительное направление. Если у вас уже есть три взаимно перпендикулярные прямые, то вы можете найти четвёртую, такую, что она будет перпендикуляра всем трём.

Гиперкуб это просто куб в четырёхмерном пространстве.

Можно ли представить четырёхмерное пространство и гиперкуб?

Этот вопрос сродни вопросу: «можно ли представить Тайную Вечерю, посмотрев на одноимённую картину (1495-1498) Леонардо да Винчи (1452-1519)?»

С одной стороны, вы конечно не представите то, что видел Иисус (он сидит лицом к зрителю), тем более вы не почувствуете запаха сада за окном и вкуса еды на столе, не услышите пения птиц… Вы не получите полного представления о происходившем в тот вечер, но нельзя сказать, что вы не узнаете ничего нового и что картина не представляет никакого интереса.

Аналогичная ситуация и с вопросом о гиперкубе. Полностью представить его нельзя, но можно приблизиться к пониманию, каков он.

Построение гиперкуба

0-мерный куб

Начнём с начала — с 0-мерного куба. Этот куб содержит 0 взаимно перпендикулярных граней, то есть это просто точка.

1-мерный куб

В одномерном пространстве у нас есть только одно направление. Сдвигаем точку в этом направление и получаем отрезок.

Это одномерный куб.

2-мерный куб

У нас появляется второе измерение, сдвигаем наш одномерный куб (отрезок) в направлении второго измерения и получаем квадрат.

Это куб в двумерном пространстве.

3-мерный куб

С появлением третьего измерения поступаем аналогично: сдвигаем квадрат и получаем обычный трёхмерный куб.

4-мерный куб (гиперкуб)

Теперь у нас появилось четвёртое измерение. То есть в нашем распоряжении имеется направление, перпендикулярное всем трём предыдущим. Воспользуемся им точно так же. Четырёхмерный куб будет выглядеть вот так.

Естественно, трёхмерный и четырёхмерный кубы нельзя изобразить на двумерной плоскости экрана. То, что нарисовал я — это проекции. О проекциях мы поговорим чуть позже, а пока немного голых фактов и цифр.

Количество вершин, рёбер, граней

Характеристики кубов различной размерности
размерность пространства	количество вершин	количество рёбер	количество граней
0 (точка)	1	0	0
1 (отрезок)	2	1	2 (точки)
2 (квадрат)	4	4	4 (отрезки)
3 (куб)	8	12	6 (квадраты)
4 (гиперкуб)	16	32	8 (кубы)
N (общая формула)	2N	N·2N-1	2·N

Обратите внимание, что гранью гиперкуба является наш обычный трёхмерный куб. Если внимательно посмотреть на рисунок гиперкуба, то можно действительно найти восемь кубов.

Проекции и зрение жителя четырёхмерного пространства

Несколько слов о зрении

Мы живём в трёхмерном мире, но видим мы его двумерным. Это связано с тем, что сетчатка наших глаз расположена в плоскости, имеющей только два измерения. Именно поэтому мы способны воспринимать двумерные картины и находить их похожими на реальность. (Конечно, благодаря аккомодации, глаз может оценить расстояние до объекта, но это уже побочное явление, связанное с оптикой, встроенной в наш глаз.)

Глаза жителя четырёхмерного пространства должны иметь трёхмерную сетчатку. Такое существо может сразу увидеть трёхмерную фигуру полностью: все её грани и внутренности. (Точно так же мы можем увидеть двумерную фигуру, все её грани и внутренности.)

Таким образом, с помощью наших органов зрения, мы не способны воспринять четырёхмерный куб так, как его воспринимал бы житель четырёхмерного пространства. Увы. Остаётся только уповать на мысленный взор и фантазию, которые, к счастью, не имеют физических ограничений.

Тем не менее, изображая гиперкуб на плоскости, я просто вынужден делать его проекцию на двумерное пространство. Учитывайте это обстоятельство, при изучении рисунков.

Пересечения рёбер

Естественно, ребра гиперкуба не пересекаются. Пересечения появляются только на рисунках. Впрочем, это не должно вызывать удивления, ведь рёбра обычного куба на рисунках тоже пересекаются.

Длины рёбер

Стоит отметить, что все грани и рёбра четырёхмерного куба равны. На рисунке они получаются не равными только потому, что расположены под разными углами к направлению взгляда. Однако можно развернуть гиперкуб так, что все проекции будут иметь одинаковую длину.

Кстати, на этом рисунке отчётливо видны восемь кубов, являющихся гранями гиперкуба.

Гиперкуб внутри пустой

В это трудно поверить, но между кубами, ограничивающими гиперкуб, заключено некоторое пространство (фрагмент четырёхмерного пространства).

Чтобы это лучше понять, давайте рассмотрим двумерную проекцию обычного трёхмерного куба (я специально сделал её несколько схематичной).

Можно ли по ней догадаться, что внутри куба есть некоторое пространство? Да, но только применив воображение. Глаз этого пространства не видит. Это происходит потому, что рёбра, расположенные в третьем измерении (которое нельзя изобразить на плоском рисунке), теперь превратились в отрезки, лежащие в плоскости рисунка. Они больше не обеспечивают объём.

Квадраты, ограничивающие пространство куба, наложились друг на друга. Но можно представить, что в исходной фигуре (трёхмерном кубе) эти квадраты располагались в разных плоскостях, а не один поверх другого в одной плоскости, как это получилось на рисунке.

Точно так же дело обстоит и с гиперкубом. Кубы-грани гиперкуба на самом деле не накладываются, как это кажется нам на проекции, а располагаются в четырёхмерном пространстве.

Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть трёхмерный объект одновременно со всех сторон. Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный куб? Глазом — нет. Но люди придумали способ, как изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно. Такое изображение называется развёрткой.

Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают. Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден. Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата (не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз. Как раз благодаря воображению из неё можно почерпнуть много информации.

Развёртка четырёхмерного куба

Сделать анимированный процесс разворачивания гиперкуба хоть сколько нибудь наглядным просто невозможно. Но этот процесс можно представить. (Для этого надо посмотреть на него глазами четырёхмерного существа.)

Развёртка выглядит так.

Здесь видны все восемь кубов, ограничивающих гиперкуб.

Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться при сворачивании. Серыми оставлены грани для которых парных не видно. После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться с нижней гранью нижнего куба. (Аналогично сворачивается развёртка трёхмерного куба.)

Обратите внимание, что после свёртки все грани восьми кубиков придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб. И наконец, представляя процесс свёртывания, не забывайте, что при свёртывании происходит не наложение кубов, а оборачивание ими некой (гиперкубической) четырёхмерной области.

Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты фигурируют в очень многих его картинах. На картине «Распятие» (1954) используется развёртка гиперкуба.

Пространство-время и евклидово четырёхмерное пространство

Надеюсь, что вам удалось представить гиперкуб. Но удалось ли вам приблизиться к пониманию, как устроено четырёхмерное пространство-время в котором мы живём? Увы, не совсем.

Здесь мы говорили об евклидовом четырёхмерном пространстве, но пространство-время обладает совсем другими свойствами. В частности, при любых поворотах отрезки остаются всегда наклонены к оси времени либо под углом меньше 45 градусов, либо под углом больше 45 градусов.

Свойствам пространства времени я посвятил серию заметок.

---

---

Отправить

Многомерные пространства — 3D, 4D и другие измерения

Содержание Что такое четырёхмерное пространство («4D»)? Представление других измерений От 2D к 3D От 3D к 4D Что такое гиперкуб? Построение тессеракта Виды гиперкубов и их названия Как насчет 10D?

Многомерные пространства — миф или реальность? Большинству из нас, или, возможно, всем нам невозможно представить мир, состоящий из более чем трех пространственных измерений. Правильно ли утверждение, что такой мир не может существовать? Или просто человеческий разум не способен вообразить дополнительные измерения — измерения, которые могут оказаться такими же реальными, как и другие вещи, которые мы не можем увидеть?

Мы достаточно часто слышим что-нибудь вроде «трехмерное пространство», или «многомерное пространство», или «четырехмерное пространство». Возможно, вы знаете, что мы живем в четырехмерном пространстве-времени. Что это означает и почему это интересно, почему математики и не только математики изучают такие пространства?

Об авторах Илья Щуров — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ. Jason Hise — Physics programmer at Ready at Dawn Studios, 4D geometry enthusiast. Автор анимированных моделей, представленных в данной статье. ashgrowen — пикабушник, проиллюстрировавший в этой статье построение тессеракта и гиперкуба.

Давайте начнем с простого — начнем с одномерного пространства. Представим себе, что у нас есть город, который расположен вдоль дороги, и в этом городе есть только одна улица. Тогда мы можем каждый дом на этой улице закодировать одним числом — у дома есть номер, и этот номер однозначно определяет, какой дом имеется в виду. Люди, которые живут в таком городе, — можно считать, что они живут в таком одномерном пространстве. Жить в одномерном пространстве довольно скучно, и люди обычно живут не в одномерном пространстве.

Например, если мы говорим про города, то можно перейти от одномерного пространства к двумерному. Примером двумерного пространства является плоскость, а если мы продолжим нашу аналогию с городами, то это город, в котором можно расчертить улицы, допустим, перпендикулярно друг другу, как это сделано в Нью-Йорке, в центре Нью-Йорка. Там есть «стрит» и авеню, каждая из которых имеет свой номер, и вы можете задавать местоположение на плоскости, задавать два числа. Опять же, все мы знаем декартову систему координат, знакомую со школы, — каждая точка задается двумя числами. Это пример двумерного пространства.

Но если мы говорим про город типа центра Нью-Йорка, то на самом деле он является трехмерным пространством, потому что вам мало задать, например, конкретный дом, пусть даже вы зададите его пересечением какой-нибудь «стрит» и какой-нибудь авеню, — вам нужно будет задать еще и этаж, на котором находится нужная вам квартира. Это даст вам третье измерение — высоту. У вас получится трехмерное пространство, в котором каждая точка задается тремя числами.

Вопрос: что такое четырехмерное пространство? Представить его себе не так-то просто, но можно думать о том, что это пространство, в котором каждая точка задается четырьмя числами. На самом деле мы с вами действительно живем в четырехмерном пространстве-времени, потому что события нашей жизни кодируются как раз четырьмя числами — помимо положения в пространстве, есть еще и время. Например, если вы назначаете свидание, то вы можете сделать это так: вы можете указать три числа, которые будут соответствовать точке в пространстве, и обязательно указать время, которое обычно задается в часах, минутах, секундах, но можно было бы закодировать его одним числом. Например, количество секунд, прошедших с определенной даты, — это тоже одно число. Таким образом получается четырехмерное пространство-время.

Представить себе геометрию этого четырехмерного пространства-времени не очень просто. Например, мы с вами привыкли к тому, что в нашем обычном трехмерном пространстве две плоскости могут пересекаться по прямой либо быть параллельными. Но не бывает такого, чтобы две плоскости пересекались в одной точке. Две прямые могут пересечься в одной точке, а на плоскости не могут в трехмерном пространстве. А в четырехмерном пространстве две плоскости могут и чаще всего пересекаются в одной точке. Можно представлять себе, хотя это уже совсем сложно, пространство большей размерности. На самом деле математики, когда работают с пространствами высокой размерности, чаще всего говорят просто: допустим, пятимерное пространство — это пространство, в котором точка задается пятью числами, пятью координатами. Безусловно, математики разработали разные методы, которые позволяют понимать что-то о геометрии такого пространства.

Почему это важно? Зачем понадобились такие пространства? Во-первых, четырехмерное пространство нам важно, потому что оно применяется в физике, потому что мы в нем живем. А зачем нужны пространства более высоких измерений? Давайте представим себе, что мы изучаем какие-то объекты, которые обладают большим количеством параметров. Например, мы изучаем страны, и у каждой страны есть территория, количество населения, внутренний валовой продукт, количество городов, какие-нибудь коэффициенты, индексы, что-нибудь такое. Мы можем представлять себе каждую страну в виде одной точки в каком-то пространстве достаточно высокой размерности. И оказывается, что с математической точки зрения это правильный способ об этом думать.

В частности, переход к геометрии многомерного пространства позволяет анализировать разные сложные объекты, обладающие большим количеством параметров.

Для того чтобы изучать такие объекты, используются методы, разработанные в науке, которая называется линейная алгебра. Несмотря на то, что она алгебра, на самом деле это наука о геометрии многомерных пространств. Конечно, поскольку представить их себе довольно тяжело, математики используют формулы, для того чтобы как раз изучать такие пространства.

Представить себе четырех-, пяти- или шестимерное пространство довольно сложно, но математики не боятся трудностей, и им мало даже стомерных пространств. Математики придумали бесконечномерное пространство — пространство, содержащее бесконечное количество измерений. В качестве примера такого пространства можно привести пространство всех возможных функций, заданных на отрезке или прямой.

Оказывается, что методы, которые были разработаны для конечномерных пространств, во многом переносятся и на случаи чрезвычайно сложных с точки зрения просто попытки их все представить пространств.

У линейной алгебры есть многочисленные приложения не только в математике, но и в самых разных науках, начиная c физики и заканчивая, например, экономикой или политической наукой. В частности, линейная алгебра является основой для многомерной статистики, которая как раз используется для вычленения связей между различными параметрами в каких-то массивах данных. В частности, популярный ныне термин Big Data зачастую связывается с решением задач по обработке данных, которые представляются именно большим количеством точек в пространстве какой-то конечной размерности. Чаще всего такие задачи можно переформулировать и разумно воспринимать именно в геометрических терминах.

Со школьных лет математика разделяется на алгебру и геометрию. Но на самом деле, если мы задумаемся о том, как устроена современная математика, то мы поймем, что те задачи, которые сейчас решаются, в частности, с применением методов линейной алгебры, на самом деле являются очень отдаленным продолжением тех задач, над которыми задумывались многие тысячи лет назад, например Пифагор или Евклид, разрабатывая ту самую школьную геометрию, которая сейчас есть в любом школьном учебнике. Удивительно, что задача по анализу больших данных оказывается в некотором смысле потомком, казалось бы, совсем бессмысленных — по крайней мере с практической точки зрения — упражнений древних греков по рисованию прямых или окружностей на плоскости или мысленному проведению прямых или плоскостей в трехмерном пространстве.

Что такое четырёхмерное пространство («4D»)?

Тессерракт — четырехмерный куб

Всем знакомо сокращение 3D, означающее «трёхмерный» (буква D — от слова dimension — измерение). Например, выбирая в кинотеатре фильм с пометкой 3D, мы точно знаем: для просмотра придётся надеть специальные очки, но зато картинка будет не плоской, а объёмной. А что такое 4D? Существует ли «четырёхмерное пространство» в реальности? И можно ли выйти в «четвёртое измерение»?

Чтобы ответить на эти вопросы, начнём с самого простого геометрического объекта — точки. Точка нульмерна. У неё нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Сдвинем теперь точку по прямой на некоторое расстояние. Допустим, что наша точка — остриё карандаша; когда мы её сдвинули, она прочертила отрезок. У отрезка есть длина, и больше никаких измерений: он одномерен. Отрезок «живёт» на прямой; прямая является одномерным пространством.

Тессеракт — четырехмерный куб

Возьмём теперь отрезок и попробуем его сдвинуть так, как раньше точку. Можно представить себе, что наш отрезок — это основание широкой и очень тонкой кисти. Если мы выйдем за пределы прямой и будем двигаться в перпендикулярном направлении, получится прямоугольник. У прямоугольника есть два измерения — ширина и высота. Прямоугольник лежит в некоторой плоскости. Плоскость — это двумерное пространство (2D), на ней можно ввести двумерную систему координат — каждой точке будет соответствовать пара чисел. (Например, декартова система координат на школьной доске или широта и долгота на географической карте.).

Если сдвинуть прямоугольник в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой он лежит, получится «кирпичик» (прямоугольный параллелепипед) — трёхмерный объект, у которого есть длина, ширина и высота; он расположен в трёхмерном пространстве, в таком, в каком живём мы с вами. Поэтому мы хорошо представляем себе, как выглядят трёхмерные объекты. Но если бы мы жили в двумерном пространстве — на плоскости, — нам пришлось бы изрядно напрячь воображение, чтобы представить себе, как можно сдвинуть прямоугольник, чтобы он вышел из той плоскости, в которой мы живём.

Тессеракт — четырехмерный куб

Представить себе четырёхмерное пространство для нас также довольно непросто, хотя очень легко описать математически. Трёхмерное пространство — это пространство, в котором положение точки задаётся тремя числами (например, положение самолёта задаётся долготой, широтой и высотой над уровнем моря). В четырёхмерном же пространстве точке соответствует четвёрка чисел-координат. «Четырёхмерный кирпич» получается сдвигом обычного кирпичика вдоль какого-то направления, не лежащего в нашем трёхмерном пространстве; он имеет четыре измерения.

На самом деле мы сталкиваемся с четырёхмерным пространством ежедневно: например, назначая свидание, мы указываем не только место встречи (его можно задать тройкой чисел), но и время (его можно задавать одним числом, например количеством секунд, прошедших с определенной даты). Если посмотреть на настоящий кирпич, у него есть не только длина, ширина и высота, но ещё и протяженность во времени — от момента создания до момента разрушения.

Физик скажет, что мы живём не просто в пространстве, а в пространстве-времени; математик добавит, что оно четырёхмерно. Так что четвёртое измерение ближе, чем кажется.

 

Представление других измерений

 

От 2D к 3D

Ранняя попытка объяснить концепцию дополнительных измерений появилась в 1884 году с публикацией романа о плоской земле Эдвина А. Эббота «Флатландия: романтика множества измерений«.  Действие в романе разворачивается в плоском мире, называемом «Флатландия», а повествование ведется от лица жителя этого мира — квадрата. Однажды во сне квадрат оказывается в одномерном мире — Лайнландии, жители которой (треугольники и другие двумерные объекты представлены в виде линий) и пытается объяснить правителю этого мира существование 2-го измерения, однако, приходит к выводу о том, что его невозможно заставить выйти за рамки мышления и представления только прямых линий.

Квадрат описывает его мир как плоскость, населенную линиями, кругами, квадратами, треугольниками и пятиугольниками.

Сфера, с точки зрения Квадрата — Окружность. │ commons.wikimedia.org

Однажды перед квадратом появляется шар, но его суть он не может постичь, так как квадрат в своем мире может видеть только срез сферы, только форму двумерного круга.

Сфера пытается объяснить квадрату устройство трехмерного мира, но квадрат понимает только понятия «вверх/вниз» и «лево/право», он не способен постичь понятия «вперед/назад».

Непостижимая Квадратом тайна третьего измерения на примере прохождения сферы через плоскость. Герой наблюдает уменьшение Окружности до точки и её исчезновение. │ commons.wikimedia.org

Только после того, как сфера вытащит квадрат из его двумерного мира в свой трехмерный мир, он наконец поймет концепцию трех измерений. С этой новой точки зрения квадрат становится способен видеть формы своих соотечественников.

Квадрат, вооруженный своим новым знанием, начинает осознавать возможность существования четвертого измерения. Также он приходит к мысли, что число пространственных измерений не может быть ограничено. Стремясь убедить сферу в этой возможности, квадрат использует ту же логику, что и сфера, аргументирующая существование трех измерений. Но теперь из них двоих становится «близорукой» сфера, которая не может понять этого и не принимает аргументы и доводы квадрата — так же, как большинство из нас «сфер» сегодня не принимают идею дополнительных измерений.

Рецензия на книгу Флатландия Принимая во внимание исключительность как жанра, который при некоторой фантазии и существовании иных его представителей, можно было бы назвать математическим романом, так и самой книги, её не хочется сильно ругать. Тем не менее, похвалы здесь заслуживает только лишь непривычность подачи, по духу близкая произведениям Льюиса Керрола, однако, в отличие от него, имеющая гораздо меньше точек соприкосновения с реальной жизнью. Данная книга, как верно отмечено в предисловии к изданию, не похожа ни на одну популяризацию, читателю, однако, не вполне ясно, по какой причине её сравнивают с популяризациями, потому как, хотя математические истины в ней, безусловно, затрагиваются, какой бы то ни было популяризацией книгу определённо считать невозможно. И вот почему: Перед вами уникальный пример объединения художественного вымысла с математическими идеями. И поклоннику математики, любящему читать, задумка изначально кажется замечательной: подобно математическим постулатам, ввести в рассмотрение ряд абстрактных объектов, наделить их определёнными свойствами, задать правила игры в описанном пространстве, а после, подражая опять же мысли исследователя, наблюдающего взаимодействия этих умозрительных объектов, проследить за их трансформацией. Но, так как книга всё же художественная, усилиям воли учёного места здесь не находится, поэтому для самодостаточности представленного на всеобщее обозрение мира объекты здесь наделяются сознанием и мотивацией для каких-либо взаимодействий друг с другом, после чего в прежде абстрактный мир оторванных от повседневной жизни чистых идей приносятся социальные взаимодействия с целым ворохом проблем, всегда сопутствующих всяким взаимоотношениям. Всевозможные трения, возникающие в книге на социальной почве, по мнению зрителя совершенно не нужны в книге: они практически не раскрыты и не могут восприниматься в серьезе, и в то же время отвлекают читателя от истинно тех вещей, ради которых написана книга. Даже принимая во внимания заверения обоих авторов о неспешности повествования, якобы более комфортную для читателя при приобретении каких-либо знаний (именно здесь приводится сравнение с популяризациями), зрителю темп повествования показался чрезвычайно затянутым и медлительным, а повторение одного и того же объяснения по несколько раз одними и теми же словами заставило усомниться в том, что рассказчик адекватно оценивает его умственным способности. И в конечном счёте неясно, для кого эта книга. Непривычным к математике людям описание в общем-то интересных явление в столь вольной форме вряд ли принесёт удовольствие, знакомым же с математикой ближе будет гораздо приятнее взять в руки качественную популяризацию, где величие и красоту математики не разбавляют плоскими сказками.

От 3D к 4D

Нам сложно принять эту идею, потому что, когда мы пытаемся представить даже одно дополнительное пространственное измерение — мы упираемся в кирпичную стену понимания. Похоже, что наш разум не может выйти за эти границы.

Представьте себе, например, что вы находитесь в центре пустой сферы. Расстояние между вами и каждой точкой на поверхности сферы равно. Теперь попробуйте двигаться в направлении, которое позволяет вам отойти от всех точек на поверхности сферы, сохраняя при этом равноудаленность. Вы не сможете этого сделать..

Житель Флатландии столкнулся бы с такой же проблемой, если бы он находился в центре круга. В его двумерном мире он не может находиться в центре круга и двигаться в направлении, которое позволяет ему оставаться равноудаленными каждой точке окружности круга, если только он не перейдет в третье измерение. Увы, у нас нет проводника в четырехмерное пространство как в романе Эббота, чтобы показать нам путь к 4D.

Что такое гиперкуб? Построение тессеракта

Виды гиперкубов и их названия 1. Точка — нулевое измерение 2. Отрезок — одномерное пространство 3. Квадрат — двумерное пространство (2D) 4. Куб — трёхмерное пространство (3D) 5. Тессеракт — четырёхмерное пространство (4D) 6. Пентеракт — пятимерное пространство (5D) 7. Хексеракт — шестимерное пространство (6D) 8. Хептеракт — семимерное пространство (7D) 9. Октеракт — восьмимерное пространство (8D) 10. Энтенеракт — девятимерное пространство (9D) 11. Декеракт — десятимерное пространство (10D)

Гиперкуб — это обобщающее название куба в производном числе измерений. Всего измерений десять, плюс точка (нулевое измерение).

Соответственно, существует одиннадцать видов гиперкуба. Рассмотрим построение тессеракта — гиперкуба четвертого измерения:

Для начала построим точку А (рис. 1):

Рис. 1 Точка

После, соединим ее с точкой В. Получим вектор АВ (рис. 2):

Рис. 2 Вектор

Построим вектор, параллельный вектору АВ, и назовем его CD. Соединив начала и концы векторов, получим квадрат ABDC (рис. 3):

Рис. 3 Квадрат

Теперь построим еще один квадрат A1B1D1C1, который лежит в параллельной плоскости. Соединив точки подобным образом, получим куб (рис. 4):

Рис. 4 Куб

У нас есть куб. Представьте, что положение куба в трехмерном пространстве с течением времени изменилось. Зафиксируем его новое местоположение (рис 5.):

Рис. 5 Измененное положение куба в пространстве

А теперь, мы проводим вектора, которые соединяют местоположение точек в прошлом и в настоящем. Получаем тессеракт (рис. 6):

Рис. 6 Тессеракт (построение)

Подобным образом строятся остальные гиперкубы, конечно же учитывается смысл пространства, в котором гиперкуб находится.

 

Как насчет 10D?

В 1919 году польский математик Теодор Калуца предположил, что существование четвертого пространственного измерения может увязать между собой общую теорию относительности и электромагнитную теорию. Идея, впоследствии усовершенствованная шведским математиком Оскаром Кляйном, заключалась в том, что пространство состояло как из «расширенных» измерений, так и из «свернутых» измерений. Расширенные измерения — это три пространственных измерения, с которыми мы знакомы, и свернутое измерение находится глубоко в расширенных размерах. Эксперименты позже показали, что свернутое измерение Калуцы и Кляйна не объединило общую теорию относительности и электромагнитную теорию, как это первоначально предполагалось, но спустя десятилетия теоретики теории струн нашли эту идею полезной, даже необходимой.

Математика, используемая в теории суперструн, требует не менее 10 измерений. То есть для уравнений, описывающих теорию суперструн и для того чтобы связать общую теорию относительности с квантовой механикой, для объяснения природы частиц, для объединения сил и т. д. — необходимо использовать дополнительные измерения. Эти измерения, по мнению теоретиков струн, завернуты в свернутое пространство, изначально описанное Калуцей и Кляйном.

Круги представляют собой дополнительный пространственный размер, свернутый в каждую точку нашего знакомого трехмерного пространства. │ WGBH / NOVA

Чтобы расширить скрученное пространство, чтобы включить эти добавленные размеры, представьте, что круги Калуцы-Клейна заменяются сферами. Вместо одного добавленного измерения мы имеем два, если рассматривать только поверхности сфер и три, если учесть пространство внутри сферы. Получилось всего шесть измерений. Так где же другие, которые требует теория суперструн?

Оказывается, что до того, как появилась теория суперструн, два математика Эудженио Калаби из Университета Пенсильвании и Шин-Тунг Яу из Гарвардского университета описали шестимерные геометрические формы. Если мы заменим сферы в скрученном пространстве этими формами Калаби-Яу, мы получим 10 измерений: три пространственных, а также шестимерные фигуры Калаби-Яу.

Шестимерные формы Калаби-Яу могут объяснять дополнительные размеры, требуемые теорией суперструн. │ WGBH / NOVА

Приверженцы теории струн делают ставку на то, что дополнительные измерения действительно существуют. На самом деле, уравнения, описывающие теорию суперструн, предполагают вселенную с не менее чем 10 измерениями. Но даже физикам, которые все время думают о дополнительных пространственных измерениях сложно описать как они могут выглядеть, или как люди могли бы приблизиться к их пониманию.

Если теория суперструн будет доказана и идея мира, состоящего из 10 или более измерений, подтвердится, то появится ли когда-нибудь объяснение или визуальное представление более высоких измерений, которые сможет постичь человеческий разум? Ответ на этот вопрос навсегда может стать отрицательным, если только какая-то четырехмерная жизненная форма не «вытащит» нас из нашего трехмерного мира и не даст нам увидеть мир с ее точки зрения.

 

---

 

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Общая оценка материала: 4.8

Оценка незарегистрированных пользователей:

Что такое четырехмерное пространство? — Hi-News.ru

Представление мира в различных измерениях меняет то, как мы воспринимаем все вокруг, включая время и пространство. Думать о разнице между двумя измерениями и тремя измерениями легко, но что насчет четвертого? Важно понимать, что имеют в виду ученые и другие исследователи, когда говорят о различных измерениях: наш мир имеет три пространственных измерения: ширину, глубину и высоту, а четвертым измерением может быть время. Ученые много лет проводят исследования в попытках выяснить что же такое четвертое пространственное измерение, однако по причине того, что наблюдать четвертое измерение мы не можем, доказательства его существования найти очень трудно.

Моделирование движения камеры в четырёхмерном пространстве.

Сколько существует измерений?

Чтобы лучше понимать, на что может быть похоже четвертое измерение, давайте поближе посмотрим на то, что именно делает три измерения трехмерными, и, следуя этим идеям, подумаем о том, что такое четвертое измерение. Итак, длина, ширина и высота составляют три измерения наблюдаемого мира. Все три измерения мы можем наблюдать благодаря эмпирическим данным, а также органами чувств – такими как зрение и слух.

Определить положение точек и направления векторов в трехмерном пространстве можно вдоль опорной точки. Проще всего представить себе трехмерное пространство как трехмерный куб с тремя пространственными осями, которые определяют ширину, высоту и длину куба. Оси движутся вперед и назад, вверх и вниз, влево и вправо вместе со временем – измерением, которое мы непосредственно не наблюдаем, но воспринимаем. При сравнении 3D и 4D, учитывая наблюдения трехмерного пространственного мира, четырехмерный куб будет Тессерактом – объектом, который движется в трех измерениях, которые мы и воспринимаем и в четвертом, которое е можем наблюдать.

Четырехмерный куб (тессеракт) выглядит так

Еще больше статей о последних открытиях в области теоретической физики и высоких технологий читайте на нашем канале в Яндекс.Дзен. Там регулярно выходят статьи, которых нет на сайте.

Четырехмерные объекты и тени

Как пишет Sciencing.com, поскольку трехмерные существа отбрасывают тень на двумерную поверхность Куба, это привело исследователей к предположению о том, что четырехмерные объекты отбрасывают трехмерную тень. Вот почему можно наблюдать «тень» в трех пространственных измерениях, даже если непосредственно наблюдать четыре измерения нельзя.

Математик Генри Сегерман из университета штата Оклахома создал и описал свои собственные 4-мерные скульптуры. Точно так же, как трехмерный объект отбрасывает двумерную тень, Сегерман утверждал, что его скульптуры являются трехмерными тенями четвертого измерения. Хотя эти примеры теней не дают прямых способов наблюдения четвертого измерения, они являются хорошим индикатором того, как думать о четвертом измерении.

Фигуры математика Генри Сегермана выглядят так

Математики часто приводят аналогию с муравьем, идущим по листу бумаги, описывая границы восприятия относительно измерений. Муравей, идущий по поверхности бумаги, может воспринимать только два измерения, но это не значит, что третьего измерения не существует. Это просто означает, что муравей может непосредственно видеть только два измерения и выводить третье измерение через рассуждения об этих двух измерениях. Точно так же люди могут размышлять о природе четвертого измерения, не воспринимая его непосредственно.

Вам будет интересно: Мозг строит странные структуры в 11 измерениях

Четырехмерный куб Тессеракт – это один из примеров того, как трехмерный мир, описываемый x, y и z, может расширяться в четвертый. Математики, физики и другие ученые могут представлять векторы в четвертом измерении, используя четырехмерный вектор, который включает в себя другие переменные, такие как w. Геометрия объектов в четвертом измерении более сложна, так как включает в себя 4-многогранники, которые являются четырехмерными фигурами. Эти объекты показывают разницу между 3D и 4D изображениями.

Существует ли жизнь в четвертом измерении?

То, как выглядели бы существа или жизнь в четырех измерениях, занимало ученых и других специалистов на протяжении десятилетий. В рассказе писателя Роберта Хайнлайна 1940 года «Дом который построил Тим» речь шла о постройке здания в форме Тессеракта. Писатель Клифф Пиковер представлял себе четырехмерных существ как «воздушные шары телесного цвета, постоянно меняющиеся в размерах. Эти существа будут казаться вам разрозненными кусками плоти, точно так же, как двумерный мир позволяет вам видеть только поперечные сечения и остатки мира трехмерного.»

Кадр из мультсериала «Футурама», 15 серия 7 сезона. Перед вами герои в 2D

Четырехмерная форма жизни может видеть вас изнутри точно так же, как трехмерное существо может видеть двумерное со всех сторон.

Джон Нортон из Отдела истории и философии науки Питтсбургского университета считает, что можно прийти к пониманию природы четвертого измерения, задавая вопросы о том, что делает одно -, двух — и трехмерные объекты и явления такими, какие они есть, экстраполируя их в четвертое измерение. Существо, живущее в четвертом измерении, может обладать таким «стереовидением», описанным Нортоном, чтобы визуализировать четырехмерные образы, не будучи стесненным тремя измерениями.

Однако точно ответить на вопрос о том, существуют ли 4D существа сегодня не может никто. Я полагаю, что даже концепция 4D-пространства ожесточенно обсуждается в физических лабораториях, хотя некоторые теории, такие как Теория струн и М-теория, используют существование нескольких измерений для объяснения нашей Вселенной. Важно также отметить, что биологически 4d жизнь не может существовать. А что вы думаете по этому поводу? Присоединятйесь к обсуждению этой темы в комментариях, а также с участниками нашего Telegram чата.

Плёнка «Water cube» (цвет: Чёрный)

У нас вы можете приобрести уникальную пленку watercube, которая совершенно не похожа ни на одно из существующих покрытий. Дело в том, пленка 4D watercube черный имеет очень необычную поверхность, разделенную на небольшие шестиугольники, причем внутри каждого из них свет может преломляться особым образом. В результате на черной глянцевой поверхности пленки образуются небольшие светлые участки, больше всего похожие на лужицы воды. Со стороны подобный эффект выглядит очень красиво и подобное авто всегда выделяется в однообразном потоке транспорта. Кстати, подобная пленка может преломлять не только дневной свет, но и цветное освещение от фонарей и неоновых вывесок. Еще одним плюсом черной пленки является то, что она великолепно сочетается практически с любым самоклеющимся покрытием. Таким образом, можно делать собственные оригинальные варианты оклейки, например, использовать черный watercube только на крыше или капоте, а прочие части машины оставить в заводской покраске. Пленка черный 4D watercube обладает отличным клеевым слоем, благодаря которому ее можно надежно фиксировать на пластике, стекле и металле. Таким образом, вы сможет оклеивать даже такие рельефные поверхности как обшивка  мотоцикла или детали салона. На особенно шершавых и неровных поверхностях можно применять праймер – жидкость в несколько раз улучшающую клеевые свойства пленки.

Если посмотреть в сети пленка 4D watercube черный фото, то можно почерпнуть массу интересных вариантов оклейки. Более того, там же можно найти различные руководства и инструкции по самостоятельной работе с пленкой. Однако это дело все-таки требует некоторых навыков и специальных инструментов, так что зачастую бывает проще обратиться к опытному специалисту, который поможет подобрать подходящий вариант расположения пленки, а заодно и выполнит работу в кратчайшие сроки. Так оклейка автомобиля целиком обычно занимает пару дней, а обработку капота или крыши можно сделать за несколько часов. Демонтаж покрытия также довольно прост, и его можно осуществить абсолютно без последствий для лакокрасочного покрытия.

далить или обновить старое покрытие, вы легко сможете сделать это буквально за несколько минут, причем на краске машины не останется следов клея и царапин.  

Cinema 4D Практическое руководство стр.25

/**/?>

1.    Создайте примитив, например, Cube (куб).

2.    Выберите инструмент деформации Bend. На экране появится голубой контур габаритного контейнера деформации (рис. 2.196). Контейнер показывает характер производимой деформации, а расположение контейнера относительно объекта может повлиять на результат деформации.

3.    В окне менеджера Objects (объекты) (рис. 2.197) появились два значка для объекта Cube и для инструмента деформации Bend. Зеленая галочка напротив имени объекта говорит о том, что объект включен (активирован). Чтобы выключить объект, надо щелкнуть по галочке, которая сменится на красный крест, — объект перейдет в выключенное (деактивированное) состояние.

Чтобы применить инструмент деформации к объекту, инструмент деформации должен стать подобъек-том по отношению к деформируемому объекту, то есть должен быть размещен на уровень ниже объекта.

Прижмите левой кнопкой мыши значок инструмента деформации Bend и перетащите его на значок объекта Cube (куб) (рис. 2.198). Для подсказки снизу у курсора изображается белый квадратик, а справа — черная стрелка, которая

в момент наведения на объект сменит направление с горизонтального (справа налево) на вертикальное (сверху вниз).

4. Управлять ходом деформации можно с помощью грубых и тонких настроек. Для грубой настройки служит оранжевая точка управления деформацией (рис. 2.199). При наведении курсора на эту точку, она меняет цвет на желтый. Прижмите точку левой кнопкой мыши и перемещайте ее, учитывая следующее:

—    направление, в котором перемещается точка, соответствует направлению деформации;

—    при удалении точки от оси деформации (в данном случае от оси 0Y) увеличивается сила изгиба, то есть увеличивается угол между нормалями к нижнему и верхнему основанию контейнера деформации.

В окне менеджера Objects щелкните по значку инструмента деформации Bend и перемещайте точку, создавая изгиб (рис. 2.200).

Обратите внимание, что изгиба куба не получилось. Куб не изогнулся, а сдвинулся в сторону. Это произошло потому, что при создании куба по умолчанию количество сегментов вдоль оси 0Y равно 1. Чтобы убедиться в этом, сделайте активным объект Cube и зайдите в окно менеджера Attributes (рис. 2.201). На результат деформации оказывает влияние количество сегментов, на которые куб разбит вдоль оси деформации 0Y (значок трех осей координат с их именами приведен в нижнем левом углу окна проекции). Один сегмент может сдвинуться, но не может изогнуться.

Добавим несколько сегментов. На рис. 2.202 они обозначены белым цветом

Результат произведенной деформации Bend (изгиб) изображен на рис. 2.203. Если приглядеться, то становятся видны места границ сегментов. Следовательно, чем больше сегментов, тем более гладкой получается поверхность.

Параметры тонкой настройки собраны на закладке Objects окна менеджера атрибутов (рис. 2.203). Чтобы вызвать этот менеджер, сделайте активным инструмент деформации Bend. Рассмотрим назначение параметров:

—    параметр Size (размер) задает размеры габаритного контейнера по осям X, Y, Z:

⇐ вернуться назад | | далее ⇒

Как нарисовать 4D гиперкуб (мой путь) — Рисунок

«В геометрии тессеракт, также называемый 8-элементным или правильным октахороном или кубической призмой, является четырехмерным аналогом куба».

Тессеракт — это четырехмерный гиперкуб

Если вы рисуете квадрат на плоском листе бумаги, сколько прямых линий потребуется? Четыре. Если вы рисуете куб, сколько квадратов (сторон) это займет? Шесть. Итак, если вы рисуете тессеракт, сколько кубов для этого потребуется? Восемь!

В этой статье я покажу вам, как нарисовать ваш собственный тессеракт! Однако длина линий и углы не будут точными, потому что я не использую линейку для этого урока.

Шаг 1

Первое: как нарисовать обычный куб

Шаг 1: Нарисуйте две линии одинаковой длины, стараясь держать их на одинаковом расстоянии друг от друга, на немного разной высоте.

Шаг 2

Шаг 2: Соедините две линии, как показано, создав нечто похожее на размятый квадрат или упавший толстый ромб.

Шаг 3

Этап 3. Нарисуйте четыре параллельные линии, исходящие из каждого из четырех углов фигуры.

Шаг 4

Шаг 4: Соедините концы двух верхних линий, концы двух нижних линий, а затем соедините каждую нижнюю линию с линией выше.

Наглядные инструкции по рисованию тессеракта приведены ниже:

Шаг 5

ШАГ 6

Шаг 7.

Шаг 8

Шаг 9

Шаг 10

Шаг 11

Шаг 12.

Шаг 13.

Шаг 14.

Шаг 15.

Шаг 16.

Шаг 17.

Шаг 18.

Шаг 19.

Шаг 20.

Шаг 21.

Шаг 22.

Шаг 23.

Тор любовь и гром первый взгляд

И вот оно! Полный двухмерный тессеракт, и только двадцать три шага позже. Надеюсь, вам понравился мой небольшой урок!

_{Если вам интересно узнать больше о четырехмерной геометрии, попробуйте достать копию Геометрия, относительность и четвертое измерение Рудольф против Б. Рукера, опубликовано в 1977 году.}

11-мерный мальчик 22 февраля 2019 г .:

Сделал из картона. Это просто КЛАСС.

Brogod 26 ноября 2018 г .:

Прохладный

ghfgefhjfjhhfh 26 сентября 2018 г .:

слишком сложно рисовать для меня

Четырехмерный 17 ноября 2017 г .:

Вращение в четырехмерном пространстве.

5-ячейка — это аналог тетраэдра.

Тессеракт — это четырехмерный гиперкуб — аналог куба.

16-ячейка — это аналог октаэдра.

24-клеточный многогранник является одним из правильных многогранников.

Гиперсфера — это аналог сферы.

Джимми 06 сентября 2017 г .:

Шаги немного сложно запомнить.

Бла-Бла 01 апреля 2017 г .:

Мой проект Wrinkle in Time теперь станет намного проще. Спасибо

Алекс 5 мая 2015 г .:

Привет! это снова я, я только что нашел одну маленькую ошибку. Вы знаете, как выделить следующую строчку? Итак, на шаге 12 вы выделили строку, которую вы выделили на последнем шаге на шаге 11. Я надеюсь, что это не слишком запутало! Спасибо за ваше время!

Алекс 5 мая 2015 г .:

ух ты! большое спасибо! мне просто нравится внешний вид 4D Hypercube! Это так здорово!

4D-печать: путь к программируемой материи

Программирование материи (ПМ) — объединение науки и технологии в деле создания новых материалов, которые приобретают общее, ранее невиданное свойство — изменять форму и/или свойства (плотность, модуль упругости, проводимость, цвет и т. д.) целенаправленным способом.

Пока разработка программируемой материи идет в двух направлениях:

1. Изготовление изделий методами 4D-печати — печать заготовок на 3D-принтерах, а затем их самотрансформация под воздействием заданного фактора, например влаги, тепла, давления, тока, ультрафиолетового света или другого источника энергии (рис. 1 и 2).
2. Изготовление вокселей (дословно — объемных пикселей) на 3D-принтерах, которые могут соединяться и разъединяться для формирования более крупных программируемых структур.

Для существования огромного биоразнообразия на нашей планете достаточно 22 строительных блоков — аминокислот. Поэтому животные и растения, потребляя друг друга, повторно используют фактически один и тот же биоматериал. Жизнь постоянно находится в процессе самовосстановления и самоорганизации.

Такой подход к программированию материи имеет очень большой потенциал. Так, пиксель является элементарной единицей виртуального изображения объекта, а воксель может быть материальной единицей самого объекта в материальном мире. Оба они несут в себе аналогию с аминокислотой.

Элементарной единицей материи является атом, но элементарных единиц напечатанной и программируемой материи может быть намного больше и по составу, и по структуре, и по размеру. Как написали в своей новой книге Fabricated: The New World of 3D Printing Ход Липсон (Hod Lipson) и Мельба Керман (Melba Kurman): «Используя только два типа вокселей — жесткие и мягкие — можно создать самые разные материалы. Добавим к ним проводящие воксели, конденсаторы, резисторы и получим электронную плату. А включение активаторов и сенсоров уже даст нам робота».

Примеры 4D-печати

Агентство DARPA запустило программу разработки технологии программирования материи еще в 2007 году. Целью программы была разработка новых материалов и принципов их производства, наделение материалов совершенно новыми свойствами. Отчет DARPA под названием Realizing Programmable Matter представляет собой многолетний план для проектирования и построения микромасштабных роботизированных систем, которые способны превращаться в крупные военные объекты.

Примером подобных достижений является «миллимотеин» (механический белок), спроектированный и синтезированный в Массачусетском технологическом институте. Компоненты миллиметрового размера и моторизованная конструкция, созданные по аналогии с белками, позволили разработать систему, которая может самостоятельно складываться в сложную форму.

Группа из Корнельского университета также разработала самореплицирующуюся и самостоятельно реконфигурирующуюся роботизированную систему. Позже, были построены системы микророботов (M-блоков), в которых отдельные М-блоки имеют способность самостоятельно передвигаться и перестраиваться внутри системы.

Еще одна технология 4D-печати предполагает непосредственное включение («впечатывание») проводников или проводящих частей во время печати задания в 3D. После того как объект напечатан, части могут быть активированы с помощью внешнего сигнала, чтобы запустить устройство в целом. Это подход с большим потенциалом в таких областях, как робототехника, строительство и изготовление мебели.

Другие 4D-технологии заключаются в использовании композитных материалов, которые способны приобретать различные сложные формы на основе разнообразия физико-механических свойств. Трансформация запускается потоком тепла или светом определенной длины волны.

Встраивание датчиков в напечатанные 3D-устройства также имеет большие перспективы. Путем вставки наноматериалов можно создать многофункциональные нанокомпозиты, которые способны изменять свойства в соответствии с изменением окружающей среды. Например, датчики могут быть встроены в медицинские измерительные приборы — тонометры (для измерения артериального давления), глюкометры (для измерения уровня сахара в крови) и т.д.

Запрограммированный и напечатанный мир будущего

Но все эти примеры относятся ко вчерашнему дню технологий. Усложнение отдельных узлов, использование альтернативных наноматериалов и сырья, а также различных источников активации (вода, тепло, свет и т. д.) — это уже пройденный этап.

Представьте себе мир, в котором материальные объекты — от крыльев самолета до мебели и зданий — могут менять форму или свойства по команде человека или запрограммированной реакции на изменение внешних условий, таких как температура, давление или ветер, дождь. В этом мире отпадает потребность в новом сырье — заготовке древесины, выплавке металлов, добыче угля и нефти. У производства будущего не будет отходов, не нужно заботиться о переработке пластика или сборе металлолома.

Новые материалы самопроизвольно или по команде будут распадаться на программируемые частицы или компоненты, которые затем можно повторно использовать для формирования новых объектов и выполнения новых функций.

Долгосрочный потенциал программируемой материи и технологии 4D-печати заложен в создании экологически более устойчивого мира, в котором меньше ресурсов потребуется для обеспечения продуктами и услугами растущего населения планеты.

Одним из перспективных направлений развития 4D-печати и программирования материи является разработка под конкретный заказ наборов из нескольких вокселей различных форм и с разными функциями, а затем их программирование для еще более специализированных приложений. Теоретически можно изготавливать воксели из металла, пластика, керамики или любого другого материала. Основные принципы такой технологии аналогичны функционированию ДНК и самоорганизации биологических систем.

История изобилует примерами новых технологий, нарушающих устои мировой торговли и геополитики (например, телеграф и Интернет). 3D-печать уже оказала свое влияние, а внедрение 4D-технологий будет иметь еще большие последствия.

Программируемая материя будет иметь широкий спектр применения и в военных целях. Военная промышленность США уже разрабатывает 3D-печать запчастей в полевых условиях, а также проектирует более дешевое, удобное и легкое «напечатанное оружие». Становятся ненужными транспортировка и хранения тысяч запчастей рядом с полем боя или на боевых судах. Достаточно «ведра вокселей», чтобы изготовить вышедшую из строя деталь, более того, на изготовление новых деталей можно будет пускать ненужные в данный момент объекты, ведь они сделаны из стандартных вокселей.

Итогом видится самотрансформирующийся на наноуровне робот, реализация которого настолько близка, что Терминатор уже не выглядит фантастикой.

Однако на пути к такому радужному будущему предстоит ответить на ряд вопросов:

Проектирование

Как программировать САПР для работы с программируемой материей, которая включает многомасштабные, многоэлементные компоненты, но самое главное — статические и динамические части?

Разработка новых материалов

Как создать материалы с многофункциональными свойствами и встроенными логическими возможностями?

Соединение вокселей

Как гарантировать надежность воксельных соединений? Она может быть сравнима с прочностью традиционных изделий, при этом позволяя реконфигурацию или вторичную переработку после использования?

Источники энергии

Какие методы использовать для генерации энергии в источниках, которые должны быть одновременно пассивными и очень мощными? Как хранить и использовать эту энергию для активации отдельных вокселей и всего программируемого материала изделия?

Электроника

Как эффективно встроить электронное управление или создать управляемые свойства самой материи в нанометровом масштабе?

Программирование

Как программировать и работать с отдельными вокселями — цифровыми и физическими? Как программировать изменение состояний?

Стандартизация и сертификация

Нужно ли разрабатывать специальные стандарты для вокселей изделий из ПМ?

Безопасность

Как гарантировать безопасность деталей и изделий из ПМ?

Угрозы и риски нового мира

Несмотря на то, что в целом для общества ПМ может иметь значительные преимущества, но, как и всякая новая технология, она вызывает определенные опасения. Интернет овладел всем миром, в итоге целые пласты деятельности масс вышли из-под контроля властей. Теперь представьте себе, что материальный мир можно изменять самыми непредсказуемыми способами, которые могут нести угрозу безопасности людей.

Что ждет человека в мире программируемой материи? Что, если программа изменения крыльев самолета в воздухе может быть взломана, что приведет к катастрофе, запрограммированный материал зданий по команде разрушится, погребая внутри жителей. Следовательно, уже сейчас нужно задуматься, как запрограммировать и «вшить» коды безопасности в материалы, чтобы не допустить подобных инцидентов.

Некоторые эксперты утверждают, что структурную уязвимость Интернета можно было предвидеть с самого начала. Проблемы безопасности ПМ аналогичны тем вопросам, которые возникают при рассмотрении кибербезопасности в рамках концепции «Интернета вещей». Такие же соображения стоит высказать относительно еще более насущной угрозы — взлома программируемых объектов, сделанных из ПМ.

Понятие интеллектуальной собственности (ИС) также может стать более сложным, так как продукты, которые способны изменять свою форму и свойства, станут прямым вызовом институту патентных прав. Как 3D-печать, программируемая материя сделает затруднительной идентификацию владельца данного продукта. Но благодаря 4D-печати и ПМ можно делать копии объектов с одинаковыми формами и функциями или активировать самопроизводство изделий.

Юридические последствия в случае отказа какого-либо компонента также относятся к проблемам вчерашнего дня. Кто будет нести ответственность, если компонент из программируемого материала, например, деталь самолетного крыла, вдруг сломается в воздухе? Производитель, программист, разработчик новой конструкции или создатель «интеллектуального» материала?

На наших глазах происходит слом еще одной парадигмы — научной, технологической, экономической, социальной и философской. Как и в случае с другими прорывными технологиями, следует задать главный вопрос: готово ли общество к такому прекрасному и опасному программируемому миру?

Или мы будем наблюдать картину, аналогичную с ситуацией в современном интернете? Только массовую застройку из запрограммированных зданий не закроешь в один момент, как пиратский сайт.

Не меньшую опасность таит и другая сторона этой технологии, о которой скромно умалчивают авторы концепции. Программируемый материальный мир — это возможность абсолютного контроля над жизнью всего населения планеты. Когда микроскопические датчики будут зашиты повсюду — в одежду, мебель, стены, искусственные внутренние органы — не нужна будет полиция или спецслужбы.

С нарушителем законов (стоит задуматься и о том, какие законы будут новом мире) справится его собственное кресло, а печень будет аккуратно слать сигналы в центр обо всех опасных телодвижениях своего владельца. Тотальный контроль над огромными массами населения может сосредоточиться в руках «элиты», которой понадобиться самый минимум обслуживающего персонала.

Фантазировать на эту тему можно еще долго, однако будем надеяться, что подобная антиутопия все же не ждет наших детей и внуков.

Сравнение традиционных технологий с 3D- и 4D-печатью изделий

Преимущества новых технологий	3D-печать	4D-печать
Возможность изготовления изделий самых сложных форм	Селективная укладка материала значительно снижает массу изделия путем печати каркасных конструкций. Свобода проектирования формы распространяется также и на внутреннюю структуру материала	Абсолютная свобода проектирования. Способность изделия адаптировать свою форму к окружающим условиям как самостоятельно, так и по команде
Снижение стоимости изготовления	Для 3D-принтеров нет разницы, какой формы печатать изделия, поэтому резко снижается стоимость и время изготовления	После запуска технологического процесса уже не нужны затраты и время на отладку и проверку «впечатываемых» источников питания, проводников и сенсоров, что очень важно при производстве электроники и роботов
Упрощение производственных процессов – минимальное участие человека-оператора	Поскольку при 3D-печати изготовление изделий происходит в соответствии со стандартизированной программой, т. е. под управлением компьютера, участие человека сводится к минимуму, как и время на изготовление продукции	С использованием 4D-печати степень упрощения производства возрастает еще больше — исключительная простота составных элементов позволяет их быструю печать, а затем активацию тем или иным способом. Более того, составные элементы способны адаптироваться к условиям во время производства и транспортировки к конечному потребителю
Исчезновение из логистики цепочек поставок и сборочных линий	Конечный продукт, даже такой сложный, как автомобиль, изготавливается за один этап производственного процесса, поэтому становятся ненужными снабжение запчастями, складирование их, сборка на линиях	Ситуация, аналогичная применению 3D-печати
Производство любого числа изделий — от массового до единичного	3D-печать позволит выпускать огромный ассортимент продукции, причем производственные линии можно легко и быстро перенастроить на выпуск другого изделия. Нет необходимости в наращивании запасных частей	Ситуация, аналогичная 3D-печати, поскольку все компоненты будут напечатаны
Персонализация изделий	Поскольку стоимость производства 3D-печати не зависит от массовости производства, можно довести до максимума персонализацию изделий	Универсальность единичных элементов, модифицируемая электронная начинка, реакция изделий на желания пользователя и самостоятельная адаптация к окружающей среде поднимут персонализацию изделий на новую ступень. Вполне возможно непосредственное участие будущего пользователя в производстве
Распространение не изделий, а их проектов в файлах	Изделия можно будет распечатать по проектным файлам в любом месте планеты на соответствующем принтере. Более того, их можно будет передавать в любое место с помощью интернета	В эпоху 4D можно будет оцифровать весь материальный мир. Достаточно приобрести набор вокселей, загрузить программу из облака, а затем самостоятельно изготовить нужную вещь
Сокращения пропасти между проектировщиком и конечным продуктом приведет к отмиранию старых технических профессий и появлению новых	Взаимоотношения между проектировщиком и конечным продуктом такие же, как между программистом и готовой программой	Проектировщики теперь рассматривают свою работу как создание многофункциональных динамических объектов, поэтому полное программирование материального мира стимулирует появление нового поколения специалистов — программистов материи. Научное и обучающее моделирование поднимается на новый уровень благодаря созданию полностью функциональных «умных» физических моделей, развитию новых форм исследовательской работы и обучения

Понятие «вокселя» (тж. «воксела»), или «объемного пикселя» используется, чтобы определить основную единицу в цифровом пространстве и программируемой материи. Воксели могут быть цифровыми и физическими. Цифровые воксели используются для виртуального представления 3D-модели. Под физическими вокселями могут подразумеваться элементарные объемы однородных материалов или многокомпонентных смесей, наноматериалы, интегральные схемы, биологические материалы и микророботы и многое другое.

Простейший пример 4D-печати: плоская поверхность, которая самостоятельно сворачивается в закрытый куб

Палец робота, спроектированный и напечатанный методами аддитивных технологий: виртуальное представление в САПР (системе автоматизированного проектирования), напечатанный палец с встроенным силовым проводником, активированное движение пальца

Воспользуйтесь нашими услугами

Понравилась статья? Тогда поддержите нас, поделитесь с друзьями и заглядывайте по рекламным ссылкам!

Запись опубликована автором kornelik в рубрике Инновации, Новости. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Волшебный куб 4D

Волшебный куб 4D

MagicCube4D — это полнофункциональный четырехмерный аналог кубика Рубика, а также десятки других красивых четырехмерных головоломок. На изображении выше показана головоломка 3 ⁴ в решенном состоянии. или щелкните здесь правой кнопкой мыши и выберите «Сохранить ссылку как»

Программа упакована в исполняемый файл jar, который должен работать в любой системе с установленной виртуальной машиной Java. Сохраните его на рабочем столе или в любом другом месте, если вы сможете найти его позже.Просто дважды щелкните по нему, чтобы запустить; установка не требуется. В Windows вы можете создать ярлык на рабочем столе, щелкнув правой кнопкой мыши и выбрав «Отправить > Рабочий стол» в раскрывающемся списке. Пожалуйста, прочтите FAQ для более полного описания головоломки. Польский FAQ здесь. Если он не запускается, вам может потребоваться установить текущую виртуальную машину Java. Щелкните здесь для получения последней версии.

Дон Хэтч и Мелинда Грин разрабатывала эту головоломку с 1988 года.Джей Беркенбилт и Позже к нам присоединился Ройс Нельсон и внес большой вклад. Дон и Джей первыми решили головоломку, широко используя макросы. Ройс был первым, кто решил головоломку без использования макросов. Для своего решения он расширил 3D Филипа Маршалла. «Окончательное решение кубика Рубика» в 4D. Ты сможешь изучите решение Ройса, если вам не хочется сначала пытаться решить его самостоятельно. Дон даже написал программу, которая может собирать кубики Рубика в любом количестве измерений, и создал альтернативную реализацию MC4D.Наконец, Mathologer на YouTube создал руководство по решению этой головоломки, которое делает решение этой головоломки на удивление простым.

Мелинда 2x2x2x2

Наконец-то первая в мире настоящая физическая 4D-извилистая головоломка! Это физическая версия 2 ⁴ . Посмотрите вводное видео ниже и посетите домашнюю страницу проекта, чтобы узнать больше и получить его для себя.

Страницы проекта

Ботанические заметки

Математически склонным может быть интересно узнать, что число возможных состояний для четырехмерного куба равно , ровно .15
или в десятичном периоде Как 1 756 772 880 709 135 843 168 526 079 081 025 059 614 474 630 149 557 651 477 156 021 733 236 798 970 168 550 600 274 ​​887 650 082 354 207 129 600 000 000 000 000 000 000

Для сравнения, в обычном 3D-кубике Рубика всего 43 252 003 274 489 856 000 уникальных позиций, что по-прежнему огромно.С другой стороны, четырехмерный куб имеет больше потенциальных позиций, чем общее количество атомов во Вселенной! Гораздо больше. Разговор об иголке в космическом стоге сена! Нажмите на следующую ссылку, чтобы узнать, как рассчитать перестановки 4D-куба. Удивительно, но хотя количество позиций 4D-куба пугающе велико, это не означает, что эту головоломку во много раз сложнее решить. Если вы уже можете собрать 3D-куб, значит, вы на полпути к решению этого. Здесь также применимы все техники, которые вы уже знаете.

Похожие головоломки

• MagicCube5D — Ройс написал потрясающую 5D-версию этой головоломки, которую он и некоторые другие даже решили. После того, как вы попадете в зал славы 4D, вы можете попробовать 5D Зал Безумия. Вот видео, показывающее мировой рекорд кратчайшее 5D-решение Андраша Эчеки. И если 3 ⁵ с 810 стикерами вас пугает, просто знайте, что Мэтью Ширин решил 7 ⁵ с 24010 стикерами!
• Magic120Cell — автономный 4D-аналог Roice. Извилистая головоломка Мегаминкс.Этот монстр состоит из 120 гиперграней, каждая из которых представляет собой додекаэдр, выглядящий в точности как Мегаминкс. Он имеет в общей сложности 7 560 гиперстикеров и поистине поразительные 2,3 x 10 ⁸¹²⁶ возможных позиций, только одна из которых является решенным состоянием. Прежде чем двигаться дальше, мы должны остановиться и поразмыслить над тем, насколько велико это число, потому что вы действительно не видите такие числа каждый день. Помните выше, что 3 ⁴ позиций больше, чем частиц во Вселенной? Представьте себе, что каждая частица во Вселенной — это на самом деле крошечная вселенная, в каждой из которых столько же частиц, сколько в нашей.Это намного больше, верно? А теперь представьте, что все этих частиц во всех этих вселенных также представляют собой целую вселенную, подобную нашей. Гораздо больше, верно? Хорошо представьте, что вы повторяете это упражнение на 100 уровней в глубину, и только тогда мы приближаемся к количеству позиций в этой головоломке. MagicCube4D теперь также поддерживает этого монстра, но версия Roice лучше, если вы намерены сделать серьезную попытку его решить. Ноэль Чалмерс стал первым, кто разгадал этого монстра. Обязательно посмотрите таймлапс-видео Решение Ноэля на YouTube.Поздравляем Ноэль!
• Ранняя реализация Джоном Бейли 2 ⁴ в Javascript.
• В 2010 году к нашему сообществу присоединился Андрей Астрелин, который сразу побил несколько наших самых заветных рекордов. Не удовлетворенный, он тогда написал и выпустил свою собственную семимерную версию ! MagicCube7D решает проблему визуализации такого многомерного объекта, начав с уже знакомой нам 4D-проекции, а затем частично развернув последние три измерения, используя умный фрактальный дизайн.Не одна головоломка, этот удивительный фрагмент кода поддерживает все 12 кубов от 3 ⁴ до 5 ⁷ . О, а потом он пошел и решил 3 ⁷ . Молодец Андрей!
  
• Magic Cube 3D — Дэвид Вандершел написал трехмерный симулятор кубика Рубика, используя трехмерный эквивалент четырехмерной проекции и пользовательский интерфейс для четырехмерной головоломки. Может показаться странным создавать 3D-аналог 4D-аналога 3D-головоломки, но в этом есть логика, поскольку это помогает прояснить смысл работы и пользовательского интерфейса головоломок более высокого измерения.
• MagicCube2D — Просто для развлечения и посмотреть, как будет выглядеть эквивалентная 2D-головоломка.
• А Игра с 4D-строительными блоками от Хенрика Траппманна дает нам еще одно интересное занятие в 4-х измерениях.
• Magic Cube 4D для Android, мобильная версия.
• MagicTile от Roice позволяет вам складывать свои собственные 2D-гиперболические запутанные головоломки, в том числе удивительные Квартик Клейна, а также евклидов эллиптический бесконечные правильные многогранники и даже 4D косые многогранники! MagicTile — это красота.
• Magic Hyperbolic Tile {6,3,3} от Андрея — это 3D-версия MagicTile от Roice, потому что она находится в трехмерном гиперболическом пространстве. Эта головоломка оказывается чертовски сложной, но в то же время невероятно красивой.
• Magic Puzzle Ultimate также от Андрея — его версия MagicCube4D. Пользовательский интерфейс совершенно другой, и некоторые опытные пользователи предпочитают его. Он включает в себя несколько уникальных и специальных головоломок, таких как столь желанные и очень сложные 24-ячеечные, 48-ячеечные, 600-ячеечные, а также усеченные, укороченные, выпрямленные и курносые версии многих из них, а также некоторые 5D и 6D головоломки.
• 2D реализации 3D и Извилистые 4D-кубы Алекса.
  
• Refle Cube из Нан Ма дает нам трехмерный кубик Рубика, в котором можно использовать только движения отражения и другие комбинации этой базовой идеи.
• Light’s Out 3D Еще одна головоломка от Nan Ma поддерживает десятки симметричных многогранников. Нэн действительно хорошо разбирается в головоломках!
  
• Eleven Cell от Nan Ma, пожалуй, самая невероятная головоломка из всех.Он основан на абстрактном многограннике. Что такое абстрактный многогранник, о котором вы говорите? Это обобщенный тип многогранника, полностью не ограниченный геометрией.

Ройс написал статью, в которой описал многие из вышеперечисленных головоломок и способ их извлечения из оригинального кубика Рубика. Она была принята в качестве обложки статьи в выпуск журнала Math Horizons за апрель 2018 года.

Лицензия

Бесплатное ПО, требуется указание авторства, в идеале включая ссылки на эту страницу.

Другие реализации 4D Cube Puzzle

Веб-страницы, ссылающиеся на эту Вернуться на главную страницу Superliminal.

Brilliant Math & Science Wiki

Квадрат представляет собой двумерную замкнутую фигуру с линиями одинаковой длины, которые пересекаются друг с другом под прямым углом. Куб — это трехмерная фигура с линиями одинаковой длины, которые пересекаются друг с другом под прямым углом. Для квадрата две линии встречаются в каждой вершине (угле).Для куба, поскольку мы добавили еще одно измерение, у нас есть три линии, пересекающиеся в каждой вершине.

Тессеракт — это четырехмерная замкнутая фигура с линиями одинаковой длины, которые пересекаются друг с другом под прямым углом. Поскольку мы добавили еще одно измерение, четыре линии сходятся в каждой вершине под прямым углом. Как и в случае с кубом, каждая двумерная грань тессеракта представляет собой квадрат. На самом деле тессеракт имеет трехмерные «грани», каждая из которых представляет собой куб.

Вы можете определить свойства тессеракта, экстраполируя идею квадрата и куба (см. задачи ниже).Однако они также перечислены здесь за кнопкой:

.

Показать подробные свойства

Гиперкуб обладает следующими свойствами:

• 16 вершин (0D: точки)
• 32 ребра (1D: линии)
• 24 грани (2D: квадраты)
• 8 ячеек (3D: кубики)

Сколько углов имеет гиперкуб (четырехмерный куб)?

Отправьте свой ответ

Сколько двумерных граней имеет тессеракт (четырехмерный куб)?

Примечание: Грань — это плоская двумерная поверхность, являющаяся частью границы многогранного объекта.

Что такое Тессеракт? » Научная азбука

Проще говоря, тессеракт — это куб в 4-мерном пространстве. Можно также сказать, что это четырехмерный аналог куба. Это четырехмерная форма, каждая грань которой представляет собой куб.

Если вы поклонник Мстителей, первое, что приходит на ум, когда вы слышите слово «тессеракт»:

Тессеракт, показанный в кинематографической вселенной Marvel. (Фото: фильм «Мстители» / Marvel Studios)

Для поклонников вселенной Marvel Тессеракт — это ярко-синий куб, от которого без ума не только люди с Земли, но и с других планет.Вот почему все Мстители объединили свои усилия, чтобы защитить землян от необычайно разрушительных сил Тессеракта.

Но позвольте мне сказать вам вот что: тессеракт — это настоящая геометрическая концепция или, скорее, форма, существующая в 4D. Это не просто синий куб из Мстителей… это настоящий концепт.

Но прежде чем мы подробно объясним тессеракт, давайте начнем снизу.

---

Рекомендуемое видео для вас:

---

Что такое «размеры»?

Я уверен, что вы слышали термины 2D и 3D, которые обозначают двухмерные и трехмерные объекты пространства соответственно.

Измерение — это только одно направление, в котором вы можете двигаться. Например, если вы рисуете линию на листе бумаги, вы можете двигаться либо влево/вправо (ось X), либо вверх/вниз. направление (ось Y). Итак, мы говорим, что бумага фактически двумерна, поскольку вы можете двигаться по ней только в двух направлениях.

Теперь в реальном мире, кроме двух упомянутых выше направлений, можно еще и войти/выйти. Поэтому в 3D-пространстве добавляется ощущение глубины. Поэтому мы говорим, что реальная жизнь трехмерна.

Обратите внимание на ощущение глубины в 3D, но не в 2D. (Фото: Pixabay)

Точка представляет 0 измерений, поскольку она не движется ни в каком направлении, линия представляет 1 измерение (длину), квадрат представляет 2 измерения (длину и ширину), а куб представляет 3 измерения (длину, ширина и высота).

Возьмите трехмерный куб и замените каждую грань, которая в настоящее время является квадратом, на куб. И вот! У вас получится тессеракт.

Что такое тессеракт?

Проще говоря, тессеракт — это куб в 4-мерном пространстве.Можно также сказать, что это четырехмерный аналог куба. Это четырехмерная форма, каждая грань которой представляет собой куб.

Трехмерная проекция тессеракта, выполняющего двойной поворот вокруг двух ортогональных плоскостей. (Фото: Джейсон Хайз / Wikimedia Commons)

Квадрат — это двумерная фигура; следовательно, каждый из его углов имеет две линии, которые отделяются друг от друга под углом 90 градусов. Куб является трехмерным, поэтому каждый из его углов имеет три линии, которые отделяются от него. Точно так же тессеракт представляет собой четырехмерную форму, поэтому каждый угол имеет четыре линии, которые отделяются от него.

Обратите внимание на формы в 2D, 3D и 4D.

Почему трудно представить

Тесссерактом?

Поскольку мы, люди, эволюционировали, чтобы визуализировать вещи только в трех измерениях, все, что является частью других измерений, таких как 4D, 5D, 6D и т. д., не имеет для нас смысла, потому что мы вообще не можем их визуализировать. Наш мозг не может понять четвертое измерение в пространстве.

Но то, что мы не можем визуализировать понятие, не означает, что оно не может существовать.

Математически тессеракт является идеальной формой. Точно так же все формы в более высоких измерениях, то есть 5D и 6D, также математически правдоподобны.

Точно так же, как куб в 2D-пространстве можно разложить на 6 квадратов, тессеракт в 3D-пространстве можно развернуть на 8 кубов.

Трехмерная сеть Тессеракта. (Фото: A2569875 / Wikimedia Commons)

Невероятно, не так ли?

Итак, Тессеракт — это реальная концепция (что математически абсолютно правдоподобно), а не просто ярко-синий куб, за который они сражаются в «Мстители».

Хотите проверить, что вы знаете о тессеракте?

Можете ли вы ответить на три вопроса, основанных на статье, которую вы только что прочитали?

Начать викторину

Ваш ответ:

Правильный ответ:

Следующий

Вы получили {{SCORE_CORRECT}} из {{SCORE_TOTAL}}

Повторная викторина

Рекомендуемая литература

4D Cube GIF | Тенор

Продукция

• GIF Keyboard
• Android
• Mac
• Содержание Партнеры

Explore

• реакции GIFs
• Исследовать GIFs

компании

• О
• Пресс
• Блог
• FAQ
• Условия и конфиденциальность
• Веб-лицензии
• Свяжитесь с нами

API

Tenor Gif API

• GIF API Документация
• Unity AR SDK

Стикеры

7
• #Cube
• #square
• #Square
• #spinning
#rotating
• # Hubert-Moszka
• #cube #square
• #cube #noshakywork
• #Logo #Spinning
• #noshakywork #cube
• #Лого
• #Вращение
• #Кубеламия
9005 2 #cubenet
• #cubeLab
• #cube
• #CUBE
7
• #GC
• # Purgo
• # Purse
• # Curple
• # CJ-Dançando
• # CJ-Dançando
• # Danshando
• #swag
• # Cool
GIFs
• #Spinning #Cube
#Illusion
• #badhales #funny
• #death #destruction
• #cubs #Abstract
• #cube
7
• # RUBICS-CUBE
• #illusion
#cube
• #bube
• #bquare
• #square
• #cube
• #Illusion
• • #box
  • #square
  • #cube
  • #Art
  • #shapes
  • #Change
  • #CUBE
  • #CUBE
  • #friday
  • #cube
  • #cube
  • # Shut-U P
  • #YO
  • #bitch
  • #bitch
  • # ice
  #cube
  • #cube
  • #box
  • # Ice-Cube
  • #smile
  • #sparkle
  • #Cube
  • #animation
  • # Перемещение #loading
  • #morb #cube
  • #morboid
  • #cube #cubenet
  • #cubelamia #cubelab
  • #cubemelt # Cubemelt- GIF
  • #icecube
  • # IM-CUBE
  • # ICE-CUBE
  • # HOME
  • # Homie
  • # Homie
  • # ICE-CUBE
  • # RICE
  • # HIP-HOP
  • # Fist-Fight
  • # Ice-Cube
  • # 300057
  • #Three
  • #CUBS
  • # Cract
  • # 3D
  • # 3D
  • # Smoke
  • #CHILL
  • # MUSIC
  • #STUDIO
  • #STUDIO
  • #STUDIO
  • #STUDIO
  • #STUDIO
  9010 7
  • #WTF
  • # Ice-Cube
  • # Game-Cube
  # WTCCBD-Noida
  • #Langford
  • # MK21
  • # μ21
  • # μκ21
  • #aek
  7
  • # tesseract
  • #dimension
  • • #ahh
    • #ahh
    # Cube-Net
    • # Net-Cube
    • # Cube
    • # Cube-Lamia
    • # Cube
    # Shame-Cube
    • #Sad
    • #Sad CUBE
    • #Allspark
    • #cube
    • #cube
    #Abstract
    • #Cube
    • #cube
    • #CUBE
    • # Joib
    • # Joib-Cube
    • # Joib-Cube
    • # Spin
    • # Существование
    • # 3D
    • #cube
    7
    • #littlekingdoms
    • #Cube
    • #GEOMETRIC
    • #GEOMETRIC
    #Vangraffs
    • #bodegang
    • #brancube
    • #cube
    • #loading
    • #gif
    • #CUBE
    • # 3D
    • #cube
    • #cube
    • #cube
    • #cubie
    #blaunk
    • #Cube
    • #blaunkoid
    • #Nintendo
    • # CUBE
    • #Logo
    • # Ice-Cube
    • # Peept-Car
    • # Deading-Car
    • # Danequit
    • # Cube
    • #Cube
    • # Ice-CubeboyZINThood
    • # Ice-Cube
    • #cubes #spin
    • # 3D
    #simulation
    • #cubs #Abstract
    • #cubemelt # Cubemelt-GIF
    #icecube
    • #landoncube # Landonvoncube
    7
    • #GameCube
    • # Purple
    7
    # WTC-Noida-Commercial-Space7
    #xVA
    • # Csgo
    • #Logo
    • # Video-Game

    Складывание 4-го измерения: складывание кубов и гиперкубов

    MPEG — 524K QuickTime — 336K GIF — 492K

    В этом фильме показан развернутый куб (красный) в космосе вместе с его тенью. (розовый) на самолете внизу.Белая точка в верхней части изображения представляет собой источник света. Когда красный куб складывается, мы можем следить за приводит к тени ниже. Когда стороны куба начинают складываться, тени этих квадратов искажаются (один край ближе к светлее, чем противоположный край, поэтому один край имеет большую тень, чем разное). Как края квадратов сходятся в пространстве, так и их изображения собираются вместе ниже. Затем верхняя часть складывается, чтобы завершить куб. При этом мы видим, что изображение увеличивается (по мере приближения к свет), и выворачиваемся наизнанку, когда мы переходим от видения одной стороны к видению другая сторона верхнего квадрата.Когда вершина закрывается, ее тень образует хорошо известный вид куба в перспективе «квадрат внутри квадрата». В этот момент мы поворачиваем всю аранжировку так, чтобы видеть только тень куба и должен представить трехмерный куб, разворачивающийся что вызывает эти тени. Это хорошая практика для визуализации гиперкуб складывается, как показано в фильме ниже.

    MPEG — 256K QuickTime — 156K GIF — 276K

    В этом фильме показана аналогичная последовательность трехмерных теней гиперкуб, складывающийся в четырехмерном пространстве.Так же, как мы можем визуализировать куб складывается в пространстве, используя только свою тень (как это делается в конце предыдущий фильм), мы должны использовать эти трехмерные тени, чтобы попытаться представьте, что гиперкуб складывается в четыре измерения. Начнем с восьми кубов, образующих крестообразную форму. Некоторые лица частично удалены, чтобы лучше видеть внутреннюю структуру. То центральный (желтый) куб будет дном гиперкуба, а фиолетовый один будет наверху. Остальные шесть кубиков образуют грани гиперкуб, соединяющий низ с верхом.Когда они начинают складываться в четвертое измерение, мы видим, как их тени искажаются в трех измерениях. (по мере приближения одной грани кубов к источнику света ее тень стать крупнее). В конце концов грани кубиков сходятся и становятся соединены так же, как края квадратов, образующих куб, склеены, когда они сложены вместе. Это оставляет только верхнюю часть, которую нужно сложить. место. Когда верхняя часть складывается, она становится больше (ближе к источнику света) и в конце концов, кажется, выворачивается наизнанку (мы переходим от наблюдения одной стороны к видеть другого).Когда он приближается, чтобы присоединиться к шести другим лицам, мы остался с хорошо известным видом гиперкуба «куб внутри куба» в перспектива. Маленький желтый куб находится дальше всего от источника света, а большой фиолетовый ближе всего. Остальные шесть граней выглядят как усеченные пирамиды, соединяющие эти две; это виды кубиков в (четырехмерная) перспектива.

    Тессеракт

    ---

    Тессеракт, или 4D-куб, пожалуй, самый известный из всех 4D-кубов. объекты.Он известен под многими именами, среди которых 4-гиперкуб , 8-ячеечный , 4D мерный многогранник , и тетракуб. Он ограничен 8 кубами, 24 квадратами, 32 ребрами и 16 вершины. Его многочисленные названия описывают его различные особые свойства. Она имеет был предметом нескольких рассказов, таких как « » Роберта А. Хайнлайна и Он построил кривой дом. Он также был предметом бесчисленных 4D программы вращения каркаса, заставки и Java-апплеты.

    Название «тессеракт» происходит от греческого τέσσερεις. ἀκτίνες, что означает «четыре луча», имея в виду четыре взаимно перпендикулярные направления, на которых он основан.

    Строительство

    Существует несколько способов построения тессеракта. Самый простой способ — вытяните 3D-куб вдоль оси W. Следующая косая проекция тессеракта подчеркивает этот метод построения тессеракт.

    Красный куб показывает начальный 3D-куб, а синий куб показывает конечная точка экструзии.Желтые лица прослеживают путь экструзия. На самом деле они образуют 6 других кубов, которые генерируются выдавливание каждой из 6 граней исходного куба. Итак, тессеракт в на самом деле состоит из восьми кубов. Эти 8 кубиков образуют его внешний граница.

    Проекции Cell-first

    Проблема с изображением выше заключается в том, что слишком много пересекающихся поверхностей, поэтому трудно различить 8 составляющих кубов. Следующее диаграмма пытается исправить этот дефект, используя проекцию в перспективе вместо:

    На этом изображении синий «внутренний» куб на самом деле такого же размера как красный «внешний» куб, но он кажется меньше, потому что дальше по оси W.Между внутренним и внешним кубами 6 усеченных , которые на самом деле являются другими 6 ячейками, как показано следующие изображения:

    Эти 6 усеченных на самом деле являются правильными кубами; но они кажутся искаженными в усеченные, потому что они видны под углом. Кроме того, всего 8 кубиков лежат на внешней границе тессеракта. Хоть и появляется что внутренний куб находится «внутри», тогда как внешний куб находится на «снаружи», на самом деле они оба лежат на снаружи тессеракт, с двух противоположных сторон.Следующая анимация показывает, что происходит, когда мы вращаем тессеракт в плоскости XW.

    Красные и синие клетки, кажется, деформируются наизнанку и поглощают каждую другое, но это лишь артефакт проекции в 3D. На самом деле они совершенно правильных кубов, двух противоположных ячеек тессеракта и ни деформируются и не касаются друг друга, вращаясь в 4D-пространстве.

    Удаление скрытых поверхностей

    Одна вещь, о которой часто забывают, когда такие электрические схемы представлены тессеракты, заключается в том, что они представляют собой проекции tesseract без удаления скрытых поверхностей. Это как показывать вращение каркаса 3D-куба, где вы можете видеть сквозь его грани и посмотреть, что находится на другой стороне куба. Хотя это полезно видеть всю структуру тессеракта, она иногда дает слишком много деталей и становится запутанным. Следующие изображения пытаются дополнить картину показаны проекции тессеракта, где не видны затемненные 4D-поверхности. показано.

    Например, если смотреть под углом, соответствующим куб внутри куба, показанный ранее, тессеракт на самом деле выглядит как простой 3D-куб:

    При повороте на 45 градусов в плоскости XW тессеракт выглядит как следует:

    Видны только две ячейки, потому что остальные скрыты за ними в 4 направление.

    Вершинно-первая проекция

    Еще один факт, которым часто пренебрегают при тессерактных проекционных изображениях и показаны на диаграммах, является то, что такие проекции, как куб внутри куба, на самом деле просматривать тессеракт под «плоским» углом, как если бы вы смотрели на 3D куб прямо на одну грань или, возможно, на ребро, и видя только две грани на время. Точно так же, как мы интуитивно представляем трехмерный куб под таким углом, что мы может видеть три его лица одновременно, так что более интуитивный угол смотреть на тессеракт под углом, где мы можем видеть четыре из его клетки сразу.На следующем изображении показан один из таких видов тессеракт.

    Трехмерная поверхность этой проекции называется ромбододекаэдром . Это 12-гранный многогранник, каждая грань которого представляет собой ромб. Ближайшая вершина в 4D точка зрения находится в центре проекции, выделено здесь желтым цветом. Четыре ячейки тессеракта, видимые отсюда угол показан ниже:

    Остальные четыре ячейки тессеракта находятся за этими четырьмя в 4-м направлении, поэтому здесь их не видно.

    Геометрические свойства

    Тессеракт относится к семейству n -мерных 90 129 гиперкубов, 90 130, также известных как 90 129, измеряют многогранники 90 130 (потому что они составляют единицу измерения n -мерного пространства). Его двойная – это 16-ячеечная. Координаты тессеракт с центром в начале координат и длиной ребра 2 – все перестановки знака и координаты:

    Интересно, что 16-ячеечный не только его двойной, но и его чередование. Это свойство характерно для 4D; в 3D чередование куб — ​​это тетраэдр, а в 5D чередующийся куб — ​​это полуправильный многогранник, известный как полупентеракт . Это свойство полезно для получение согласованной индексации 24-ячейки, что позволяет нам построить 600-ячейку, используя курносый 24-ячейка в качестве промежуточного продукта.

    Последнее обновление 17 июня 2019 г.

    Анимация вращающегося 4D-куба

    Нарисуем 4D куб!

    Я создал приведенную выше анимацию с помощью Houdini, моего любимого пакета 3D-моделирования.4=16. Итак, чтобы создать все нужные нам вершины, нам просто нужно создать два куба:

    В трехмерном кубе стандартный способ представить, как далеко вершины находятся на оси Z, — это использовать перспективу, то есть взять точки, которые находятся далеко по оси Z, и уменьшить их масштаб, чтобы они были ближе к 2D-центр экрана. Для 4D-куба мы можем использовать аналогичный трюк: чтобы представить, как далеко вершины находятся на 4-й оси (назовем ее F), возьмите точки, которые находятся далеко на оси F, и уменьшите их масштаб, чтобы они были ближе к 3D-центр сцены.Вот почему я сделал второй 3D-куб меньшего размера на картинке выше.

    Теперь на этом рисунке я уменьшил масштаб второго куба на некоторую произвольную величину, но для того, чтобы сделать правильную анимацию, мне нужно уменьшить его пропорционально тому, как далеко точки расположены по оси F. Первым шагом будет задание точной 4D-координаты для каждой точки. В Houdini легко прикрепить дополнительные атрибуты к каждой вершине с помощью узла AttributeCreate. А пока давайте произвольно назначим F=+0,5 одному кубу и F=-0.5 к другому. После того, как вращение будет завершено, я переведу куб примерно от F=0,0 до F=10,0, чтобы весь куб оказался перед осью F камеры, а затем я разделю координаты X, Y и Z каждой вершины. по его координате F, чтобы получить правильную трехмерную точку.

    Далее я хочу повернуть куб в четвертом измерении. Но что вообще означает «вращение», когда пространство имеет четыре измерения? Мы привыкли думать о вращении вокруг оси, потому что в трех измерениях эта ось перпендикулярна ровно одной плоскости.Но в 2D вращение четко определено, даже если нет оси для вращения, поэтому ясно, что обобщенное вращение не будет происходить вокруг линии в n-D пространстве. Вместо этого вращение на самом деле заключается в изменении координат вдоль двух перпендикулярных осей и в том, чтобы оставить все остальные перпендикулярные оси в покое. В 4D мы хотим вращаться по 2 из 4 осей и оставить остальные 2 в покое. Давайте выберем самолет XF.

    Хотя было легко сообщить Houdini о нашем дополнительном атрибуте F, Houdini интерпретирует эти дополнительные атрибуты как данные, а не как дополнительные измерения пространства.В результате узлу XForm можно приказать вращаться только в плоскостях XY, XZ или YZ. Итак, вот в чем хитрость: во-первых, поменяйте местами координаты F и Y. Затем выполните вращение в плоскости XY. Наконец, поменяйте местами координаты F и Y обратно. Поскольку оси Z и F (временно удерживающие координаты Y) остались нетронутыми при вращении, координаты Z и Y останутся нетронутыми после всей операции, точно так же, как это произошло бы с настоящим вращением в плоскости XF.