Свойства умножения и деления. Распределительное и переместительное свойство
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
На уроках математики в 5 классе мы тренируемся умножать, делить, складывать и вычитать. Самое интересное — это хитрить и упрощать выражения. В этом помогают свойства умножения и деления, про которые мы сейчас расскажем.
Свойства умножения
Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.
Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.
Переместительное свойство умножения
От перестановки мест множителей произведение не меняется. |
То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.
Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.
Примеры:
- 6 * 5 = 5 * 6 = 30;
- 4 * 2 * 3 = 3 * 2 * 4 = 24.
Сочетательное свойство умножения
Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением. |
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).
Пример:
- 3 * 2 * 5 = 3 * (2 * 5) = 3 * 10 = 30
- 3 * 2 * 5 = (3 * 2) * 5 = 6 * 5 = 30.
или
Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении.
Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты. |
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.
Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.
С учетом переместительного свойства умножения можно переформулировать правило так:
Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. |
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе. |
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.
С учетом переместительного свойства умножения можно переформулировать правило так:
Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе. |
Свойство нуля при умножении
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю. |
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.
Свойство единицы при умножении
Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число. |
То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Свойства деления
Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.
Основные свойства деления целых чисел
|
И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:
Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится. |
В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.
Применим свойства деления на практике.
Пример 1
Вычислить: 500 * (100 : 5).
Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.
Пример 2
Упростить выражение: 27a – 16a.
Как решаем: 27a – 16a = a * 27 – a * 16 = a * (27 — 16) = a * 11 = 11a.
Ответ: 11a.
Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
Сравнение десятичных дробей
К следующей статье
Свойства сложения и вычитания
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Умножение на 7 | Таблица умножения
На этой странице представлены примеры, описывающие умножение на 7 и умножение числа 7, деление, некоторые способы произношения и записи, таблица умножения на 7 без ответов, в конце статьи — картинки для скачивания, с помощью которых можно распечатать часть таблицы.
Умножение на 7:
1 x 7 = 7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
5 x 7 = 35
6 x 7 = 42
7 x 7 = 49
8 x 7 = 56
9 x 7 = 63
10 x 7 = 70
Первый вариант произношения:
1 x 7 = 7 (1 умножить на 7, равно 7)
2 x 7 = 14 (2 умножить на 7, равно 14)
3 x 7 = 21 (3 умножить на 7, равно 21)
4 x 7 = 28 (4 умножить на 7, равно 28)
5 x 7 = 35 (5 умножить на 7, равно 35)
6 x 7 = 42 (6 умножить на 7, равно 42)
7 x 7 = 49 (7 умножить на 7, равно 49)
8 x 7 = 56 (8 умножить на 7, равно 56)
9 x 7 = 63 (9 умножить на 7, равно 63)
Второй вариант произношения:
1 x 7 = 7 ( по 1 взять 7 раз, получится 7)
2 x 7 = 14 ( по 2 взять 7 раз, получится 14)
3 x 7 = 21 ( по 3 взять 7 раз, получится 21)
4 x 7 = 28 ( по 4 взять 7 раз, получится 28)
5 x 7 = 35 ( по 5 взять 7 раз, получится 35)
6 x 7 = 42 ( по 6 взять 7 раз, получится 42)
7 x 7 = 49 ( по 7 взять 7 раз, получится 49)
8 x 7 = 56 ( по 8 взять 7 раз, получится 56)
9 x 7 = 63 ( по 9 взять 7 раз, получится 63)
10 x 7 = 70 ( по 10 взять 7 раз, получится 70)
От перемены мест множителей значение произведения не меняется, поэтому, зная результаты умножения на 7, можно легко найти результаты умножения числа 7.
В качестве знака умножения в разных источниках используют разные символы. Выше был показан пример со знаком « x », в этот раз сделаем запись с помощью приподнятой точки ( ∙ ).
Умножение числа 7:
7 ∙ 1 = 7
7 ∙ 2 = 14
7 ∙ 3 = 21
7 ∙ 4 = 28
7 ∙ 5 = 35
7 ∙ 6 = 42
7 ∙ 7 = 49
7 ∙ 8 = 56
7 ∙ 9 = 63
7 ∙ 10 = 70
Варианты произношения:
7 ∙ 1 = 7 (по 7 взять 1 раз, получится 7)
7 ∙ 2 = 14 (по 7 взять 2 раза, получится 14)
7 ∙ 3 = 21 (по 7 взять 3 раза, получится 21)
7 ∙ 4 = 28 (по 7 взять 4 раза, получится 28)
7 ∙ 5 = 35 (по 7 взять 5 раз, получится 35)
7 ∙ 6 = 42 (по 7 взять 6 раз, получится 42)
7 ∙ 7 = 49 (по 7 взять 7 раз, получится 49)
7 ∙ 8 = 56 (по 7 взять 8 раз, получится 56)
7 ∙ 9 = 63 (по 7 взять 9 раз, получится 63)
7 ∙ 10 = 70 (по 7 взять 10 раз, получится 70)
7 ∙ 1 = 7 (7 умножить на 1, равно 7)
7 ∙ 2 = 14 (7 умножить на 2, равно 14)
7 ∙ 3 = 21 (7 умножить на 3, равно 21)
7 ∙ 4 = 28 (7 умножить на 4, равно 28)
7 ∙ 5 = 35 (7 умножить на 5, равно 35)
7 ∙ 6 = 42 (7 умножить на 6, равно 42)
7 ∙ 7 = 49 (7 умножить на 7, равно 49)
7 ∙ 8 = 56 (7 умножить на 8, равно 56)
7 ∙ 9 = 63 (7 умножить на 9, равно 63)
7 ∙ 10 = 70 (7 умножить на 10, равно 70)
Деление на 7:
7 ÷ 7 = 1 (7 разделить на 7, равно 1)
14 ÷ 7 = 2 (14 разделить на 7, равно 2)
21 ÷ 7 = 3 (21 разделить на 7, равно 3)
28 ÷ 7 = 4 (28 разделить на 7, равно 4)
35 ÷ 7 = 5 (35 разделить на 7, равно 5)
42 ÷ 7 = 6 (42 разделить на 7, равно 6)
49 ÷ 7 = 7 (49 разделить на 7, равно 7)
56 ÷ 7 = 8 (56 разделить на 7, равно 8)
63 ÷ 7 = 9 (63 разделить на 7, равно 9)
70 ÷ 7 = 10 (70 разделить на 7, равно 10)
Картинка:
Деление.
Картинка:
Таблица умножения и деления на 7 без ответов (по порядку и вразброс):
| 1 ∙ 7 = | 3 ∙ 7 = | 7 ÷ 7 = | 28 ÷ 7 = |
| 2 ∙ 7 = | 6 ∙ 7 = | 14 ÷ 7 = | 21 ÷ 7 = |
| 3 ∙ 7 = | 1 ∙ 7 = | 21 ÷ 7 = | 14 ÷ 7 = |
| 4 ∙ 7 = | 4 ∙ 7 = | 28 ÷ 7 = | 7 ÷ 7 = |
| 5 ∙ 7 = | 2 ∙ 7 = | 35 ÷ 7 = | 35 ÷ 7 = |
| 6 ∙ 7 = | 7 ∙ 7 = | 42 ÷ 7 = | 70 ÷ 7 = |
| 7 ∙ 7 = | 10 ∙ 7 = | 49 ÷ 7 = | 63 ÷ 7 = |
| 8 ∙ 7 = | 5 ∙ 7 = | 56 ÷ 7 = | 49 ÷ 7 = |
| 9 ∙ 7 = | 9 ∙ 7 = | 63 ÷ 7 = | 56 ÷ 7 = |
| 10 ∙ 7 = | 8 ∙ 7 = | 70 ÷ 7 = | 42 ÷ 7 = |
Способы записи таблицы умножения на 7:
| x | Приподнятая точка | * | Знак не указан |
|---|---|---|---|
| 1 x 7 = 7 | 1 ∙ 7 = 7 | 1 * 7 = 7 | 1 __ 7 = 7 |
| 2 x 7 = 14 | 2 ∙ 7 = 14 | 2 * 7 = 14 | 2 __ 7 = 14 |
| 3 x 7 = 21 | 3 ∙ 7 = 21 | 3 * 7 = 21 | 3 __ 7 = 21 |
| 4 x 7 = 28 | 4 ∙ 7 = 28 | 4 * 7 = 28 | 4 __ 7 = 28 |
| 5 x 7 = 35 | 5 ∙ 7 = 35 | 5 * 7 = 35 | 5 __ 7 = 35 |
| 6 x 7 = 42 | 6 ∙ 7 = 42 | 6 * 7 = 42 | 6 __ 7 = 42 |
| 7 x 7 = 49 | 7 ∙ 7 = 49 | 7 * 7 = 49 | 7 __ 7 = 49 |
| 8 x 7 = 56 | 8 ∙ 7 = 56 | 8 * 7 = 56 | 8 __ 7 = 56 |
| 9 x 7 = 63 | 9 ∙ 7 = 63 | 9 * 7 = 63 | 9 __ 7 = 63 |
| 10 x 7 = 70 | 10 ∙ 7 = 70 | 10 * 7 = 70 | 10 __ 7 = 70 |
Способы записи таблицы деления на 7:
| / | : | ÷ | Знак не указан |
|---|---|---|---|
| 7 / 7 = 1 | 7 : 7 = 1 | 7 ÷ 7 = 1 | 7 __ 7 = 1 |
| 14 / 7 = 2 | 14 : 7 = 2 | 14 ÷ 7 = 2 | 14 __ 7 = 2 |
| 21 / 7 = 3 | 21 : 7 = 3 | 21 ÷ 7 = 3 | 21 __ 7 = 3 |
| 28 / 7 = 4 | 28 : 7 = 4 | 28 ÷ 7 = 4 | 28 __ 7 = 4 |
| 35 / 7 = 5 | 35 : 7 = 5 | 35 ÷ 7 = 5 | 35 __ 7 = 5 |
| 42 / 7 = 6 | 42 : 7 = 6 | 42 ÷ 7 = 6 | 42 __ 7 = 6 |
| 49 / 7 = 7 | 49 : 7 = 7 | 49 ÷ 7 = 7 | 49 __ 7 = 7 |
| 56 / 7 = 8 | 56 : 7 = 8 | 56 ÷ 7 = 8 | 56 __ 7 = 8 |
| 63 / 7 = 9 | 63 : 7 = 9 | 63 ÷ 7 = 9 | 63 __ 7 = 9 |
| 70 / 7 = 10 | 70 : 7 = 10 | 70 ÷ 7 = 10 | 70 __ 7 = 10 |
Умножение на:
‹ Умножение на 6 Вверх Умножение на 8 ›
Таблицы умножения с таблицами умножения Игры
На Timestables.
com вы можете легко попрактиковаться со всеми своими таблицами. Арифметические задачи ясны и просты, так что вы можете сразу приступить к работе с таблицами. Выберите одну из таблиц умножения, которую вы хотите попрактиковать, из списка ниже и покажите, что вы можете сделать, на тесте скорости или распечатайте отличные рабочие листы.
Выберите стол, за которым хотите попрактиковаться, из следующих. Сначала вы можете практиковать факты умножения в последовательности, и как только вы освоите это, вы можете практиковать все суммы в случайном порядке для каждой таблицы. Если вы забыли какие-либо ответы, просто вернитесь на страницу «все таблицы по порядку» и еще раз тщательно потренируйтесь, прежде чем пытаться снова.
После того, как вы освоитесь с несколькими столами, вы можете выбрать тест скорости и выбрать столы, за которыми вы хотите попрактиковаться. Если вы допустили ошибку, вы пришли посмотреть, какой правильный ответ в конце теста. Это поможет вам изучить все ваши таблицы.
Тест скорости является хорошей практикой для получения диплома за столы. В дипломе за столами вопросы немного быстрее, чем в тесте на скорость, но если вы ответите на все правильно, вы получите диплом за столами. Есть две таблицы дипломов. Маленький диплом состоит из 30 вопросов. Ваш маленький диплом показывает, что вы можете решить таблицы умножения на 1, 2, 3, 4, 5 и 10. Для диплома по большим таблицам вам дается 40 вопросов, которые включают все таблицы с 1 по 12.
Изучите таблицу умножения в интерактивном режиме с помощью бесплатных обучающих игр по математике для 2-го, 3-го, 4-го и 5-го классов. Элемент игры в играх с таблицей умножения делает процесс обучения еще более увлекательным.
Упражнение с таблицей умножения
Здесь вы можете найти дополнительную информацию о занятиях с таблицей умножения в начальной школе. Таблица умножения на 1, таблица умножения на 2, таблица умножения на 3, таблица умножения на 4, таблица умножения на 5 и таблица умножения на 10 — это первые таблицы умножения, которые необходимо изучить.
Таблица 6 раз, таблица 7 раз, таблица 8 раз, 9Таблица умножения, таблица умножения на 11, таблица умножения на 12 и, конечно же, все таблицы в случайном порядке — следующий шаг.
Не каждому ребенку легко выучить все таблицы, поэтому рекомендуется регулярно практиковать их после того, как вы их выучили. Есть несколько приемов, которые облегчают изучение таблиц и дальнейшее освоение их, например, сначала нужно поставить наименьшее число, что облегчает правильность ответов для многих детей. Например, 4 x 9 легче отработать, чем 9.x 4. Перестановка суммы умножения облегчает ответ. Что также часто помогает, так это использовать таблицы, которые вы хорошо знаете, для ответов на суммы в более сложных таблицах. Одним из примеров этого является 6 x 7, который часто называют сложным. Если вы сделаете сначала 5 х 7, а затем добавите 1 х 7, ответить будет легче. Вы можете сделать это и наоборот. Например, с 4 x 7 вы можете сначала сделать 5 x 7, а затем вычесть 1 x 7.
Почему мы вкладываем столько усилий в изучение таблиц? Что ж, таблицы умножения продолжают появляться в следующих классах начальной школы и даже когда вы учитесь в средней школе.
Вы видите их не как таблицы, а как часть более крупных математических задач. И не только в школе, но и в повседневной жизни полезно хорошо знать таблицу умножения, чтобы можно было быстро разобраться, например, при покупке или продаже овощей на рынке. Если у вас есть какие-либо вопросы, комментарии или идеи для Timestables.com, воспользуйтесь нашей контактной формой. Мы будем рады услышать от вас.
План из 5 шагов
Изучите таблицу умножения с планом из 5 шагов. Мы разработали инновационный план из пяти шагов, чтобы помочь ученикам выучить таблицу умножения эффективным и действенным способом. Этот метод был опробован в нескольких школах и рекомендован учителями.
Шаги:
- Шаг 1а: Просмотрите, прочитайте вслух и повторите. Знакомство с таблицей.
- Шаг 1b: Заполните таблицу умножения последовательно и проверьте, правильно ли вы их поняли.
- Шаг 2: Перетащите правильные ответы на вопросы.
- Шаг 3: Введите свои ответы на смешанные вопросы и проверьте, все ли вы ответили правильно.
- Шаг 4. Вопросы с несколькими вариантами ответов помогут вам стать лучше, взглянув на вопросы по-новому.
- Шаг 5: Подтвердите свои знания и получите диплом.
Когда вы выполните 5 шагов, вы можете сыграть в игру на запоминание или поупражняться с рабочим листом. Другой способ тренироваться больше — это тест на темп, 1-минутный тест или игры с таблицей умножения.
Советуем заниматься ежедневно по 15 минут для максимального результата.
Часто задаваемые вопросы
Как быстро выучить таблицу умножения?
Выучите их по частям. Начните с простых таблиц умножения, таких как 10, 2 и 5. Используйте такие методы, как пропуск счета, добавление и ежедневные упражнения в течение 15 минут для максимального долгосрочного результата.
Какая самая сложная таблица умножения в мире?
Таблицу умножения на 7 сложнее всего выучить, потому что 7 — простое число, поэтому последняя цифра не повторяется до тех пор, пока не будет 10 умножить на 7.
Самый сложный вопрос о таблице умножения на 6 умножить на 8.
Какая таблица умножения самая простая?
Таблица умножения на 10 — одна из самых простых для изучения. Во-первых, числа в таблице умножения на 10 всегда заканчиваются на 0. Кроме того, таблицы умножения на 5 и 2 также являются одними из самых простых.
Практикуйте свое расписание онлайн
Таблицы умножения очень важны, и не так много мест, где их можно быстро и легко выучить, поэтому мы придумали Timestables.com! Практика ваших таблиц онлайн очень проста на Timestables.com. Игры на умножение ясны и просты, так что вы можете начать прямо сейчас. Нажмите на одну из таблиц, чтобы начать прямо сейчас. Впишите ответы в строки и, когда закончите, нажмите «Проверить». Вы сразу увидите, какие ответы правильные, а какие неправильные. Вы также можете практиковать разные таблицы умножения в одном упражнении, чтобы проверить, знаете ли вы их все.
Вы также можете поупражняться с таблицами в интерактивном режиме с бесплатными играми на умножение.
На странице игр на умножение теперь есть игра с перетаскиванием ответов и настольная игра с воздушными шарами.
Таблицы умножения служат основой для расчетов, которые вы будете выполнять в последующие годы, поэтому важно, чтобы вы полностью их понимали.
Хотите больше заниматься математикой? Зайдите на Mathdiploma.com — здесь вы можете попрактиковаться в сложении, вычитании, умножении, делении и многом другом!
У нас тоже есть сайт фракции! На Fractionsweb.com есть множество упражнений на упрощение, сложение, вычитание, деление и умножение дробей. Есть фракционные игры, рабочие листы и 5-шаговые планы!
Экспоненты
показатель степени числа говорит сколько раз использовать число при умножении.
В 8 2 «2» говорит о том, что при умножении дважды используется 8,
значит 8 2 = 8 × 8 = 64
Прописью: 8 2 можно было бы назвать «8 в степени 2» или «8 во второй степени», или просто «8 в квадрате»
Еще несколько примеров:Пример:
5 3 = 5 × 5 × 5 = 125- Словами: 5 3 можно назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто «5 куб»
Пример:
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16- Прописью: 2 4 можно было бы назвать «2 в четвертой степени» или «2 в степени 4» или просто «2 к 4-му»
Экспоненты облегчают запись и использование многих умножений
Пример: 9 6 легче писать и читать, чем 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Примечание.
Экспоненты также называются степенями или индексами.
Вы можете умножать любое число само на себя
столько раз 94 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Отрицательные показатели
Отрицательный? Что может быть противоположным умножению? Разделение!
Итак, мы каждый раз делим на число, что равносильно умножению на 1 число
Пример: 8 -1 = 1 8 = 0,125
Мы можем продолжить так:
Пример: 5 -3 = 1 5 × 1 5 × 1 5 = 0,008
Но часто проще сделать так:
5 -3 также можно рассчитать как:
1 5 × 5 × 5 = 1 5 3 9008 6 = 1 125 = 0,008
Отрицательный? Переверни позитив!
Последний пример показал более простой способ обработки отрицательных показателей:
|
е. 1/a n )Другие примеры:
| Отрицательная экспонента | Обратная величина Положительная экспонента | Ответить | ||
|---|---|---|---|---|
| 4 -2 | = | 1 / 4 2 | = | 1/16 = 0,0625 |
| 10 -3 | = | 1 / 10 3 | = | 1/1000 = 0,001 |
| (-2) -3 | = | 1 / (-2) 3 | = | 1/(-8) = -0,125 |
Что делать, если показатель степени равен 1 или 0?
| 1 | Если показатель степени равен 1, то у вас есть только само число (пример 9 1 = 9 ) | |
| 0 | Если показатель степени равен 0, то вы получаете 1 (пример 9 0 = 1 ) | |
А как насчет 0 0 ? Это может быть либо 1, либо 0, поэтому люди говорят, что это «неопределенное» . |
Все имеет смысл
Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите, что положительный, нулевой или отрицательные показатели на самом деле являются частью одного и того же (довольно простого) шаблона:
| Пример: Степени числа 5 | |||
|---|---|---|---|
| .. и т.д.. | |||
| 5 2 | 5 × 5 | 25 | |
| 5 1 | 5 | 5 | |
| 5 0 | 1 | 1 | |
| 5 -1 | 1 5 | 0,2 | |
| 5 -2 | 1 5 × 1 5 | 0,04 | |
. | |||