Основные геометрические фигуры
Каждый из нас — и взрослый, и ребенок — замечал, как много геометрических фигур существует вокруг нас. Мы встречаемся с ними везде, во всех окружающих нас предметах. Где же встречаются геометрические фигуры в нашей жизни?
Где встречаются геометрические фигуры в нашей жизни?
Каждый из нас — и взрослый, и ребенок — замечал, как много геометрических фигур существует вокруг нас. Мы встречаемся с ними везде, во всех окружающих нас предметах.
Люди давно заинтересовались разнообразием геометрических фигур. Ещё для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. Овладевая миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами. Сначала они изготавливали орудия труда относительно правильной формы, потом научились их совершенствовать. Специальных названий для геометрических фигур тогда, конечно, не было. Их придумали значительно позже. Когда люди стали строить дома, им пришлось ещё глубже разбираться в особенностях разных фигур, чтобы понять, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть брёвна или каменные глыбы. Сам того не зная, человек всё время занимался изучением фигур: женщины, изготавливая одежду, охотники — наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась.
И в современном мире без этих знаний не прожить.
Где же встречаются геометрические фигуры в нашей жизни?
Возможно, кто-то считает, что различные линии фигуры «водятся» только в книгах учёных математиков. Однако, если посмотреть вокруг, становится понятно, что многие предметы имеют форму, похожую на основные геометрические фигуры. Просто мы не всегда это замечаем. Немало замечательных геометрических фигур встречается в окружающей нас природе. Поле имеет форму прямоугольника, река — кривой линии, озеро — круга, кристалл соли — форму куба, обычная горошинка, капелька росы — форму шара. Красивы и разнообразны многогранники — кристаллы горного хрусталя. Но и в привычной жизни основные геометрические фигуры тоже повсюду. Это здания, строения, транспорт, интерьер квартиры, даже посуда и предметы одежды. К примеру, женская юбка — это трапеция, тарелка — круг, дом — квадрат и треугольник, а в трубе — цилиндр.
Знать все фигуры, их виды, названия и свойства очень важно. Систематизирует знания о геометрических фигурах и изучает их свойства математическая наука — геометрия. Наука эта очень важная, её применение просто бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не обходится ни рабочий, ни инженер, ни архитектор, ни художник. И очень важно начать осваивать эту науку в раннем возрасте.
Прекрасным помощником ребёнку в этом станет образовательная платформа iSmart. Основные виды геометрических фигур, их свойства, задачи на нахождение площади фигур и многое другое есть на платформе в разделе «Математика». Тут собраны несколько тысяч заданий на освоение этих тем, не повторяющиеся при многократной отработке. Занимаясь на , школьники начальных классов досконально разберутся в основах геометрии. Это даст им хорошую базу по предмету для учёбы в средних и старших классах. Кроме того, интерактивные задания красочные, интересные, увлекательные.
Итак,
Простейшие виды фигур
Две основные фигуры — это точка и линия. Скопление точек и линий образует различные геометрические фигуры. Каждая из них индивидуальна, отличается своими параметрами, их формы очень разнообразны. Фигуры бывают простыми и сложными, плоскими и объёмными.
Точка
Точка — это самый минимальный, но в то же время самый главный объект в геометрии. Это самая малая геометрическая фигура, но именно она необходима для построения других фигур на плоскости и является основой для всех других фигур. Она не содержит таких свойств, как длина, высота, объём, площадь, не имеет измерительных особенностей и характеристик. Важно только то, где она расположена. Обозначается точка заглавной буквой латинского алфавита либо числом. Например, A, B, C или 1, 2, 3.
Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.
Самыми простейшими фигурами являются луч и отрезок.
- Луч — часть прямой, у которой есть начальная точка, но нет конца. Это продолжение в одну сторону.
- Отрезок — составная часть прямой, которая ограничена двумя точками. Он имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длину отрезка можно определить, измерив расстояние между его концами.
Линия
Линия образуется из множества точек, последовательно расположенных друг за другом и соединённых между собой. Линии бывают замкнутыми и разомкнутыми, прямыми и кривыми, а также ломаными.
- Замкнутая — когда в одной точке расположена начальная и конечная часть направления. Из незамкнутой линии получают обратный вариант.
- Разомкнутая — когда начало и окончание линии не соединены.
- Прямая — непрерывная линия без изменений.
- Кривая — отличная от прямой линии.
- Ломаная — когда соединены отрезки не под углом 180 градусов.
Через одну точку можно провести бесконечное число линий, а через две — только одну прямую и множество кривых.
Основные геометрические фигуры
Соединённые между собой точки образуют линии, а соединённые между собой линии — основные геометрические фигуры на плоскости.
Геометрические фигуры бывают плоские или двухмерные (2D) и объёмные пространственные, или трёхмерные (3D). Они ограничены замкнутой поверхностью своей наружной границы.
Если все точки фигуры находятся в одной плоскости, значит, она является плоской. Плоские фигуры, которые знают все: точка, квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, полукруг, окружность, овал, ромб, трапеция.
А если у геометрической фигуры все точки не находятся в одной плоскости, то она объёмная. К ним относятся шар, конус, цилиндр, сфера, пирамида и др.
Разберём плоские фигуры.
Треугольник
Треугольник — это фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.
Есть три вида треугольников:
- Прямоугольный — когда один угол прямой, другие два меньше 90 градусов.
- Остроугольный — когда градус его углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный — когда один угол тупой, то есть больше 90 градусов, а два других — острые.
Треугольники имеют следующие свойства:
- в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона и наоборот;
- сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам;
- все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам;
- в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (но это изучается уже в старших классах).
Вершины треугольников обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и др.
Примеры треугольников:
Окружность
Окружность — геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой находятся на одинаковом от центра расстоянии.
Круг
Часть плоскости, находящаяся внутри окружности, называется кругом. То есть, окружность — это граница круга. А расстояние от центра окружности до любой точки на ней называется радиусом. Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.
Прямоугольник
Прямоугольник — это фигура, состоящая из четырёх сторон и четырёх прямых углов, у которой:
- противоположные стороны равны между собой;
- диагонали равны и делятся в точке пересечения пополам;
- около прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагоналей.
Квадрат
Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого:
- все стороны равны;
- все углы равны и составляют 90 градусов;
- диагонали равны и перпендикулярны;
- центры вписанной и описанной окружности совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.
Трапеция
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две — нет, называется трапецией. Если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин боковых сторон, в неё можно вписать окружность.
Параллелограмм и ромб
Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.
Параллелограмм имеет следующие свойства:
- противоположные стороны и углы равны;
- сумма двух любых соседних углов равна 180 градусам;
- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;
- каждая диагональ делит фигуру на два равных треугольника.
Основные величины и их формулы
Все геометрические фигуры имеют свои характеристики и собственную величину. Самыми распространёнными являются такие величины как площадь и периметр. Они используются в повседневной жизни, в строительстве и в других областях. Например, во время ремонта или нового строительства, количество необходимых материалов и объём работ не определить, не вычислив заранее площадь и периметр.
Периметр
Периметром называется замкнутая граница плоской геометрической фигуры, которая отделяет её внутреннюю область от внешней. Периметр есть у любой замкнутой геометрической фигуры:
На рисунке периметры выделены красной линией. Периметр окружности часто называют длиной.
Периметр измеряется в единицах измерения длины: мм, см, дм, м, км.
Обозначается заглавной латинской P.
Площадь
Площадь — это часть плоскости, занимаемая замкнутой плоской геометрической фигурой, то есть та часть плоскости, которая находится внутри периметра. Именно она даёт нам основную информацию о её размере. Любая плоская замкнутая геометрическая фигура имеет определённую площадь.
На рисунке площади фигур окрашены различными цветами.
Измерить площадь фигуры — значит найти, сколько раз в данной фигуре помещается другая фигура, принятая за единицу измерения. Площадь измеряется в квадратных единицах измерения длины. К единицам измерения площади относятся: мм2, см2, м2, км2 и т. д. S (square) — знак площади.
Вычисление периметра и площади
Периметр — это длина замкнутого контура геометрической фигуры. Можно, конечно, измерить линейкой длины всех сторон и сложить их. Но лучше воспользоваться специальными формулами для вычисления периметра, это значительно упростит задачу.
- Квадрат: периметр = 4 * сторона.
- Треугольник: периметр = сторона 1 + сторона 2 + сторона 3.
- Неправильный многоугольник: периметр = сумме всех сторон многоугольника.
- Круг: длина окружности = 2 * π * радиус = π * диаметр (где π – это число пи (константа, примерно равная 3,14), радиус – это длина отрезка, соединяющего центр окружности и любую точку, лежащую на этой окружности, диаметр – это длина отрезка, проходящего через центр окружности и соединяющего любые две точки, лежащие на этой окружности).
Для вычисления площади фигуры также потребуется соответствующая формула. К разным фигурам применяются разные формулы. Для вычисления площади стандартных геометрических фигур можно воспользоваться следующими формулами:
- Параллелограмм: площадь = основание * высота
- Квадрат: площадь = сторона 1 * сторона 2
- Треугольник: площадь = ½ * основание * высота
- Круг: площадь = π * радиус² (где радиус – это длина отрезка, соединяющего центр окружности и любую точку, лежащую на этой окружности. Квадрат радиуса – это значение радиуса, умноженное само на себя).
Итак, мы перечислили основные и самые распространённые геометрические фигуры и их свойства. Образовательная платформа iSmart поможет вашему ребёнок изучить основные геометрические фигуры, их виды, названия и свойства с помощью увлекательных заданий. Преимущества занятий на умных тренажёрах iSmart:
- интерактивные задания больше похожи на игру;
- их можно отрабатывать многократно и они не будут повторяться;
- платформа сформирует индивидуальную траекторию обучения на основе диагностики знаний;
- достаточно всего 20 минут занятий в день, чтобы в короткий срок увидеть прогресс в обучении.
Кроме того, занятия помогут вам освободить своё время, ведь ребёнок сможет заниматься самостоятельно, а родитель — получать отчёты и наблюдать за динамикой обучения. Метод обучения iSmart основан на последних научных практиках: микрообучение и поведенческий анализ.
Образовательная платформа iSmart предлагает подготовку к контрольным работам, тестам, ВПР, олимпиадам, а также изучение дополнительных предметов, не вошедших в школьную программу.
Геометрические фигуры основные понятия. Точка в Евклидовой геометрии
Кандинский систематизировал свои взгляды на живопись в книге «Точка и линия на плоскости» (1926). Изучая геометрические формы, художник нашёл, что с их помощью можно усиливать или ослаблять свойства цвета. Для этой картины он использовал приглушённую палитру, смещённую к цветам, расположенным в одной части спектра.
Цитаты из книги:
ЛИНИЯ
Геометрическая линия – это невидимый объект. Она – след перемещающейся точки, то есть ее произведение. Она возникла из движения – а именно вследствие уничтожения высшего, замкнутого в себе покоя точки. Здесь произошел скачок из статики в динамику.
Таким образом, линия – величайшая противоположность живописного первоэлемента – точки. И она с предельной точностью может быть обозначена как вторичный элемент.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ
Силы, приходящие извне, преобразовавшие точку в линию, могут быть различными. Разнообразие линий зависит от числа этих сил и их комбинаций.
В конце концов [происхождение] всех форм линий можно свести к двум случаям:
1. приложение одной силы и
2. приложение двух сил:
а) одно- или многократное поочередное воздействие обеих сил,
б) одновременное воздействие обеих сил.
ПРЯМАЯ
Если одна приходящая извне сила перемещает точку в каком-либо направлении, то возникает первый тип линии, причем выбранное направление остается неизменным, и сама линия стремится двигаться по прямому пути бесконечно.
Это – прямая, представляющая в своем напряжении самую сжатую форму бесконечной возможности движения.
…
Среди прямых мы выделяем три типа, по отношению к которым все прочие прямые – лишь отклонения.
2. Полностью противоположна этой линии и внешне, и внутренне стоящая к ней под прямым углом вертикаль, в которой плоскостность заменяется высотой, то есть холод – теплом. Таким образом, вертикаль является кратчайшей формой неограниченной теплой возможности движения.
3. Третий типичный вид прямой – это диагональ, которая схематичным образом под равным углом отклоняется от обеих вышеназванных и тем самым имеет к обеим равное тяготение, что и определяет ее внутреннее звучание, равномерное соединение холода и тепла. Итак: кратчайшая форма неограниченной тепло-холодной возможности движения .. .
Геометрическая фигура — множество точек на поверхности (зачастую на плоскости), которое образует конечное количество линий.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая линия . Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости.
Точка — мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.
Каждая более сложная геометрическая фигура есть множество точек, которые обладают определенным свойством, характерное только для этой фигуры.
Прямая линия , либо прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на 1-ой линии, которая не имеет начала и конца. На листе бумаги можно увидеть лишь часть прямой линии, т.к. она не имеет предела.
Прямую изображают так:
Часть прямой линии, которая ограничена с 2-х сторон точками, называют отрезком прямой, либо отрезком. Его изображают так:
Луч — это направленная полупрямая, имеющая точку начала и у которой нет конца. Луч изображают так:
Если на прямой поставить точку, то эта точка будет разбивать прямую на 2 противоположно направленных луча. Эти лучи называют дополнительными .
Ломаная линия — несколько отрезков, которые соединены друг с другом таким образом, что конец 1-го отрезка оказывается началом 2-го отрезка, а конец 2-го отрезка — началом 3-го отрезка и так далее, причем соседние (которые имеют 1-ну общую точку) отрезки располагаются на разных прямых.
Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет замкнутой . Пример замкнутой ломаной — это всякий многоугольник:
Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник (прямоугольник) :
Трехзвенная замкнутая ломаная линия —
Тема урока
Геометрические фигуры
Что такое геометрическая фигура
Геометрические фигуры – это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.
Термин «фигура» в какой-то степени формально применяется к множеству точек, но как правило фигурой принято называть такие множества, которые расположенные на плоскости и ограничиваются конечным числом линий.
Точка и прямая — это основные геометрические фигуры, расположенные на плоскости.
К самым простым геометрическим фигурам на плоскости принадлежат — отрезок, луч и ломаная линия.
Что такое геометрия
Геометрия – это такая математическая наука, которая занимается изучением свойств геометрических фигур. Если дословно перевести на русский язык термин «геометрия», то он обозначает «землемерие», так как в стародавние времена основной задачей геометрии, как науки, стало измерение расстояний и площадей на поверхности земли.
Практическое применение геометрии бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не может обойтись ни рабочий, ни инженер, ни архитектор и даже художник.
В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия.
Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости.
К геометрическим фигурам принадлежат: точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, квадрат, круг и другие фигуры, которые изучает планиметрия.
Точка
Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. И хотя это самая малая геометрическая фигура, но она необходима для построения других фигур на плоскости, чертеже или изображении и является основой для всех остальных построений. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.
В геометрии точки обозначают прописными буквами латинского алфавита, например, такими, как: А, В, С, D ….
А теперь подведем итог, и так, с математической точки зрения, точка является таким абстрактным объектом в пространстве, который не имеет объема, площади, длины и других характеристик, но остается одним из фундаментальных понятий в математике. Точка – это такой нульмерный объект, которые не имеет определения. По определению Евклида, точкой называют то, что невозможно определить.
Прямая
Как и точка, прямая относится к фигурам на плоскости, которая не имеет определения, так как состоит из бесконечного множества точек, находящихся на одной линии, которая не имеет ни начала ни конца. Можно утверждать, что прямая линия бесконечна и не имеет предела.
Если же прямая начинается и заканчивается точкой, то она уже не является прямой и называется отрезком.
Но иногда прямая, с одной стороны имеет точку, а с другой нет. В таком случае прямая превращается в луч.
Если же взять прямую и на ее средине поставить точку, то она разобьет прямую на два противоположно направленных луча. Данные лучи являются дополнительными.
Если же перед вами несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка становиться началом второго, а конец второго отрезка — началом третьего и т. д., и эти отрезки находятся не на одной прямой и при соединении имеют общую точку, то такая цепочка является ломаной линией.
Задание
Какая ломаная линия называется незамкнутой?
Как обозначается прямая?
Как называется ломаная линия, у которой четыре замкнутых звена?
Какое название имеет ломаная линия с тремя замкнутыми звеньями?
Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го отрезка, то такую ломаную линию называют замкнутой. Примером замкнутой ломаной является любой многоугольник.
Плоскость
Как точка и прямая, так и плоскость является первичным понятием, не имеет определения и у нее нельзя увидеть ни начала, ни конца. Поэтому, при рассмотрении плоскости, мы рассматриваем только ту ее часть, которая ограничивается замкнутой ломаной линией. Таким образом, плоскостью можно считать любую гладкую поверхность. Этой поверхностью может быть лист бумаги или стола.
Угол
Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют.
Задание:
1. Как в тексте обозначают угол?
2. Какими единицами можно измерить угол?
3. Какие бывают углы?
Параллелограмм
Параллелограмм — это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.
Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.
Параллелограмм, имеющий прямые углы равные 90 градусам, является прямоугольником.
Квадрат — это тот же параллелограмм, у него и углы и стороны равны.
Что до определения ромба, то это такая геометрическая фигура, все стороны которого равны.
Кроме того, следует знать, что любой квадрат является ромбом, но не каждый ромб может быть квадратом.
Трапеция
При рассмотрении такой геометрической фигуры, как трапеция, можно сказать, что в частности она, как и четырехугольник имеет одну пару параллельных противолежащих сторон и является криволинейной.
Окружность и круг
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Треугольник
Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно. Любой треугольник имеет три вершины и три стороны.
Задание: Какой треугольник называют вырожденным?
Многоугольник
К многоугольникам относятся геометрические фигуры разных форм, у которых замкнутая ломаная линия.
В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами.
А известно ли вам, что возникновение геометрии уходит в глубину веков и связано с развитием различных ремесел, культуры, искусства и наблюдением за окружающим миром. Да и название геометрических фигур является тому подтверждением, так как их термины, возникли не просто так, а благодаря своей схожести и подобию.
Ведь термин «трапеция» в переводе с древнегреческого языка от слова «трапезион» обозначает столик, трапеза и другие производные слова.
«Конус» произошел от греческого слова «конос», что в переводе звучит, как сосновая шишка.
«Линия» имеет латинские корни и происходит от слова «линум», в переводе это звучит, как льняная нить.
А знаете ли вы, что если взять геометрические фигуры с одинаковым периметром, то среди них обладателем самой большой площади оказался круг.
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множество, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Точка – неопределяемое понятие. С точкой обычно знакомят, рисуя ее или прокалывая стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.
Линия – неопределяемое понятие. С линией знакомят, моделируя ее из шнура или рисуя на доске, на листе бумаги. Основное свойство прямой линии: прямая линия бесконечна. Кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми.
Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны.
Отрезок – часть прямой, заключенная между двумя точками – концами отрезка.
Ломаная – линия из отрезков, соединенных последовательно под углом друг к другу. Звено ломаной – отрезок. Точки соединения звеньев называют вершинами ломаной.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной. Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла.
Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой. Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньше развернутого, называется тупым.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Остроугольным называется треугольник, все углы которого острые. Прямоугольным – треугольник, который имеет прямой угол. Треугольник, который имеет тупой угол, называется тупоугольным. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами.
Диагональю называется отрезок, соединяющий противоположные вершины многоугольника.
Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые.
Квадрато м называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие не соседние, называются диагоналями.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром. Но поскольку в начальных классах не дается это классическое определение, знакомство с окружностью проводят методом показа, связывая его с непосредственной практической деятельностью по вычерчиванию окружности с помощью циркуля. Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
Круг -часть плоскости, ограниченная окружностью.
Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм.
Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.
Пирамида – многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) – какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) – треугольники с общей вершиной.
Цилиндр – геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований. Конус – тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку – его вершину – с точками некоторого круга – основание конуса.
Шар – множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка – это центр шара, а данное расстояние – радиус.
Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.
Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.
Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.
Точка
Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.
С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.
Прямая
Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.
Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.
Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.
Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.
Угол
Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.
Угол — это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.
Плоскость
Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость — это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.
Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.
Четырехугольники
Параллелограмм — это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.
Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами и углами.
Ромб — это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.
Трапеция
Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.
Трапеция — это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.
Круг
Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.
Треугольник
Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.
Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.
Многоугольник
Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.
Объемные геометрические фигуры
- призма;
- сфера;
- конус;
- цилиндр;
- пирамида;
Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.
Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.
Любопытные факты
Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.
- Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
- В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
- Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
- В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
- Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.
Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.
Обучение плоскостным и объемным фигурам
Для детей дошкольного возраста геометрия и пространственные отношения являются частью их повседневной жизни. Понимание положения объекта в пространстве и изучение словарного запаса для описания положения и указания направлений очень важны. Такие термины, как над , под , слева , справа или между , позволяют детям ориентироваться в своем окружении и описывать окружающий мир. Они могут применять эти же термины при описании плоских и объемных форм в классе.
Плоские фигуры
Большинство объектов, с которыми мы сталкиваемся, могут быть связаны с основными формами. Замкнутая двумерная, или плоская, фигура называется плоской формой . Различные плоские формы имеют разные атрибуты, такие как количество сторон или углов (или вершин ). Сторона — это прямая линия, которая составляет часть формы, а угол или вершина — это место, где встречаются две стороны.
- Ключевой стандарт: Анализировать и сравнивать двух- и трехмерные формы, используя неформальный язык для описания их сходств, различий, частей (например, количество сторон и вершин/«углов») и других атрибутов. (Класс К)
Несмотря на то, что дети знакомы с наиболее распространенными формами, до детского сада они, возможно, не были в состоянии выразить словами, что отличает квадрат от прямоугольника или круг от треугольника. Они научатся описывать формы с точки зрения их сторон и углов.
Треугольник — это фигура с тремя сторонами и тремя углами. Прямоугольник — это фигура с четырьмя сторонами и четырьмя углами. Они могут заметить, что противоположные стороны имеют одинаковую длину.
Квадрат представляет собой прямоугольник, все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. Круг — это круглая фигура, не имеющая сторон и углов. Эти атрибуты, а также размер можно использовать для сортировки и классификации фигур.
Продлить урок
- Для тех, кто готов, вы можете показать, что стороны должны быть прямыми, а углы должны быть прямыми углами, чтобы фигура действительно была прямоугольником.
- Для тех, кто готов, вы можете показать, что все точки круга должны находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки, чтобы фигура действительно была кругом.
- Флаги по всему миру представляют собой красочные способы продемонстрировать всевозможные формы и дизайны. Какие страны интересны вашим студентам? Продемонстрируйте свои флаги и предложите учащимся назвать плоские формы, которые они видят.
Твердые фигуры
Многие предметы повседневного обихода, с которыми дети знакомы, представляют собой сплошные фигуры. Например, блоки часто представляют собой куба или прямоугольных призмы . Они имеют шесть граней или плоских поверхностей.
Другими знакомыми твердыми формами являются сферы , которые дети могут узнать по форме шара. Одна форма, которую дети могут не сразу распознать, — это пирамида , которая имеет одну прямоугольную грань и четыре треугольные грани. Однако они, вероятно, узнают цилиндра , которые имеют форму консервных банок, и конуса , таких как рожки для мороженого или дорожные конусы.
Как и в случае с плоскими фигурами, дети учатся описывать твердые фигуры с точки зрения их атрибутов. Например:
- Округлость или плоскостность
- Способность катиться или скользить
- Количество сторон или углов
Они также увидят, как плоские формы образуют грани твердых тел. Это важная идея, так как реальный мир вокруг нас трехмерен и состоит из твердых форм! Место, где люди видят плоские плоские формы, обычно находится на гранях трехмерных объектов. Из-за этого принято сначала учить твердые формы, прежде чем переходить к плоским формам, которые мы практикуем в 9-м уроке.0091 ХМЗ В математику .
Обведение граней твердых тел поможет ребенку понять, что куб отличается от прямоугольной призмы тем, что все шесть его граней являются квадратами. Это обогатит способы, которыми они могут описывать и сравнивать твердые тела. Например, ребенок может увидеть, что хотя и цилиндр, и сфера могут катиться, сфера не имеет граней и не может скользить. С другой стороны, цилиндр имеет две круглые поверхности, поэтому он может как катиться, так и скользить. (Но некоторые цилиндры будут скользить легче, чем другие!)
Продлить урок
- Для тех, кто готов, вы можете показать, как грани кубов и прямоугольных призм должны встречаться под прямым углом, или все точки на поверхности сферы находятся на одинаковом расстоянии от центральная точка.
- Есть ли в вашей школе доступ к 3D-принтеру? Не просто описывайте такие формы, как кубы или сферы — на самом деле создайте их ! Представьте 3D-печатные объекты классу и попросите их поделиться тем, что они замечают и удивляются.
- Предложите учащимся идентифицировать твердые тела в реальном мире! Либо принесите предметы, такие как рожок мороженого, числовой кубик или футбольный мяч, чтобы учащиеся описали и классифицировали их, либо предложите учащимся найти предметы за пределами школы, чтобы поделиться ими. Подумайте, что интересует ваших учеников. Ищите здания рядом со школой и по всему миру с интересными формами или мячами из тех видов спорта, которыми любят заниматься ваши ученики.
- Origami предлагает захватывающий способ превратить плоскую форму в твердую форму. Поищите в Интернете идеи для складывания, например, для создания куба. Вы также можете найти распечатки, которые позволяют учащимся создавать трехмерные фигуры или создавать кубы, пирамиды и другие объемные фигуры с помощью зубочисток и зефира.
Как только дети смогут распознавать и описывать признаки, отличающие плоские и объемные формы, например, отличающие треугольник от квадрата или цилиндр от конуса, они могут начать создавать и продолжать узоры. Когда дети создают или находят закономерности, они используют атрибуты не одной, а целой серии фигур, чтобы определить порядок или закономерность.
***
Повысьте уверенность учащихся в математике с помощью HMH Into Math , наше основное математическое решение для классов K–8.
Математика PreK-K 1-2 классы Занятия и уроки
Дополнительная литератураРичард Бланкман
Фасонный РедакторФасонный стержень
Кристин Кондон
Shaped Главный редактор
Какая из этих фигур не имеет углов? Здесь угол любой формы известен как вершина формы. Вершина определяется как точка на фигуре, где встречаются две стороны или ребра фигуры.
Мы будем использовать это определение, чтобы найти требуемый ответ. Полный пошаговый ответ:
Здесь нам нужно найти в данных вариантах, какая из фигур не имеет углов.
Мы знаем, что угол определяется как точка, в которой встречаются две стороны или края фигуры.
Мы проверим варианты один за другим.
Мы знаем, что четыре стороны квадрата являются прямыми линиями, и пересечение каждых двух последовательных сторон квадрата образует угол.
Точно так же прямоугольник имеет четыре стороны, которые являются прямыми линиями, и пересечение каждых двух последовательных сторон прямоугольника образует угол
Точно так же у шестиугольника четыре стороны являются прямыми линиями, и пересечение каждых двух последовательных сторон шестиугольника образует угол.
Мы знаем, что у круга нет сторон, и поэтому пересечение сторон невозможно. Кроме того, у круга не может быть вершин, так как он постоянно изгибается.
Следовательно, у круга нет углов.