Формула d: Дискриминант. Формула дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

• Решение квадратных уравнений через дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой  D.

Вид уравнения	Формула корней	Формула дискриминанта
ax2 + bx + c = 0		b2 — 4ac
ax2 + 2kx + c = 0		k2 — ac
x2 + px + q = 0
		p2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения	Формула
ax2 + bx + c = 0	, где D = b2 — 4ac
ax2 + 2kx + c = 0	, где D = k2 — ac
x2 + px + q = 0	, где D =
	, где D = p2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b² — 4ac,

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x² — 4x + 2 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = -4,  c = 2.

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

D < 0.

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x² — 6x + 9 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -6, 

c = 9.

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-6)² — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

D = 0.

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ:  3.

Пример 3.

x² — 4x — 5 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -5

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

D > 0.

Уравнение имеет два корня:

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,

x₂ = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ:  5,  -1.

Квадратное уравнение: формула корней, как их решать и примеры

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа (причём обязательно a ≠ 0),

В таком уравнении:

• x — переменная, которая присутствует в таком уравнении во второй степени,
• a — первый коэффициент,
• b — второй коэффициент,
• c — свободный член.

Ещё такое уравнение называется квадратный трёхчлен, т.к. самая большая степень в нём квадрат и он состоит из 3 одночленов.

Для решения таких уравнений сначала находится дискриминант по этой формуле:

Эту формулу нужно выучить наизусть.

Если:

• D < 0 <=> корней не существует,
• D = 0 <=> есть один корень,
• D > 0 <=> есть два корня.

Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = (–1)² – 4×1×(–3) = 1 + 12 = 13, D > 0 <=> есть два корня.

Когда уже точно известно, что корни существуют, и известно количество этих корней, можно приступить к их поиску с помощью этой формулы:

Корни таких уравнений находят с помощью этой формулы.

Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = 13.

X1,2 = ((–(–1)) ±√13)/(2×1) =>

x1 = (1 + √13)/2 ≈ (1 + 3,60555)/2 ≈ 2,302775

x2 = (1 – √13)/2 ≈ (1 – 3,60555)/2 ≈ -1,302775

Примеры

Пример 1

20x² – 15x – 10 = 0

Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.

1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac <=> D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 <=> значит есть два корня.

2. Ищем эти корни: формула корней

2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539

2.2. Второй корень:

Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.

x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539

Пример 2

–x² +6x + 18 = 0

a = –1, b = 6, c = 18

Дискриминант D = b² – 4ac

D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 <=> есть два корня

Ищем корни:

a = –1, b = 6, c = 18, D = 108

X1,2 = ((–6) ±√108)/(2×(–1)) =>

x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615

x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615

Как разложить квадратный трёхчлен на множители?

Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0

Мы уже нашли корни

x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539

Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:

20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)

Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем

20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =

20 x²–15x–9,999983042

Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.

Виды квадратных уравнений

Полное и неполное квадратное уравнение

В полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например:

–x² – 9 = 0 (отсутствует bx)

x² + 16x = 0 (отсутствует с)

–5x² = 0 (отсутствуют bx и с)

Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что «a» может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0).

Как решать неполное квадратное уравнение?

Способ решения, когда b=0

5x² – 5 = 0

5x² = 5, делим всё на 5

x² = 1

x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1

Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)

Пример:

x² + 16x = 0 (выносим x за скобки)

x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю,

x = 0 или (x + 16)= 0

(x + 16)= 0 ⇔ x = – 16

Второй способ решения, когда c=0

Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально).

Например:

x² + 16x = 0

a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю)

Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня.

Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) =>

X1,2 = ((–16) ± √256)/(2×(1)) =>

x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0

x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16

Способ решения, когда b=0 и c=0

Например:

3x² = 0

Делим всё на 3

x² = 0

x = 0

Приведённое квадратное уравнение

Чтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a:

x² + px + q = 0, где:

p = b/a

q = c/a

Примеры:

3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое)

2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое)

Геометрический смысл решения корней квадратных уравнений

Корни квадратного уравнения ещё являются и нулями функции, т. е. если вы ищете нули функции (в каких точках функция пересекает ось Ox), то вы их найдёте именно через этот процесс: поймёте, если они существуют, рассчитав дискриминант, затем найдёте их, используя формулу корней.

Вспомним наш пример уравнения 20x² – 15x – 10 = 0.

Мы сделали график 20x² – 15x – 10, на котором видно, что наши корни (x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539) являются нулями этой функции.Другой пример, в котором есть только один нуль, функция 3x². Здесь х = 0.Функция x² + 1 не имеет корней, это мы и видим на графике функции (она не пересекает ось Ox).

Узнайте также, что такое Теорема Виета и Парабола.

Формула D (сериал 2005– )

Путеводитель по эпизодам

• Сериал
• 2005–
• TV-PG
• 30 м

РЕЙТИНГ IMDb

9 0012 7.1/10

10

ВАША ОЦЕНКА

Серии25

Просмотреть серии

3 сезона

11107Посмотреть все4 года

90 Р. Брэндон Джонсон0013 Таннер Фауст

• Селф (2005-2007)

Росси Морреале

Риз Миллен

• Селф (водитель)

Samuel Hubinette

• Self (Водитель)

Mayleen Ramey

Eddie Eagle

• Диктор серии

Vaughn Gittin Jr. 90 013

• Личное (водитель)

Кен Гуши

• Личное (водитель)

Конрад Грюневальд

• Лично (водитель)

Така Аоно

• Лично (водитель)

Дайдзиро Йошихара

• Лично (водитель)

Энди Йен

• Лично (водитель)

Кэлвин Ван

• Лично (водитель)

Алекс Пфайффер

• Лично (водитель)

Каспер Канул

• Лично (водитель)

Майк Питерс

• Самостоятельно (водитель)

• Все актеры и съемочная группа
• Производство, кассовые сборы и многое другое на IMDbPro

Сюжетная линия

Отзывы пользователей

Будьте первым, кто оставит отзыв 0024 Войти

Детали

• Дата выпуска
  • 4 апреля 2005 г. (США)
• Страна происхождения
  • США
  900 04
• Официальные сайты
  • G4
  • Официальный сайт
• Язык
  • Английский
• Компания-производитель
• См. больше кредитов компании на IMDbPro

90 020 Технические характеристики

• Время работы

  30 минут

• Цвет

Новости по теме

Добавить на эту страницу

Предложить редактирование или добавить отсутствующее содержимое

90 012 Top Gap

Какой план сюжета на английском языке для Formula D (2005)?

Ответить

Еще для изучения

Недавно просмотренные

У вас нет недавно просмотренных страниц

формула D_ Лендинг — формула D_

Get In TOUCH_

Мы являемся экспертами в передовом дизайне взаимодействия с посетителями.

ПОРТФОЛИО

Наша

миссия видна в нашей работе

_

Formula D_ известна новаторским дизайном иммерсивных выставок и впечатлений посетителей с использованием передовых медиатехнологий. Что еще более важно, наша миссия – продвигать Цели ООН в области устойчивого развития. Мы разрабатываем опыт, который имеет значение.

Фильтр

Рекомендуемые

Гордые участники

Что говорят наши клиенты

Наш опыт работы с командой формулы D_ во всех трех проектах был просто невероятным. У них есть умение брать очень сложные концепции и проблемы и переводить их в простые, доступные и веселые игры и выставки.

Хелен Локхарт, менеджер по коммуникациям и устойчивому развитию
Аквариума двух океанов

Что говорят наши клиенты

Formula D_’s Red Dot Award — еще одно доказательство того, что мы не только соответствуем международным стандартам, но и часто превосходим их. Дополнительным бонусом для международных клиентов является то, что они могут получить услуги дизайна в Южной Африке по привлекательной цене благодаря выгодному обменному курсу, что делает их отличным соотношением цены и качества.

Профессор Питер Зек, основатель Red Dot

Что говорят наши клиенты

Открытое общение по проекту было очень ценным, поскольку мы приближались к окончательным проверкам во время производства и координировали доставку/поездку. Каждый член команды был невероятно полезным и приятным в работе (издалека). Мы хотели бы посетить и иметь больше возможностей встретиться лично на протяжении всего процесса проектирования, но, может быть, в следующий раз!

Эмили Гольденберг, MASS Design Group

Некоторые из наших клиентов

От большой идеи до детального проектирования – чем мы можем вам помочь?

Вот уже почти 15 лет Formula D_ работает с клиентами по всему миру над созданием действительно важного опыта. Используя идеи поведенческой науки, глубокие познания в интерактивном дизайне и технологиях, а также надежное управление проектами, мы более чем готовы воплотить ваши идеи от зарождения до воплощения.

УЗНАТЬ БОЛЬШЕ_

ЧТО МЫ ДЕЛАЕМ

Журнал

Как гарантировать способность научного центра поддерживать свое первоначальное воздействие:

Автор: проф.