Геометрическая серия | Purplemath
IntroExamplesArith. и гео. Посл.Ариф. Серия
Purplemath
Вы можете вычислить сумму конечного числа членов геометрической прогрессии. И по причинам, которые вы изучите в области исчисления, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в том особом случае, что обыкновенное отношение r находится между -1 и 1; то есть вы должны иметь | р | < 1.
Для геометрической прогрессии с первым членом a 1 = a и обыкновенное отношение r , сумма первых n членов определяется как:
Содержание продолжается Ниже
MathHelp.com
Примечание. Ваша книга может иметь несколько иную форму формулы частичной суммы, приведенной выше. Например, « a » можно умножить через числитель, множители в дроби можно поменять местами, или суммирование может начинаться с i = 0 и иметь степень 9.
0007 n + 1 в числителе. Все эти формы эквивалентны, и приведенная выше формулировка может быть получена из полиномиального длинного деления.
В особом случае | р | < 1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:
Первые несколько членов равны −6, 12, −24:
a 1 = 3(−2) 1 = (3)(−2) = −6
a 2 = 3(−2) 2 = (3)(4) = 12
a 3 = 3(−2) 3 = (3)(−8) = −24
Итак, это геометрический ряд со знаменателем r = −2. (Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, заданной для каждого члена: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент −2.)
Первый член последовательности равен . а = -6. Подключив формулу суммирования, я получаю:
Таким образом, значение суммирования:
2,097 150
Оценка S
10 для 250, 100, 40, 16,.
…
…Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член равен a = 250. Разделив пары членов, я получаю:
100 ÷ 250 = 2/5
40 ÷ 100 = 2/5
…и так далее, так что добавляемые члены образуют геометрическую последовательность со знаменателем р = 2/5.
В отличие от формулы для n -й частичной суммы арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении n -й частичной суммы геометрического ряда. Так что у меня есть все необходимое для продолжения. Когда я подставляю значения первого члена и обыкновенного отношения, формула суммирования дает мне:
Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным». » отвечать. Вместо этого мой ответ:
Примечание.
Если вы попытаетесь выполнить приведенные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297… вместо дробного (и точного) ответа.
Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему приводит к десятичному приближению к ответу. Но (правда!) десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Потратьте время, чтобы найти дробную форму.
Найти
a n , если S 4 = 26/27 и r = 1/3.
Мне дали сумму первых четырех членов, S 4 , и значение обыкновенного отношения r . Поскольку существует обыкновенное отношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Подключив к формуле суммы геометрического ряда, я получаю:
Умножая обе части на 27/40, чтобы найти первый член a = a 1 , я получаю:
Затем, подставляя в формулу для n -й срок геометрическая последовательность, я получаю:
Покажите с помощью геометрического ряда, что 0,3333.
.. равно 1/3.
.. равно 1/3.Здесь есть хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные термины; то есть «0,3333…» становится:
0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …
Разделение десятичной формы таким образом явно выделяет повторяющийся образец неконечной (то есть бесконечной) десятичной дроби: Для каждого члена я десятичная точка, за которой следует неуклонно растущее количество нулей, а затем заканчивается цифрой «3». Эту расширенно-десятичную форму можно записать в дробной форме, а затем преобразовать в форму геометрического ряда:
Это доказывает, что 0,333… является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечным геометрическим рядом с a = 3/10 и r = 1/10. Поскольку | р | < 1, я могу использовать формулу для суммирования бесконечных геометрических рядов:
Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что «расширение» геометрического ряда 0,333.
.. имеет значение одной трети равно «показ», которого требовало упражнение (поэтому очень важно выполнять свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.
Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти закономерность:
1,363636.. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …
Две повторяющиеся цифры, поэтому дроби немного отличаются. Но это по-прежнему геометрический ряд:
Это показывает, что исходная десятичная дробь может быть выражена как начальная «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему a = 9/25 и r = 1/100. Поскольку значение обыкновенного отношения достаточно мало, я могу применить формулу для бесконечного геометрического ряда. Тогда сумма оценивается как:
Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильной дроби и в форме смешанных чисел:
Кстати, этот метод также можно использовать для доказательства того, что 0,999.
.. = 1.
URL: https ://www.purplemath.com/modules/series5.htm
Стр. 1 Стр. 2 Стр. 3 Стр. 4
Геометрический ряд
Горячая математикаА геометрический ряд это ряд чей родственный последовательность является геометрическим. Он получается в результате добавления условия из геометрическая последовательность .
Пример 1:
Конечная геометрическая последовательность: 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , … , 1 32768
Связанные конечные геометрические ряды: 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + … + 1 32768
Записано в сигма-нотации: ∑ к «=» 1 15 1 2 к
Пример 2:
Бесконечная геометрическая последовательность:
2
,
6
,
18
,
54
,
.
..
Связанные бесконечные геометрические ряды: 2 + 6 + 18 + 54 + …
Записано в сигма-нотации: ∑ н «=» 1 ∞ ( 2 ⋅ 3 н − 1 )
Конечный геометрический ряд
Чтобы найти сумму конечного геометрического ряда, используйте формулу
С
н
«=»
а
1
(
1
−
р
н
)
1
−
р
,
р
≠
1
,
где
н
это количество терминов,
а
1
является первым термином и
р
это
обыкновенное отношение
.
Пример 3:
Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если а 1 «=» 1 и р «=» 2 .
С 8 «=» 1 ( 1 − 2 8 ) 1 − 2 «=» 255
Пример 4:
Находить С 10 , десятая частичная сумма бесконечного геометрического ряда 24 + 12 + 6 + … .
Сначала найдите р .
р «=» а 2 а 1 «=» 12 24 «=» 1 2
Теперь найдите сумму:С 10 «=» 24 ( 1 − ( 1 2 ) 10 ) 1 − 1 2 «=» 3069 64
Пример 5:
Оценивать.
∑ н «=» 1 10 3 ⋅ ( − 2 ) н − 1
(Вы находите С 10 для серии 3 − 6 + 12 − 24 + … , обыкновенное отношение которого равно − 2 .)
С н «=» а 1 ( 1 − р н ) 1 − р С 10 «=» 3 [ 1 − ( − 2 ) 10 ] 1 − ( − 2 ) «=» 3 ( 1 − 1024 ) 3 «=» − 1023
Бесконечная геометрическая серия
Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с
абсолютная величина
меньше единицы, используйте формулу
С
«=»
а
1
1
−
р
,
где
а
1
является первым термином и
р
является обычным соотношением.
Пример 6:
Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
27
+
18
+
12
+
8
+
…
.
Первая находка р :
р «=» а 2 а 1 «=» 18 27 «=» 2 3
Затем найдите сумму:
С «=» а 1 1 − р С «=» 27 1 − 2 3 «=» 81
Пример 7:
Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
8
+
12
+
18
+
27
+
.