Международный конкурс «Занимательная математика»
Главная
>
Конкурсы
>
Международный конкурс «Занимательная математика»
осенью
18 — 24 октября
2022 года
Математика
Участники 1-8 классы
Статус
Проверка работ
Подать заявку
Может ли математика быть занимательной и интересной? Конечно, да! Кроме того, время, проведенное за решением интересных нестандартных математических задачек, проходит быстро, весело и эффективно! Предлагаем и вам в этом убедиться!
Конкурсы Центра «Снейл» — это интеллектуальные соревнования, целью которых является формирование навыков будущего.
Зачем участвовать в конкурсе?
* Чтобы научиться искать нужную информацию
* Чтобы научиться отвечать на поставленный вопрос
* Чтобы научиться грамотному распределению времени для выполнения заданий
* Чтобы получить оценку своих навыков
* Чтобы получить Грамоту
Особенности конкурса:
* Конкурс состоит из 8 заданий, на выполнение которых отводится 7 дней
* Конкурс предусматривает самостоятельную работу с дополнительной литературой и интернет-источниками
* Выполненная работа оформляется в текстовом редакторе
* Каждое конкурсное задание соответствует одному из навыков: поиск информации, смысловое чтение, анализ и синтез, сравнение, классификация и сериация, логические закономерности, аналогии и соответствия, креативное и творческое мышление
* По итогу выполнения конкурсныхых заданий в Личном кабинете ученика отображаются: оценка сформированности каждого навыка, балл за конкурс, Свидетельство участника с указанием набранных баллов, Грамота победителя / Лауреата конкурса
Индивидуальное участие
Время проведения
7 дней
Итоги
24. 11.2022
Регистрация участников до 24.10.2022
(включительно)
Дата проведения
с 18.10.2022
по 24.10.2022
Загрузка ответов
до 24.10.2022
(включительно)
Подведение итогов
не позднее
24.11.2022
Рассылка наградного материала не позднее 9.12.2022.
Примеры заданий Положение Наградные материалы
Примеры заданий
Положение
Наградные материалы
осенью
18 — 24 октября
2022 года
Математика
1-8 классы
Прием заявок на мероприятие завершен
Поделитесь информацией
Ближайшие мероприятия
Международный марафон знаний. Математика
Возраст 1-4 классы
15.11. 2022г.
Международный чемпионат дошкольников. Математика
Возраст 6-7 лет
15.11.2022г.
Международный конкурс по финансовой грамотности «Дети в БАНКе»
Возраст Детский сад, 1-8 классы
23.11.2022г.
Международный конкурс-игра по математике «Слон»
Возраст Детский сад, 1-8 классы
1.12.2022г.
Мы используем файлы «cookies», чтобы улучшить работу сайта. Если вы не возражаете, просто закройте это окно. Или пройдите по ссылке, чтобы узнать, как управлять настройками «cookies».
Игровая математика. Опыт и идеи. — LiveJournal
?- Начало
- mamakatty
- April 26th, 2015
Всем привет!
Здесь мы будем собирать идеи и делиться со всеми своим опытом по ведению разных математических кружков. Главное, что мне хочется сказать всем родителям (да и просто заинтересованным взрослым) — заниматься и играть в математику не сложно. Дети готовы играть, бегать и носиться, а если добавить в обычную игру совсем немного новых правил, то им будет еще интереснее!
«Проверено на детях!»
- Дневники математических кружков
- my_mice
- December 29th, 2015
Я в ЖЖ постоянно наталкиваюсь на дневники математических кружков. И, наверняка, я знаю не все. Давайте соберем все вместе.
Женю Кац и tromentano, я думаю, знают все.
Еще я знаю:
http://ptzy-mathclub.livejournal.com/ — детский математический клуб
mamochka_nata
marsupian
n_u_pА еще есть?
- Игра на знакомство
- mamakatty
- June 9th, 2015
Придумала игру для дня рождения, думаю, что подойдет и для занятия или игротеки, как альтернатива «Я кидаю мячик Пете». В нее могут играть вместе читающие и не-читающие дети, к тому же, присутствие ведущего не обязательно, так что дети знакомятся сами.
Пишем таблички с именами всех детей, которые есть в группе. Раздаём всем неправильные имена. Можно с игрой «ой, перепутали», а можно сказать что так надо специально. (На празднике дети пытались возмутиться и быстро найти свое имя до игры).
Потом выходит в круг первый ребенок и говорит какое у него имя на табличке и чье оно? Хозяин имени отзывается, они меняются табличками. Если это имя по-прежнему не подходит первому выходившему в круг, задается вопрос о хозяине нового имени. Если имя первого нашлось, он выходит из круга, и встает следующий, у кого еще осталось неправильное имя.Если знакомство происходит в рамках лагеря или большой игры, где у детей много времени и места, да и детей много, то из этого может получиться своя отдельная игра с беготней по всей территории. Можно давать не имена, а шарады, связанные с ними, можно давать дополнительные вопросы по именам, ну а у Жени в лагере есть целая игра «Бегущий лагерь», где команды, выполняя задания и решая вопросы на листках, не только знакомятся с обитателями лагеря, но и узнают его устройство, расположение мастерских, а также кто где живет.
Tags: подвижные игры
- Игры в математику на улице
- mamakatty
- June 1st, 2015
Просто перепост 🙂
Математика на асфальте https://vk.com/banda_umnikov?w=wall-47568728_3605
В математику можно играть не только дома, но и на прогулке! Достаточно только мела, асфальта и хорошей погоды, чтобы устроить познавательную игру на улице.
• Игра в классики
Хорошо знакомая игра из детства, которая тренирует ловкость, координацию и помогает закрепить порядковый счет. Задача игроков — перепрыгивать из «класса» в «класс» по порядку, толкая перед собой ногой специальную биту. При этом нужно стараться не задевать линии и не задерживаться в одном «классе» надолго. Кроме привычного, существует много вариантов полей и правил, которые можно менять с учетом возраста и количества игроков.
( Read more…Collapse )
А какие игры в математику на улице знаете вы?Tags: математика дошкольники, подвижные игры
- Задания с лабиринтами
- mamakatty
- May 19th, 2015
Лабиринты можно использовать и в занятиях с одним ребенком, и с группой. Идею прохождения лабиринта не просто так, а осмысленно, с определенным выбором я подсмотрела у Жени в «Мышематике», где нужно собрать точно 5 вишенок, выйдя из лабиринта, то есть, кроме поиска выхода, существует счет и выбор маршрута.
( Read more. ..Collapse )
Можно брать уже готовые лабиринты, а можно рисовать самим. Я научилась это делать по ролику ниже, и по этой методике можно нарисовать лабиринт достаточно быстро и просто.
Tags: математика дошкольники
- Логические задачи для юного сыщика
- my_mice
- May 18th, 2015
На просторах сети нашла довольно простые задачки, но из-за антуража довольно эффектные. Моим первоклашкам, и даже не только первоклашкам очень понравилось.
http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=2622131
- Соберу здесь разные ссылки, показавшиеся интересными
- olga_ovodova
- May 7th, 2015
Игра собери-разбери, мини-версия http://www. kubirubi.ru/nastolnaya-igra-soberi-razberi-mini.html, есть еще большая.
Симметричные раскраски:
http://print.krokotak.com/p?x=c80f7d045fe741cc86eb971915ffa960
http://print.krokotak.com/p?x=6c4dd011d14b42629bb1262eb57de385
http://print.krokotak.com/p?x=7532e24d49174829ac4b8c54c603d92cТам же оригами
http://print.krokotak.com/p?x=af048efe50374c9f86da82ce423a9ea5
- Тренинг для руководителей математических кружков
- olga_ovodova
- May 7th, 2015
http://mathbaby.ru/circles/2015/trening-rukovoditeley-kruzhka-2015
- Шифровка для первого класса
- my_mice
- May 1st, 2015
Я хочу первоклашкам дать такое задание. И думаю, не слишком ли сложно.
Два века назад купцы на товарах писали цены, за которые сами их приобрели, шифром. Для этого бралось слово из десяти разных букв. Первая буквы была 1, вторая — 2, последняя — 0. Эти слова держались в строгом секрете.
К нам случайно попали расчеты одного такого купца.
о+л = тт
и+т = те
ю+р = и
у+д = ю
о+у = б
о+о = те
Какое его секретное слово?
Понятно, что все решается и без последней строчки, но, мне кажется, будет слишком сложно, не?
- Настольные игры по математике
- mamakatty
- April 26th, 2015
Начну с самой близкой мне темы — как начинать играть в настольные обучающие игры «Банды умников» с детьми от 4-5 лет.
Кстати, для начала занятий можно просто собирать 2-3 друзей и играть только в настолки! Детям дошкольного возраста необходимо присутствие и управление процессом от взрослого. Они постепенно учатся соблюдать правила и договариваться друг с другом, а вы научитесь общаться с детьми во время игры и поймете, что им интересно, как они реагируют, как долго могут играть и так далее.
Итак, мои вариации и размышления по разным играм:
Делиссимо
Трафик джем
Фрукто10
Турбосчет
Много многоСкоро этот список пополнится новой игрой «Этажики».
Tags: математика дошкольники, настольные игры
Математика игровых шоу
SCHC 212: Математика игровых шоуSCHC 212: Математика игровых шоу
Фрэнк Торн — Весна 2018
Университет Южной Каролины
Давай вниз! Вы поклонник игровых шоу, таких как The Price is Right , Кто хочет стать миллионером , Давай заключим сделку , Опасность , Сделка или нет , Колесо Фортуны и многое другое? Участников этих шоу просят принять решения, которые могут выиграть или стоить им много денег, и математика может быть использована для определения лучших стратегий. Этот курс будет исследовать эти игровые шоу, объясняя математику, лежащую в основе правильного принятия решений.
Конкретные вопросы, которые необходимо охватить, включают: вероятность и ожидаемое значение; условная вероятность и байесовский вывод; и классической теории игр. В курсе также будет тяжелый компонент моделирования: некоторые игры слишком сложны полностью проанализировать, но можно проанализировать, если сделать некоторые упрощающие предположения.
Этот класс научит реальной математике в веселой обстановке. (Осторожно: «весело» не значит легко.)
Инструктор : Фрэнк Торн, LeConte 317O, Торн [в] math.sc.edu.
Часы работы: среда, 3:30-5:00; Четверг, 9:00-10:30. Я также часто (но не всегда) доступен немедленно после занятий.
Исключение : Заседания Сената факультета проводятся по средам — 7 февраля, 7 марта и 4 апреля. Часы работы по средам эти недели будут перенесены на вторники.
Результат обучения:
«Образование — это то, что выживает, когда выученное забыто». — Б. Ф. Скиннер
Успешные студенты будут:
- Освойте математические темы, описанные выше.
- Лучше понять, как применять математику в реальном мире. Хотя можно спорить о том, показывают ли игровые шоу являются «реальным миром», суть в том, что математика не входит в утверждение многих вопросы, подлежащие рассмотрению. Полдела — знать какие математические задачи решить .
- Успокойтесь, отвечая на двусмысленные вопросы. Например, вы можете быть знакомы с проблемой Монти Холла. (Если не, не волнуйтесь, я объясню.) Вы должны поменять двери? Правильный ответ: «это зависит от того, какие предположения вы делаете».
- Успокойтесь, решая сложные проблемы. В таких курсах, как исчисление, мы разбиваем для вас все на кусочки размером с укус. Этот курс научит пользоваться ножом и вилкой.
- Попрактикуйтесь в письменных и устных презентациях. Будет временной проект (см. ниже).
- Получайте массу удовольствия! Я имею в виду, как ты мог не? Эта тема просто классная.
Примечания к курсу:
Здесь — конспекты курса в их последней версии от весны 2018 года. (Обратите внимание, что многие из ссылок Youtube на клипы видеоигр теперь мертвы. Я ничего не могу с этим поделать.)
Я буду использовать эти заметки в качестве основы для заметок этой весной и вносить изменения по мере продвижения. (Ваш отзыв, как всегда, будет приветствоваться.)
Версия от 17 января.
Версия от 1 февраля.
Версия от 8 февраля.
Версия от 19 февраля.
Версия от 28 февраля.
Версия от 5 марта (с некоторыми решениями).
Версия от 24 марта.
Расписание собраний : MWF 9:40-10:30, общежитие для почетных гостей B111.
Обратите внимание, что в расписание будут внесены некоторые изменения, которые будут обсуждаться и согласовываться в классе.
Я также надеюсь на специальную презентацию (в неурочное время) приглашенного докладчика. Если это произойдет, ожидается присутствие, если у вас нет очень хорошее оправдание.
Оценка :
Вы получите балла как за правильность, так и за качество изложения. Стандарт заключается в том, что тот, кто не знает ответа, должен легко следить за вашей работой. Любая работа, которая сбивает с толку, двусмысленна или плохо объяснена, не получит полной оценки.
Вам гарантированы как минимум следующие оценки: A для 88%, B+ для 83%, B для 76%, C+ для 70%, C для 64% и D для 50%.
  % марки   | |
  Домашнее задание:   | 30% |
  Еженедельная обратная связь:   | 10% |
Участие: | 10% |
  Срок проекта:   | 20% |
  Промежуточные занятия в классе:   | 10% |
  Выпускной экзамен:   | 20% |
Домашнее задание : Домашнее задание будет задаваться и оцениваться еженедельно. Вы можете работать с другими, но вы несете ответственность за свои собственные письменные решения. Вам всегда рады и настоятельно рекомендуется прийти в рабочие часы или оставайтесь после уроков, покажите мне свои письменные решения домашних заданий и спросите правильные ли они.
Еженедельная обратная связь : Я разрабатываю этот курс с нуля; Насколько мне известно, мой осенний курс 2016 года впервые был университетским. курс преподавался на основе этого.
Таким образом, вы несете ответственность за то, чтобы помочь мне сделать хорошую работу. Каждую неделю (к пятнице в 17:00) должно быть отправлено электронное письмо, отражающее на лекциях, конспектах курса и/или домашнем задании. С чем вы боретесь? Что вам нравится, а что скучно? Есть ли в конспектах лекций что-то, что, по вашему мнению, недостаточно объяснено?
Особенно приветствуются предложения по улучшению конспектов лекций , так как у меня есть некоторое стремление превратить их в книгу.
Быть кратким — это нормально, но вы должны сказать что-то более существенное, чем «Хорошая работа, без комментариев!» Недели без лекций на все три дня, и, кроме того, вы можете пропустить максимум две недели. Это не только для меня, но и для вас. Размышление о собственном обучении поможет вам закрепить изучайте привычки и помогайте запоминать материал на долгие годы.
Участие : Активное участие в курсе также очень важно. Самый очевидный (и наиболее рекомендуемый) способ выполнить это требование состоит в том, чтобы активно участвовать в обсуждениях в классе и задавать вопросы во время занятий. Вы также можете выполнить это требования, периодически приходя в рабочее время, чтобы задать вопросы, отправив мне электронное письмо с вашими вопросами или особенно тщательно в вашей еженедельной обратной связи.
Срок проекта : Вы также отвечаете за семестровый проект . Как правило, это включает в себя анализ игры (или ее части), написание короткой статьи об этом и проведение 10-15-минутной презентации перед классом. Вас приветствуют и поощряют работать в группах.
Я рекомендую (но не требую), чтобы вы использовали программное обеспечение под названием LaTeX для написания до вашего срочного проекта. Вот некоторые ресурсы и некоторые загрузки для Windows. Если вы используете Mac, это программное обеспечение, которое я использую и который вы можете скачать.
Вот пример того, как ваш временной проект может быть отформатирован, если вы используете LaTeX, вместе с описанием того, как получить начал использовать LaTeX. Это .tex файл, который был использован для создания этого документа, и вот этот же файл переименовали в .txt, так что веб-браузер сразу откроет его.
Вы также можете скачать файл TeX для примечаний к курсу выше — если вы видите что-то в примечаниях, которые вы хотите имитировать, вы можете видеть, как я это сделал.
Расписание экзаменов :
- Промежуточный семестр в классе: Среда, 7 марта (перенесено с 5 марта), в классе. Вот прошлогодний (75 минут) промежуточный, с решениями, и вот в этом году, опять же с решениями. Крайний срок сдачи — 9 марта.
- Заключительный экзамен: Среда, 2 мая в 9:00, в обычном классе.
Требования: Формальных предпосылок для класса нет. Действительно, класс разработан специально для первокурсников и / или специальностей, не связанных с STEM. Два руководства:
- У вас должна быть хорошая школьная подготовка по математике — в алгебре, предварительном исчислении и общей «математической зрелости». Хорошим ориентиром является то, что если вы еще не прошли курс Honors Calculus I (Math 141H) или его эквивалент, вы будете чувствовать себя уверенно. делать это.
- Курс не предназначен для студентов с высшим математическим образованием университетского уровня, и в нем есть некоторые повторения. с нашими курсами по вероятности и дискретной математике. Если вы прошли какой-либо курс математики на уровне 300 или выше, вы должны еще раз уточнить у меня, каковы ваши ожидания.
Калькуляторы разрешены но не обязательны, в том числе на экзаменах. Калькулятора с четырьмя функциями более чем достаточно; графическая функциональность не будет полезной. Функциональность программирования не разрешена для домашних заданий или экзаменов. Если вы принесете программируемый калькулятор на экзаменах, Кодекс чести обязывает вас не использовать эту функцию.
Требуется доступ к Интернету . Многие видеоролики курса будут ссылаться на отрывки из игровых шоу, которые есть на Youtube. Вы должны иметь возможность смотреть их (со звуком). Попробуйте ссылки ниже и убедитесь, что вы можете видеть и слышать все.
Политика макияжа :
Если у вас есть законный конфликт с каким-либо из экзаменов, вы обязаны сообщить мне по крайней мере за неделю до экзамена. В противном случае косметику будут давать только в случае крайней необходимости.
Жилые помещения :
Пожалуйста, свяжитесь с Ресурсным центром для студентов с ограниченными возможностями, если у вас есть своего рода инвалидность, которая требует каких-либо приспособлений. Я всегда рад следовать их рекомендациям; это ваша обязанность сообщить мне по крайней мере за неделю до экзамена.
Примерный список тем для обсуждения.
Это будет обновляться более подробно по мере прохождения курса.
- Вероятность. Вы бросаете два кубика. Какова вероятность, что в сумме они будут равны восьми? Вы сдаете себе покерную комбинацию.
Какова вероятность того, что вы сыграете себе флеш-рояль? Ты играешь
Десять шансов
и угадать наугад. Какова вероятность того, что вы выиграете машину?
Такие вычисления лежат в основе большей части того, что мы будем делать.
Ожидание. математическое ожидание игры — это средняя сумма денег, которую вы ожидаете выиграть при каждой возможности. взвешивается по его вероятности. Вы играете в «Кто хочет стать миллионером». Выйти или продолжать? Вы испытываете удачу?
Мы также рассмотрим ограничения того, что математика говорит о человеческом поведении. Что бы вы предпочли: 900 000 долларов или шанс один из десяти на 10 000 000 долларов?
- Вывод. Вы достаете из кармана монету и подбрасываете ее двадцать раз. Каждый раз выпадает орел. Какова вероятность
что это фальшивая монета с решками с обеих сторон?
На самом деле вы не можете ответить на этот вопрос, не делая дополнительных предположений. Мы обсудим теорему Байеса и байесовский вывод и посмотрим старые эпизоды Давайте сделаем сделку. Мы, конечно же, обсудим Задачу Монти Холла , которая на самом деле не появлялась. на шоу.
- Многошаговая стратегия. Вы играете в «Прикрытие». Какова вероятность того, что вы выиграете машину? Что, если вы знаете, что означают первые две цифры, и вам нужно угадать только последние три? Вы обязательно должны выбрать правильные две цифры в первом раунде. ….. Правильно?
Многопользовательская стратегия. Особые соображения требуются, если вы участвуете в соревнованиях с другими игроками, особенно если вы все играете одновременно.
Вот раунд финала Опасность. Возможно, урок английского был бы здесь наиболее полезен, но математический вопрос здесь: сколько вы должны поставить?
Моделирование. Попробуйте найти оптимальную стратегию для Переключатель. Попробуй. (Кроличья нора очень глубокая.) Вам придется несколько упрощенных допущений, если вы вообще хотите начать. Которые полезны для делать?
Студенческие презентации и заключение.
Теория игр | Мир математики – Матигон
Комбинаторные игры
Многие игры включают в себя бросание костей, перетасовку карт или вращение колес, и мы можем использовать вероятность, чтобы определить, насколько вероятны определенные результаты. Эта глава, с другой стороны, посвящена играм, в которых нет «везения»: эти игры называются «9».0334 Комбинаторные игры .
Одним из примеров комбинаторной игры являются шахматы, но они настолько сложны, содержат так много различных ходов и позиций, что практически невозможно анализировать шахматы с помощью методов, которые мы будем развивать в этой главе. Вот пример гораздо более простой игры:
.Есть две коробки с конфетами, и два игрока съедают их по очереди. На каждом ходу игрок должен съесть одну или несколько конфет, но только из одной коробки за раз. Например, игрок может съесть три шоколадки из коробки А, но не одну из коробки А и одну из коробки Б.
Оба игрока продолжают по очереди есть конфеты, пока обе коробки не опустеют. Выигрывает тот, кто получит последнюю шоколадку.
Здесь вы можете попробовать сыграть в эту игру против компьютера. Начните с нажатия на все конфеты, которые вы хотите съесть, затем нажмите кнопку, чтобы закончить свой ход.
Нажмите, чтобы закончить свой ход
Через некоторое время вы можете заметить, что всегда проигрываете. На самом деле с самого начала ясно, что компьютер всегда выигрывает, если только он не ошибается. (А компьютеры никогда не ошибаются…) В следующих разделах будут рассмотрены различные методы анализа комбинаторных игр, чтобы найти выигрышных стратегий и определить, лучше ли идти первым или вторым.
Если вы уже заметили закономерность и разработали выигрышную стратегию, следующие разделы могут показаться вам довольно сложными для решения простой игры. Однако те же методы можно применить и к гораздо более сложным играм.
Древовидные диаграммы
Один из способов представить себе комбинаторные игры — составить список всех возможных исходов. Лучше всего это сделать на древовидной диаграмме 9.0342 , где каждая вилка показывает все возможные варианты выбора, которые может сделать игрок. Вот древовидная диаграмма немного более простой версии игры выше, только с тремя конфетами в коробке.
Древовидная диаграмма
Тот, кто опустошает первую коробку, проигрывает, потому что противник может опустошить другую коробку, тем самым забрав последнюю шоколадку. Таким образом, Игрок 1 имеет только два разумных выбора: взять одну или две шоколадки из одной коробки.
Теперь очередь Player 2 . Игрок 2 тоже не хочет опустошать ящики. Это означает, что в одном случае есть две возможности, а в другом — три.
Настала очередь Игрока 1 . С меньшим количеством конфет остается гораздо меньше возможностей, которые не связаны с опорожнением первой коробки, что приведет к определенным потерям.
Продолжаем: если в обеих коробках по одной шоколадке, один игрок должен опустошить первую коробку. Затем противник может взять последнюю шоколадку из второй коробки и выиграть.
Выделим итоговые позиции, в которых Игрок 1 и Игрок 2 выигрывают.
Пока игра выглядит довольно честно: у каждого игрока есть три выигрышные позиции. Теперь давайте подумаем о позициях предпоследних.
Как только мы достигли любой из этих позиций, мы уже знаем, кто победит. Если вы можете перейти в выигрышную позицию только для Player 1 , это также должно быть выигрышной позицией для Player 1 . И то же самое верно для Игрок 2 . Мы можем раскрасить позиции, предпоследние и вторые, в зависимости от того, к какой выигрышной позиции они ведут.
И мы можем сделать то же самое снова: всякий раз, когда мы можем перейти к выигрышным позициям только одного вида, мы окрашиваем предыдущую позицию в тот же цвет.
К сожалению, в какой-то момент мы застрянем…
Когда на этих двух позициях есть выбор: мы можем либо перейти в выигрышную позицию для Игрока 1 , либо в выигрышную позицию для Игрока 2 . Здесь мы должны сделать предположение, что оба игрока умны и будут играть в своих интересах. Если настала очередь Игрока 1 , он/она, конечно же, займет свою собственную выигрышную позицию, и то же самое для Игрока 2 .
Мы покрасили первую коробку в синий цвет , потому что Игрок 2 может выбрать выигрышную позицию. Второй случай окрашен в зеленый цвет , потому что Игрок 1 может выбрать свою собственную выигрышную позицию. Это позиции, где игроки должны быть осторожны, чтобы не ошибиться.
То же самое происходит и здесь: Игрок 2 имеет возможность перейти к синему и зеленому выигрышным позициям, но – если он играет разумно – он, конечно же, выберет синий .
Похоже, что бы ни делал Игрок 1 в первый ход, он/она всегда будет в выигрышной позиции для Игрока 2 .
Игроку 2 суждено выиграть с самого начала – если только он не ошибется.
Этот метод полезен для простых игр, но непрактичен, если у нас есть коробки с большим количеством конфет. Если в коробке пять конфет, нам пришлось бы рассмотреть более 10 000 возможностей!
P и N — ПозицииВ древовидной диаграмме выше у нас было много копий одного и того же состояния в разных ветвях дерева. Вместо этого давайте нарисуем диаграмму всех различных состояний и соединим два состояния стрелкой, если игрок может перейти из одного в другое. (Помните, что вы не можете положить конфеты обратно или взять их из более чем одной коробки.)
Мы снова будем выделять разные состояния разными цветами, но цвета будут иметь другое значение, чем указано выше.
P и N Диаграмма позиций
Здесь вы можете увидеть все возможные состояния игры, в которую мы играли.
Эти стрелки показывают возможные направления движения. В свой ход вы можете двигаться либо вниз, либо вправо, как бы далеко вы ни пожелали.
Мы знаем, что как только мы достигли нижнего правого угла, p Предыдущий игрок возьмет последнюю шоколадку и выиграет. Назовем его P -позиция и окрасим в синий цвет .
Если мы находимся в каком-либо состоянии, когда ведет к , то P -позиция , n ext игрок выиграет. Мы называем эти N -позиции и окрашиваем их в красный цвет.
Отсюда вы можете перейти только на N -позиция . Как только вы это сделаете, ваш противник станет следующим и может победить. Поэтому это должно быть P -позиция .
Любые позиции, ведущие к новой P -позиция , должны быть N -позиция – следующий игрок выиграет. Вы видите закономерность?
Вот еще P -позиция откуда можно перейти только на N -позиция .
Эти два N -позиции потому что следующий игрок может переместиться на P -позиция .
Наконец, начальная позиция P -позиция . Выигрывает «предыдущий» игрок, а тому, кто сделает первый ход, суждено проиграть.
Закономерность вполне очевидна: все позиции по диагонали, где в каждой коробке одинаковое количество конфет, являются P -позициями. Все остальные позиции N -позиция. И это распространяется на большие размеры коробок, включая девять конфет в коробке, как в игре в начале этой статьи. Вы всегда делали первый ход, поэтому у вас не было шансов на победу, если только компьютер не ошибся.
A P -позиция — это позиция, в которой выиграет p предыдущий игрок (который перешел на эту позицию), а N -позиция — это позиция, в которой выиграет n дополнительный игрок (кто отходит от этой позиции). Во время игры вы всегда должны заканчивать свой ход на P -позиции.
Мы также заметили, что из P -позиции вы можете двигаться только на N -позиции, а из N -позиции можно перейти хотя бы на одну P -позицию.
Начиная с позиции P , следующий игрок проигрывает. Следовательно, следующий игрок должен иметь возможность перемещаться только на N -позиций. | Начиная с N -позиции, выигрывает следующий игрок. Следовательно, должен быть хотя бы один P — позиция, куда может двигаться следующий игрок. (Игра изменится, если вы допустите ошибку.) |
Чтобы проанализировать игру, мы должны начать с конца, когда мы знаем, кто бы выиграл. Затем мы можем работать в обратном направлении, используя два приведенных выше правила, чтобы классифицировать все позиции в игре.
В любой игре, которую можно проанализировать с помощью этого метода, исход определяется с самого начала. Если вам не повезло и вы игрок, которому суждено проиграть, вы ничего не можете сделать, кроме как надеяться, что ваш противник ошибется…
Игра Ним
Игра, о которой мы думали, является вариантом Ним . Выигрышную стратегию только для двух коробок конфет найти легко, но все становится интереснее, когда у нас есть три или более коробок. Вместо коробок конфет мы будем просто использовать стопки жетонов: вы можете брать столько жетонов, сколько хотите, но только из одной стопки за раз. Мы можем обозначать различные состояния игры с помощью чисел: например, (2,5,4) означает, что есть три стопки с 2, 5 и 4 жетонами соответственно.
Поздравляем, вы выиграли!
Игра окончена… Попробуй еще раз!
Обратите внимание, что не имеет значения, в каком порядке стоят стопки и есть ли дополнительные стопки с нулевыми жетонами. Например, (2,5,4) = (5,0,4,2). Мы уже показали, что (1,1), (2,2), (3,3), … все P -позиции, и существует простой способ определить, являются ли позиции с тремя или более стопками правильными. P или N . Этот метод может показаться довольно неожиданным и не связанным с теорией игр. Возникает при анализе P и N -позиции математически.
А. Состояние NIM ( A , B , C ,…) — P -Position, если Цифровая сумма или NIM SUM OF . c , … равно 0. В противном случае это N -позиция. Сумма Нима часто записывается как a ⊕ b ⊕ c ⊕ … и может быть рассчитана, как показано в следующем примере.
Чтобы найти сумму Нима 3 ⊕ 6 ⊕ 7, поступим следующим образом:
4 2 1 3 0 1 1 6 1 1 0 7 1 1 1 2 0 1 0 Выше вы можете видеть три числа 3 , 6 и 7 в разных строках и степенях двойки ( 1 , 2 , 4 , 908,335 ) в разных столбцах. Сначала нам нужно записать 3, 6 и 7 в двоичном виде, что означает запись их в виде суммы степеней 2.
Обратите внимание, что 3 = 1 + 2 . Нам нужно сложить степени 1 и 2, но нам не нужно 4. Следовательно, 3 = 011 в двоичном формате.
Обратите внимание, что 6 = 2 + 4 . Нам нужны степени 2 и 4, но нам не нужна 1. Следовательно, 6 = 110 в двоичном формате.
Обратите внимание, что 7 = 1 + 2 + 4 . Здесь нам понадобятся все три степени двойки.
Теперь нам нужно добавить столбцы, которые мы только что создали, но без переноса цифр.
В этом столбце у нас четное количество единиц, поэтому ответ 0 .
В этом столбце у нас нечетное количество единиц, поэтому ответ равен 1 .
В этом столбце у нас четное количество единиц, поэтому ответ 0 .
Двоичная цифровая сумма 3, 6 и 7 равна 010 , и когда мы конвертируем это из двоичного числа, мы получаем 2 . Поскольку сумма Нима не равна 0, состояние Нима (3,6,7) является N -позицией. Удаление двух жетонов из любой стопки сделает сумму Ним равной 0, поэтому это будет означать перемещение на P -позицию.
Ним обладает несколькими важными свойствами:
- Ровно два противника ходят по очереди.
- Ходы и все варианты четко определены правилами, случайных ходов нет.
- Существует только конечное количество различных позиций, и игра всегда заканчивается, когда один из игроков не может двигаться. Это означает, что нет розыгрышей и циклов, которые могли бы повторяться вечно.
- У игроков точная информация. В карточных играх часто нет полной информации, потому что один игрок не знает карты соперников.
- Из любой позиции игры оба игрока имеют одинаковый выбор ходов. Это неверно для шахмат, потому что из любой конкретной позиции один игрок может ходить только белыми фигурами, а противник может ходить только черными.
Игры со всеми этими свойствами называются Беспристрастными играми . Математики обнаружили, что любая беспристрастная игра эквивалентна игре Ним с ящиками определенных размеров. Это означает, что P и N — позиции совпадают, и количество возможных ходов всегда одинаково. Выигрышную стратегию для любой беспристрастной игры можно найти, переведя ее в ним, а затем используя сумму ним.
Статья о комбинаторной теории игр, представленная Филиппом Легнером на конференции «Математика завтрашнего дня сегодня»
Некомбинаторные игры
Одна из самых увлекательных комбинаторных игр: шахматы
Беспристрастные игры интересны для анализа с математической точки зрения, но как только вы нашли выигрышную стратегию, играть в них не так увлекательно – вы с самого начала знаете, кто выиграет.
Есть много других комбинаторных игр. Некоторые, например шахматы, настолько сложны, что мы не можем использовать методы, подобные приведенным выше. Шахматные компьютеры не пробуют миллионы разных возможностей — они играют очень похоже на человека: анализируют текущую позицию и следуют определенным стратегиям.
Еще одна ветвь Теории игр посвящена ситуациям, когда людям приходится принимать решения. Результат зависит от вашего собственного решения, а также от решения всех остальных, о чем мы не знаем заранее. Одним из примеров, где это происходит, является экономика: компаниям приходится принимать бизнес-решения и «играть» друг с другом на различных рынках.
Вот несколько интересных ситуаций, которые могут возникнуть в теории игр:
Дилемма заключенных
Равновесие Нэша
Битва полов
Представьте себе двух заключенных, запертых в двух отдельных камерах тюрьмы. Их обвиняют в совместном совершении преступления и допрашивают по отдельности. Обоим заключенным обещают сбежать, если они выдадут своего сообщника, который получит полный срок в 10 лет.
Если оба заключенных промолчат, улик недостаточно, и оба получают более короткий срок в 1 год. Если оба предают друг друга, каждый приговаривается к 5 годам лишения свободы.
В следующей таблице показаны четыре возможных исхода в зависимости от действий заключенного А и заключенного Б :
Заключенный А предает | Заключенный А молчит | |
Заключенный Б предает | А: 5 лет В: 5 лет | A: 10 лет B идет бесплатно |
Заключенный Б молчит | A бесплатно B: 10 лет | А: 1 год В: 1 год |
Предположим, что мы Заключенный А и думаем, какое действие предпринять: предательство или молчание.
- Если бы мы знали, что Заключенный Б предаст нас (первый ряд), за предательство мы получили бы 5 лет, а за молчание — 10 лет. Таким образом, мы также должны предать.
- Если бы мы знали, что Заключенный B будет хранить молчание (второй ряд), за предательство мы получили бы 0 лет, а за молчание — 1 год. Таким образом, мы должны предать.
Кажется, что — что бы ни делал Заключенный Б — предательство сократит нам срок в тюрьме, и поэтому это лучшее, что можно сделать.
Заключенный Б будет думать точно так же и тоже предаст. Оба заключенных предадут друг друга и оба будут приговорены к 5 годам тюремного заключения.
Заметьте, однако, что если бы они сотрудничали с и оба молчали, им удалось бы добиться результата, который был бы лучше для оба : всего по одному году каждый.
Джон Форбс Нэш (* 1928)
В дилемме заключенных положение (А предает, Б предает) называется равновесием Нэша : ни один игрок не может улучшить свой результат, изменив свою стратегию.
В 1951 году математик Джон Форбс Нэш (* 1928) доказал, что все «игры» такого рода имеют равновесия Нэша (но их может быть больше одного). Это не обязательно лучший результат для всех игроков (см. дилемму заключенных), но это выбор, который в конечном итоге сделают игроки.
Джон Нэш был удостоен Нобелевской премии по экономике 1994 года за свою работу, а его биография описана в получившем премию Оскар фильме «Игры разума».
Равновесия Нэша имеют фундаментальное значение при анализе экономического поведения, такого как поведение крупных компаний, а также войн, гонки вооружений или даже футбольных матчей. Во всех этих случаях мы должны принять решение, принимая во внимание решения, которые может принять наш противник(и).
Вот еще одна известная проблема теории игр: принятие решения в браке.
Пара решает пойти куда-нибудь после работы. Они идут либо в оперу (что предпочитает жена), либо на футбольный матч (что предпочитает муж). Их телефоны сломаны, и они не могут связаться друг с другом, куда идти.
или ?
В следующей таблице показаны соответствующие «усиления».