Математический бильярд исследовательская работа: Исследовательская работа «Математический бильярд»

Теорема Пункуаре о возвращении

Появление теоремы Пункуаре о возвращении было связано с развитием классической механики, которая на рубеже XX века приобрела завершенный характер благодаря многочисленным выдающимся математическим работам как самого Анри Пункуаре, так и других математиков.

Теорема Пункуаре о возвращении

Пусть Т – сохраняющее объемы взаимно однозначное преобразование пространства, переводящее ограниченную область D пространства в себя: Т (D)=D. Тогда в любой сколь угодно малой окрестности U внутри D найдется точка x, которая после нескольких применений к ней преобразования Т снова возвращается в область U при некотором n 0. Более того, почти все точки области U возвращается снова в

U – объем невозвращающихся в U точек равен нулю.

Теорема Пункуаре о возвращении

Пусть y- произвольная точка пересечения областей T и U, где n=k-l. Так как каждая точка области T получается из некоторой точки области U в результате действия преобразования и точка y, лежащая вT, получается из некоторой точки x области U таким же способом: y= T n (x). Но точка y одновременно лежит в области U. Следовательно, точка x через n

шагов вернулась опять в область

U.

Метод математического бильярда

Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил известный физик Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Математическая теория явлений бильярдной игры» 1835-го года. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа.

Результаты исследований математиков Штайнхауза и Гарднера.

Для этого должен быть прямоугольный бильярдный стол с одними лишь угловыми лузами и целочисленными сторонами m и n (m, n — взаимно просты и обозначают ширину и длину бильярдного стола ). Шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов попадёт в другую лузу после m+n-2 касаний борта.

Результаты исследований математиков Штайнхауза и Гарднера.

На практике рассмотриваются только первых два случая, а именно:

1. Когда шар попадёт в лузу после одного касания о борт стола;

2. Когда шар попадёт

в лузу после трех

касаний о борт стола.

Применение математического бильярда

на практике

Законы о преломлении и отражении лучей из курса физики дают возможность проверить теорию математического бильярда.

Применение математического бильярда

на практике

Вместо бильярдного стола — небольшие коробочки соответствующих размеров исследований Штайнхауса и Гарднера. Вместо шара — обычный лазер и лазерный луч, отражавшийся от зеркал, т.к. зеркало- то место, где лазерный луч, т.е. шар должен касаться о борт стола. Зеркала должны стоять ровно перпендикулярно к коробочке.

Случай № 1

Случай № 2

Применение математического бильярда

на практике

Опираясь на данное правило и результат Штайнхауса и Гарднера, было определено, что действительно лазерный луч, т.е. шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов, попадёт в другую лузу после m+n-2 попаданий в зеркало, т.е. касаний о борт стола (коробочки).

Выводы

1. Метод математического бильярда возможен,

требует повышенного внимания и точных расчетов приложенной силы удара и необходим для игроков;

2. Применение рассмотренных теорем и следствий позволяют повысить уровень игры;

3. Игра в бильярд интересна, но сложна и не допускает погрешностей.

Благодарю за внимание!!!

Презентация по математике Исследовательская работа на тему Математический бильярд — бильярд для любителей

Актуальность исследования – популярность игры в бильярд и применение метода математического бильярда в процессе игры.
Цель исследования — изучить и выявить на практике действие законов математического бильярда.
Задачи исследовательской работы :  1. Изучить понятие «бильярд в круге»; 2. Ознакомиться с теоремой Якоби, а именно, с ее применение к теории чисел;3. Проанализировать теорему Пуанкаре о возвращении;4. Изучить метод математического бильярда; 5. Опытным путём доказать или опровергнуть, что метод математического бильярда действительно возможен для применения его на практике.

Бильярд — в круге Простейшая ограниченная выпуклая область с криволинейной границей на плоскости — круг. Проблема бильярда в круге поддается полному исследованию.

Рассмотрим шар в круге Q, ограниченном окружностью Г. Его траекториями являются вписанные в Г ломаные Po, Р1, Р2, Р3, Р4.., обладающие свойством равенства в точках,Р1,Р2,Р3.. углов падения и отражения, отсчитываемых от касательных или от радиусов. Из этого свойства следует, во-первых, что все звенья траектории равны между собой равны ; и во-вторых, что равны опирающиеся на них центральные углы. Шар в круглом бильярде без луз

Свойство: любая бильярдная траектория в круге никогда не заходит внутрь некоторого концентрического круга, границы которого касаются всех ее звеньев.Шар в круглом бильярде без луз Шар в круглом бильярде без луз

Получается, что вид бильярдной траектории в круге определяется числом α. А именно: (а) если число α соизмеримо с π, т. е. α/ π является рациональным числом, то бильярдная траектория периодична; (б) если α и π несоизмеримы, т. е. число иррационально, то отвечающая углу α траектория непериодична. Шар в круглом бильярде без луз

Теорема 1. Если α и π несоизмеримы (т.е. число α /π иррационально), то любая траектория бильярда в круге, отвечающая углу α (т.е. каждое звено которой из центра круга под углом α ), всюду плотно заполняет кольцо К. Теорема Якоби. Пусть α — несоизмеримое с π число {Ро, Р1,Р2, …}= {Рк}- бесконечная последовательность точек окружности Г такая, что каждая следующая точка последовательности Рк+1 получается из предыдущей точки {Рк} поворотом около центра на α радиан. Тогда для любой дуги треугольника окружности Г хотя бы одна точка последовательности {Рк} лежит на этой дуге. Теорема Якоби. Применение к теории чисел

Доказательство теоремы Якоби. Пусть — произвольная дуга на окружности Г, е – ее радиальная мера. Выберем такое натуральное число N, что 2π/N < е. Разобьем окружность Г на N равных по длине дуг 1, 2,…, N; радианная мера каждой из них равна 2π/N и меньше е.  Теорема Якоби. Применение к теории чисел

Появление теоремы Пункуаре о возвращении было связано с развитием классической механики, которая на рубеже XX века приобрела завершенный характер благодаря многочисленным выдающимся математическим работам как самого Анри Пункуаре, так и других математиков.Теорема Пункуаре о возвращении

Пусть Т – сохраняющее объемы взаимно однозначное преобразование пространства, переводящее ограниченную область D пространства в себя: Т (D)=D. Тогда в любой сколь угодно малой окрестности U внутри D найдется точка x, которая после нескольких применений к ней преобразования Т снова возвращается в область U при некотором n > 0. Более того, почти все точки области U возвращается снова в U – объем невозвращающихся в U точек равен нулю.  Теорема Пункуаре о возвращении

Пусть y- произвольная точка пересечения областей T и U, где n=k-l. Так как каждая точка области T получается из некоторой точки области U в результате действия преобразования и точка y, лежащая вT, получается из некоторой точки x области U таким же способом: y= Tn(x). Но точка y одновременно лежит в области U. Следовательно, точка x через n шагов вернулась опять в область U.Теорема Пункуаре о возвращении

Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил известный физик Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Математическая теория явлений бильярдной игры» 1835-го года. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Метод математического бильярда

Для этого должен быть прямоугольный бильярдный стол с одними лишь угловыми лузами и целочисленными сторонами m и n (m, n — взаимно просты и обозначают ширину и длину бильярдного стола ). Шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов попадёт в другую лузу после m+n-2 касаний борта.Результаты исследований математиков Штайнхауза и Гарднера.

На практике рассмотриваются только первых два случая, а именно:1. Когда шар попадёт в лузу после одного касания о борт стола;2. Когда шар попадёт в лузу после трех касаний о борт стола. Результаты исследований математиков Штайнхауза и Гарднера.
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation Законы о преломлении и отражении лучей из курса физики дают возможность проверить теорию математического бильярда. Применение математического бильярда на практике
Вместо бильярдного стола — небольшие коробочки соответствующих размеров исследований Штайнхауса и Гарднера. Вместо шара — обычный лазер и лазерный луч, отражавшийся от зеркал, т.к. зеркало- то место, где лазерный луч, т.е. шар должен касаться о борт стола. Зеркала должны стоять ровно перпендикулярно к коробочке.Применение математического бильярда на практике
Случай № 1 Случай № 2

Опираясь на данное правило и результат Штайнхауса и Гарднера, было определено, что действительно лазерный луч, т.е. шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов, попадёт в другую лузу после m+n-2 попаданий в зеркало, т.е. касаний о борт стола (коробочки).  Применение математического бильярда на практике

1. Метод математического бильярда возможен, требует повышенного внимания и точных расчетов приложенной силы удара и необходим для игроков; 2. Применение рассмотренных теорем и следствий позволяют повысить уровень игры;3. Игра в бильярд интересна, но сложна и не допускает погрешностей. Выводы

Благодарю за внимание!!!

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЯ МЕТОДОМ БИЛЛИАРДНОГО ШАРА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЯ МЕТОДОМ БИЛЛИАРДНОГО ШАРА

1

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

С помощью математики мы исследуем окружающий мир и продвигаем технический прогресс. И конечный результат деятельности людей зависит, в частности, от того, как совершается данный процесс, какие способы, приемы, средства при этом применяются. Многие люди не являясь математиками, но так или иначе используют математические приемы и методы, при этом упрощая свою работу в практической жизни.

Например, решая проблемы на переливания.

Однажды на факультативе решали задачу на переливание «как, используя два сосуда 5 л и 3 л, налить 7 л?» методом рассуждения. Показалось, сложно на первый взгляд. Куда наливать, в какой сосуд сначала? Что дальше? Решение задачи заняло почти 20 минут, и не сразу класс пришел к верной цепочке умозаключений. Вскоре такие задачи мы решали на школьном туре олимпиад. Проблема как научиться решать и решать быстро такие задачи привела нас к поиску более простых методов, чем метод рассуждений.

Изучая информационные источники, оказалось, что есть метод биллиардного шара. Даже название метода заинтриговало. В чем состоит этот способ решения задач на переливания? Есть ли еще другие методы? Какой самый универсальный, применим к любым задачам, простой в применении и на практике?

Так возникло решение написать учебный проект на тему «Решение задач на переливание методом бильярдного шара».

Актуальность данного учебного проекта состоит в том, что результат исследования применения разных методов решения задач на переливания поможет обстоятельно ответить на вопрос, какой способ самый универсальный и простой, какой применим на практике, в жизни, на уроках математики, при решении олимпиадных задач 5-6 классов.

Объект исследования – логические задачи на переливания.

Предмет исследования – методы решения задач на переливания.

Цель исследования: исследовать разные способы решения задач на переливания и определить универсальность одного из них.

Гипотеза: метод бильярдного шара является универсальным.

Для достижения поставленной цели исследования необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе анализа научно-методической литературы по проблеме исследования выявить все методы решения задач на переливания;

2. Использовать все способы для решения задач такого рода;

3. Провести анализ способов и доказать универсальность одного из способов решения задач на переливания;

4. Проверить применение универсального способа на решении других задач и для других участников учебного процесса.

5. Наметить пути использования универсального способа в учебном процессе.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы работы:

— теоретический анализ научной и научно-популярной литературы по данному вопросу;

— анализ методов решения задач на переливания и сравнение методов по предложенным критериям;

— экспериментальная проверка и доказательство универсальности метода бильярдного шара;

— статистическая обработка результатов исследования.

Практическая значимость учебного проекта состоит в том, что

-обоснована универсальность метода бильярдного шара;

-разработано учебное пособие к решению задач на переливания;

-выявление универсальности метода бильярдного шара может быть использовано для повышения эффективности методики обучения решению задач на переливание в факультативном курсе по математике.

В жизни каждого человека встречались задачи, где было необходимо налить определенное количество жидкости, не имея нужной мерки. В такой ситуации в ход идут сосуды разной емкости. Как с помощью этих емкостей отлить нужное количество жидкости? Это задачи решаются человеком, в основном, логически. Но есть интересный метод решения таких задач называемый методом бильярдного шара.

Проследив историю бильярда и соответствующего математического метода на основе разных информационных источников, отметим следующее.

А к началу ХХ столетия игра в бильярд (катание шаров) становится в России едва ли не любимой забавой горожан. (Цит. по [11])

Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. (Цит. по [9])

Изучая проблему бильярда, ученые-математики задались ответом на вопрос, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

Но математическая теория бильярдного шара была создана не сразу. Попытки исследовать математический базис бильярдной игры предпринимались неоднократно.

Так в 1835 году французский физик Гаспар Густав Кориолис за год до избрания его академиком Парижской академии наук написал книгу «Theorie mathematique du jeu de billard» («Математическая теория явлений бильярдной игры»). Однако работа Кориолиса, в которой автор использовал элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа, не заинтересовала ни игроков, ни математиков. Лишь через 150 лет теория биллиардов стала неотъемлемой частью эргодинамической теории и теории динамических систем, соединяя разные разделы математики.

С 70-х годов XX столетия современная теория бильярдов в России является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Яковом Григорьевичем Синаем и его школой (Приложение 1).

Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой — лежат на стыке отраслей современной математики — теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные и интересные выводы. В частности, оказалось, что бильярдная траектория помогает решать задачи на переливания.[3]

Рассматривая научную и научно-популярную литературу по данному вопросу, можно выделить труды ученых Гальперина Г.А. и Землякова А.Н., которые рассматривали траектории движения бильярдного шара. [1,2,3,4].

Из интернет-источников можно выделить несколько научных статей, но ни в одной из них не рассматривается доказательство универсальности метода бильярдного шара, только упоминание или разбор задачи этим методом.[5,6].

В интернете имеется презентация и работы трех школьников по данному вопросу. [7,8,9]

В первой работе показано как используется метод бильяра на одной задаче, во второй – разобраны несколько задач этим методом, составлена программа для решения задач на переливание. В третьей работе подробно разобран метод бильярда, в основном, повторяя труды Гальперина Г.А. и ЗемляковаА.Н. Ни в одной работе не была доказана универсальность метода бильярда по сравнению с другими методами.

Есть несколько познавательных сайтов предлагающих информацию о задачах на переливания или решении логических задач, где рассматривается метод бильярда при решении задач на переливание.[10,11,12,13].

Итак, я изучил разные источники информации, они приведены в разделе Литература. Это и научные статьи, и научно-популярные статьи, интернет статьи, интернет сайты по решению логических задач. Познакомился с проектными работами учащихся по данному вопросу. В этих работах решено и предлагается решить несколько задач на переливание методом бильярдного шара, но ни в одной работе, статье не приведено доказательство универсальности метода бильярда.

Поэтому захотелось не просто изучить разные методы решения задач на переливание, но и доказать гипотезу «метод бильярдного шара является универсальным».

Задачи на переливания (Приложение 7) постоянно даются на олимпиадах 5-7 классов. Умение решать такие задачи быстро и послужило поводом создать этот проект. Олимпиадные задачи на школьном туре я решал методом рассуждений. А какие же еще существуют способы решения таких задач, есть ли среди них самый простой, не требующий для решения много времени?

Изучая научно-популярную литературу, я узнал, что существуют 4 способа решения логических задач на переливания:

Расскажу немного подробнее о каждом способе.

Метод рассуждений

Способ рассуждений. Этим способом решаются самые простые

логические задачи. Но иногда задачи на переливания решаются не так быстро, а запись рассуждений может занять целый лист формата А4 в печатном виде. Так, задача, приведенная в работе Гальперина Г.А. и Землякова А.Н. «Математические бильярды» заняла 2 страницы объяснений.

Метод таблиц

Метод таблиц – основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Задачи на переливание решаются методом таблиц на основе того же метода рассуждений, только сопровождая рассуждения записью в таблице. Здесь также важно сразу выйти на «след» правильного решения. Решение задачи на переливания возможно двумя способами, то и таблиц должно быть две.

Метод блок-схем

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании блок-схем.

Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы (см. рис. 1). Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи (но фактически это итог нашего рассуждения – первым методом — и оформляется графически). При этом обычно заполняют отдельную таблицу (опять работает табличный метод!), в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Рисунок 1

Блок-схема для задач подобного рода на пересыпание выглядит несколько иначе, в виде графа (Приложение 6), но в ней лучше отражены все мысли решающего задачу.

Итак, мы видим связь этих трех методов. Главное в них – рассуждение от

начала решения и до конца решения. Только метод таблиц и метод блок-схем

начала решения и до конца решения. Только метод таблиц и метод блок-схем помогают оформить метод рассуждений графически.

Чтобы рассказать о четвертом методе бильярдного шара, надо познакомиться с проблемой динамических систем – проблемой траекторий.

Бильярдный стол можно представить в виде различных плоских фигур, окружности, эллипса, и даже в виде пространственных. Мы же будем рассматривать математическую модель бильярдного шара только как горизонтальный бильярдный стол в виде параллелограмма, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов. Проходя по линиям параллелограмма по нанесенной сетке правильных треугольников, он попадает во все точки на сторонах параллелограмма (кроме точки, противоположной начальной).

В задачах на переливания горизонтальная и вертикальная сторона параллелограмма по длине означают вместимость данных двух пустых сосудов. Каждая такая точка на стороне параллелограмма имеет две координаты, что означает количество воды, налитое в каждый сосуд.

Доказана теорема Биркгофа: у бильярда в любой выпуклой области Q на плоскости, ограниченной замкнутой гладкой кривой Г, существуют периодические бильярдные траектории с любым числом звеньев.

Иными словами сказать: мы всегда решим любую задачу на переливание, обойдя весь параллелограмм от точки О, и возвратившись в точку О.

Так, используя схему бильярдного стола в виде параллелограмма (см. рис.3), можно проследить сразу два способа решения задач на переливания, имея сосуды в 3 и 5 литров: 1- налить сначала в сосуд 3 л, 2 – налить сначала в сосуд 5 л. Да еще и виден путь ответа на сразу все вопросы: как, имея пустые сосуды в 3л и 5 л, отмерить 1л, 2л, Рисунок 3 3л, 4л, 5л, 6л, 7л?

Имея сосуды 3 л и 5 л, мы можем налить самое большое количество жидкости 5+3=8. Т.е., видим, что налить 9 л, имея сосуды в 3 л и 5 л, мы уже не сможем. Но есть другие задачи с другими начальными данными – вместимостью пустых сосудов, когда можно налить нужное количество жидкости. Поэтому необходимо каждый раз помнить условие разрешимости задач на переливание.

Рассматриваемая литература приводит нас к выводу, что существуют 4 метода решения задач на переливания, из них один способ – метод бильярдного шара – указывается как универсальный, но попыток доказательства нигде в литературе не приводится. Говорят «очевидно, что…». И рациональность, и универсальность метода бильярдного шара раскрывается посредством разбора нескольких конкретных примеров без сравнения с тремя другими. Поэтому я решил в своем проекте в следующей главе рассмотреть доказательство универсальности метода бильярдного шара по выбранным мной критериям.

Решая задачи на переливания, я понял, что некоторые простые задачи можно решить быстро и устно, с помощью логических рассуждений, а некоторые задачи более сложные этим методом решить уже не удается. Сравнивая методы решения для одной задачи, мы покажем простоту использования метода бильярдного шара и, рассматривая круг задач, покажем универсальность этого метода, т.е. автоматизированность и применимость этого метода к любой, даже сложной, задаче на переливания.

Решим четырьмя методами задачу, приведенную в книге Гальперина Г.А. и Землякова А Н. «Математические бильярды»: «Имеются два сосуда вместимостью 7 и 11 литров и большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих двух сосудов отмерить ровно 2 литра воды?»

Методом рассуждений решал задачу практически 20 минут, подробно расписывая все ветви рассуждений в таблицу.2 способа решения задачи разделил основной вертикальной чертой:

1 способ – можно налить сначала в пятилитровую емкость;

2 способ – можно налить в 8 литровую емкость.

К задаче была составлена блок-схема:

Рисунок 4

Методом бильярда задача была решена быстро, решение задачи с помощью макета занимает не больше минуты (не считая пояснений). Рисунок 5

Проведем анализ каждого способа решения задачи по следующим 6 критериям:

1. На решение задачи требуется мало времени.

   Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   Подчас требует много времени	В начале изучения требует достаточно много времени	Большие затраты на обдумывание и построение схемы	Решение автоматизировано, поэтому не требует много времени

2. Метод может использовать любой человек

   Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   Может рассуждать любой человек	Оформлять рассуждение в виде таблиц может любой человек	Использование блок-схем требует высокого уровня математической подготовки	Использовать метод может даже не посвященный в математику

3. Простой и понятный

   Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   нет	Не совсем	Нет	Да

4. Использование графической схемы (наглядность)

5. Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   Нет	Да	Да	Да
   Лучше параллельно вести таблицу		Лучше параллельно вести таблицу

   Возможность проследить сразу два способа решения задачи.

   Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   Нет	Да	Да	Да

6. Возможность создать макет для решения задач на переливание с разными параметрами, что в свою очередь сократит временные затраты на решение задачи.

Проведем сравнение методов по выбранным критериям и установим универсальность одного из методов, при условии отображения результатов анализа каждого способа по выбранным критериям следующим образом:

++ — если совершенно выдержан;

+ — если критерий выдержан;

+- — если критерий выдержат, но не совсем;

— — если критерий не выдержан.

Результат сравнения методов по выбранным параметрам показывает очевидность универсальности метода бильярдного шара. Но для проверки своих предположений необходимо провести исследования на большем массиве данных.

Поверка предположений универсальности метода бильярдного шара была подтверждена на основе оценки всех методов решения задач на переливание учащимися 6 класса (21 школьник).

На факультативных занятиях учащиеся 6 класса были ознакомлены со всеми способами решения задачи на переливания. На последнем факультативе было предложено решить типичную задачу на переливание четырьмя способами и провести анализ способов по выбранным мной ранее шести критериям (Приложение 3). Данные предпочтений учащихся я занес в таблицу:

Очевидно, что метод бильярдного шара универсальный (ему отдано 113 голосов), но очевидность не достаточна для доказательства универсальности. Универсальность метода нужно доказать статистическими методами.

Для доказательства универсальности метода использую данные анкет учащихся и критерий Хи-квадрат – один из методов статистики (он оказывается наиболее ценным при анализе ответов на вопросы анкет).[15].

1. Наша задача проверить, отличаются ли полученные эмпирические данные от теоретически равновероятных. Для этого необходимо найти теоретические частоты. Теоретические частоты – это равновероятностные частоты, которые находятся путём сложения всех частот (голосов) и деления на количество методов. В нашем случае: (I + II + III+IV)/4 = (54+74+55+113)/4 = 74.

2. Формула для расчета критерия Хи-квадрат: Хи-квадрат = ∑(Э — Т)² / Т.

Находим сумму последнего столбца: Хи-квадрат = 30,8.

1. Теперь нужно найти критическое значение критерия по таблице критических значений (Приложение 4). Для этого нам понадобится число степеней свободы (df): df= (R- 1) * (C — 1), где R – количество строк в таблице, C– количество столбцов.

В нашем случае 4 столбца (имеются в виду исходные эмпирические частоты) и 6 строк (критерии), поэтому: Df= (R- 1)*(С-1) = (6-1)*(4-1) = 15.

Для вероятности ошибки p≤0,05 и df= 15 критическое значение хи-квадрат = 25. Полученное эмпирическое значение больше критического (30,8  25) – значит, различия частот достоверны.

Мы доказали свою гипотезу: наше исследование достоверно, метод бильяда — универсальный метод решения задач на переливания.

Итак, решение нескольких задач четырьмя способами действительно подтвердило мнение об универсальности метода бильярдного шара.

Проведен анализ четырех методов решения задач на переливания по выбранным мной 6 критериям.

Мое предположение об универсальности метода бильярдного шара прошло проверку в форме анкетирования учащихся 6 класса, которые провели анализ всех методов по тем же 6 критериям.

Проведенный анализ предпочтений учащихся способов решения задачи на переливания также свидетельствовал об очевидности универсальности метода бильярдного шара.

Одним из статистических методов доказана достоверность исследования, т.е. доказана универсальность метода бильярдного шара.

Мне и учащимся 6 классов действительно понравился способ решения задач на переливания методом бильярдного шара. А созданное мной учебное пособие – макет бильярдного ромбического стола – помогло сократить время на решение таких задач.

Результатом проекта является доказательство гипотезы об универсальности метода бильярдного шара для решения задач на переливания одним из методов статистической обработки данных анкетирования. Цель исследования достигнута, исследования проведены, все поставленные задачи выполнены.

Выявлена практическая значимость проекта, которая заключается в использовании простого приема для решения практических задач на переливания, на пересыпание как в жизни, так и в учебном процессе в рамках факультативных занятий по математике в 6 классе, при подготовке к олимпиадам. Созданный макет бильярдного стола оформлен как учебное пособие для решения задач подобного рода (Приложение 5). Он помогал мне и поможет учащимся в дальнейшем решать различные задачи на переливания быстро и многократно.

Знание метода бильярдного шара поможет даже не посвященным в математику, тем, кто работает с растворами, сыпучими веществами и др.(домохозяйкам, в аптечном производстве, в строительстве, в сельском хозяйстве).

И, если бы знали Брюс Уиллис и его напарник метод бильярдного шара, они явно бы использовали данный метод для решения той задачи, которую задал им преступник в фильме «Крепкий орешек 3».

Как и где применяется метод бильярдного шара в других областях математики – об этом я решил узнать в 8-10 классах. И уж точно смогу в будущем написать программу для задач на переливания на уроках программирования.

1. Бильярд.//Мифы или реальность (сайт).-URL:http://www.molomo.ru;

2. Гальперин Г.А. Бильярды //Квант.- 1981.- №4.-С.34-37.

3. Гальперин Г.А. Периодические движения бильярдного шара// Квант.- 1989.- № 3.С.8-15.

4. Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. (Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики).– М.: Наука, 1990.-288 с.-(«Библиотечка «Квант». Выпуск 77).ISBN 5-02-014080-5.

5. Глухова О.Ю. Система нестандартных задач по математике, приемы и методы решения.// НПК ученых и студентов с дистанционным участием. Коллективные монографии.-URL:http://www.sibac.info/sibac.info/2009-07-01-10-21-16/10116-

6. Земляков А.Н. Арифметика и геометрия столкновений // Квант.-1978.- №4-С.14-16.

7. Интернет библиотека МЦНМО.-URL:http://www.ilib.mccme.ru;

8. Интевики (образовательный портал сообщества). -URL:http://www.wiki.iteach.ru

9. Попов О.А. Критерий Хи-квадрат.//Статистика в психологии и педагогике(сайт).-URL:http://www.psystat.at.uaПедагогический клуб «Наука и творчество» (сайт)- URL:http://www.sites.google.com/site/klybnayka/

10. Решение задач на переливание методом бильярдного шара (презентация)//MyShared (база презентаций). – URL:.http://www.myshared.ru/slide/216701/

11. Решение задач на переливание методом бильярдного шара (исследовательская работа по информатике)//Официальный сайт МОУ СОШ№7 г. Копейска.-URL:http://www.school-7.ucoz.com.

12. Решение задач на переливание на бильярдном столе (реферат)// РЕФ.РФ. Единый реферат-центр России и СНГ.-URL:http://WWW.referatwork.ru/new/source/80926text-80926.html.

13. Учимся решать логические задачи (cайт).-URL:http://www.logika.vobrazovanie.ru

14. Шатова Н.Д. Логические задачи как средство развития рефлексивной деятельности учащихся 5-6 кл. при обучении математике//Библиотека авторефератов и диссертаций по педагогике.-URL:http://nauka-pedagogika.com/pedagogika-13-00-02/dissertaciya-logicheskie-zadachi-kak-sredstvo-razvitiya-refleksivnoy-deyatelnosti-uchaschihsya-5-6-klassov-pri-obuchenii-matematike#ixzz3Px5QtLHI

Синай Яков Григорьевич

Синай Я.Г. (д.р.1935 г.) — доктор физико-математических наук, академик РАН, действительный член Американского математического общества, работает в России и Америке, в 2014 году получил премию Абеля за фундаментальный вклад в изучение динамических систем и др.

Синай Я.Г., ученик Колмогорова А.Н., родился в 1935 году в Москве, закончил физмат МГУ, по настоящее время ведет плодотворную творческую работу и в России, и в Америке.

В 2014 году Яков Григорьевич получил премию Абеля за фундаментальный вклад в изучении динамических систем. Его ученик Земляков А.Н. вместе с Гальпериным Г.А., учеником Колмогорова А.Н., в 1990 году написали книгу «Математические бильярды», которая лежит в основе каждой работы по исследованию математической теории бильярдов. Эта работа прояснила и мне что такое метод бильярдного шара.

Наш класс решает задачи на переливания

Таблица критических значений критерия Хи-квадрата

df0.05 0.025 0.01 0.005 0.001

1 3.84 5.02 6.63 7.88 10.83

2 5.99 7.38 9.21 10.60 13.82

3 7.81 9.35 11.34 12.84 16.27

4 9.49 11.14 13.28 14.86 18.47

5 11.07 12.83 15.09 16.75 20.51

6 12.59 14.45 16.81 18.55 22.46

7 14.07 16.01 18.48 20.28 24.32

8 15.51 17.53 20.09 21.95 26.12

9 16.92 19.02 21.67 23.59 27.88

10 18.31 20.48 23.21 25.19 29.59

11 19.68 21.92 24.73 26.76 31.26

12 21.03 23.34 26.22 28.30 32.91

13 22.36 24.74 27.69 29.82 34.53

14 23.68 26.12 29.14 31.32 36.12

15 25.00 27.49 30.58 32.80 37.70

16 26.30 28.85 32.00 34.27 39.25.

Создан макет бильярдного стола

1 сторона

2 сторона

Блок-схема решения задачи на пересыпание

Понятие задачи на переливание

В математической среде имеется договоренность, какие задачи считать задачами на переливание и какие требования при решении их предъявляются.

Во-первых, в задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание (указано сколько отлить вещества) и выполнены все условия задачи (какие имеются сосуды с веществами). Если не сказано ничего другого, считается, что

• все сосуды без делений;

• нельзя переливать жидкости «на глаз»;

• невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Во-вторых, мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

•  

  1. знаем, что сосуд пуст,

  2. знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

  3. в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

  4. в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них;

  5. в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

27

Просмотров работы: 6388

Темы исследовательских работ по математике

Внимание! Для повторения и закрепления таблицы умножения и таблицы деления предлагаем наши игровые программы Таблица умножения в мультиках и Таблица деления в мультиках.

На этой странице представлен общий список тем исследовательских работ по математике для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 класса, перейти к которым можно по ссылкам и далее на страницах выбрать наиболее подходящую уровню знаний и умений ребенка тему проекта. Проектная деятельность учащегося начинается только после того, как тема научно-исследовательской работы будет одобрена руководителем (учителем).

Правильно выбранные темы проектов по математике для учащихся 5, 6, 7, 8, 9, 10 или 11 класса способствует тому, что работа над ними будет, действительно, увлекательна, познавательна и интересна. Особенно, если данный исследовательский проект по математике выполняется группой детей.

Приведенные ниже темы исследовательских работ и проектов по математике являются примерными, некоторые из них можно объединить в одну тему при наличии общих задач и цели исследования.

Темы исследовательских проектов по математике

Темы проектных работ по математике:

Темы исследовательских работ по математике

Темы исследовательских проектов по математике:

Перейти к разделам:
Исследовательские работы по математике
Методы исследования

Если Вы хотите разместить ссылку на эту страницу, установите у себя на сайте или форуме один из следующих кодов:

Код ссылки на страницу с темами проектов по математике:
<a href=»http://obuchonok.ru/node/431″ target=»_blank»>Темы исследовательских работ по математике</a>

Код ссылки на форум с темами исследовательских работ по математике:
[URL=http://obuchonok.ru/node/431]Темы исследовательских работ по математике[/URL]

(PDF) Теоретический анализ динамики бильярдного шара при ударах подушки

1872 С. Матаван, М. Р. Джексон и Р. М. Паркин

На рисунке 10 показаны характеристики отскока катящегося шара

с различными значениями бокового вращения. Графики

дают очень интересные результаты. Кроме того, когда шар

имеет правое вращение (согласно терминологии бильярда,

направление ω

S

0

— обозначено на Рис. 2 — называется правым вращением

, противоположным которому является левое вращение), отскок

скорость превышает значение падающей скорости.Вдобавок

, для более высоких значений левого вращения, при более высоких углах падения

к 90

◦

, скорость отскока превышает значение

скорости падающего мяча. Второй график на рис.10

предполагает, что, когда мяч оставил вращение (k <0),

и для значений угла падения, близких к 90

◦

, мяч

отскакивает назад в сторону, с которой она подошла к подушке

(см. рис.11). Этот эффект отскока мяча

в одну и ту же сторону был описан Уокером [17]

для бильярда и Кроссом [18] в общем контексте

для отскока мяча. Кросс [18] также предоставляет экспериментальные результаты

для характеристик отскока

теннисного мяча, отскакивающего от неровной поверхности.

График скорости скольжения в зависимости от мгновенного значения импульса

показан на рис. 12. Изменение направлений скольжения

, как показано на графике, предполагает, что предположение

об однонаправленном скольжении не может быть верным.

Рис. 11 Отскок мяча в ту же сторону слева

Условия вращения для значений α, близких к 90

◦

Рис. 12 Кривые скольжения – импульса для V

0

= 2 м / с, α = 45

◦

,

ω

S

0

= 2V

0

/ R и ω

T

0

= 1.5V

0 9000 R и  для

скольжения на подушке, и s



и 



для скольжения

у стола)

5 ВЫВОДЫ

Трехмерный анализ удара для столкновения Представлен вращающийся бильярдный шар

с подушкой.Дифференциальные уравнения

выводятся для динамики мяча в течение

времени удара, а затем численно находятся решения

.

Комбинируя некоторые из предыдущих экспериментальных

результатов авторов с численными решениями, коэффициент восстановления при столкновении шара с подушкой составляет

и определяется как 0,98. Кроме того, значение коэффициента трения скольжения

составляет 0,14.

Углы и скорости отскока приведены в виде графиков

в зависимости от углов и скоростей падения для различных скоростей

и условий вращения.В условиях чрезмерного бокового вращения

скорости отскока на

превышают падающие скорости, а также обнаруживается, что мяч

отскакивает назад на той стороне, с которой он приближался к подушке

.

Хотя этот анализ обеспечивает количественную оценку

для многих явлений, связанных со столкновениями подушек

, которые описаны в литературе по бильярду, ожидается, что

будет подтверждено путем отслеживания вращения лиардного шара биллиона

.Для этой цели можно использовать цветной узор, нарисованный на белом битке

.

© Авторы 2010

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Надлер Д. Математическая теория вращения, трения и

столкновений в игре в бильярд, 2005 г. Английский перевод книги Кориолиса 1835 г. (Nadler, D ., Сан-Франциско,

Калифорния, США).

2 Long, F., Herland, J., Tessier, M.-C., Naulls, D., Roth, A.,

Roth, G., And Greenspan, M. Роботизированный пул: эксперимент

в автоматической заливке.In Proceedings of the IROS’04:

IEEE / RSJ International Conference on Intelligent and

robotics and systems, Sendai, Japan, 2004, vol. 3. С.

2520–2525.

3 Хо, К. Х. Л., Мартин, Т. и Болдуин, Дж. Снукер-робот

игрока — 20 лет спустя. В Proceedings of the IEEE Sym-

posium on Computational Intelligence and Games (CIG

2007), Гавайи, 1–5 апреля 2007 г., стр. 1–8.

4 Cheng, B.-R., Li, J.-T., and Yang, J.-S.Конструкция нейронечеткого компенсатора

для бильярдного робота. В Pro-

ceedings Международной конференции IEEE 2004 г. по теме

Networking, Sensing and Control, Тайбэй, Тайвань, 21–23

март 2004 г., стр. 909–913.

5 Алиан, М. Э., Шураки, С. Э., Шалмани, М. Т. М.,

Каримиан, П., и Сабзмейдани, П. Робошарк: портал

бильярдный игрок. В материалах 35-го Международного симпозиума

по робототехнике (ISR), Париж, Франция, 2004 г.

6 Jebara, T., Eyster, C., Weaver, J., Starner, T., and Pentland,

A. Stochasticks: расширение возможностей игры в бильярд с помощью вероятностного зрения

и носимого компьютера. В материалах Международного симпозиума IEEE по носимым компьютерам

, Кембридж, Массачусетс, США, октябрь 1997 г., стр.

138–145.

Proc. IMechE Vol. 224 Часть C: J. Машиностроение JMES1964

(PDF) Игра в пул с π (число π с точки зрения бильярда)

G.GALPERIN

частоты и вероятности, мы получаем, что π приблизительно равно N / R, отношение количества

падает к количеству пересечений с сеткой. Конечно, большая точность достигается увеличением

числа падений до бесконечности.

Читатель может поиграть в «игру Буфона» и найти хорошие приближения к π на веб-сайте [4].

Он / она может легко заметить, что требуется много капель, чтобы получить более или менее хорошую точность для π;

в дополнение к этому, нужно быть уверенным, что отбрасывание равномерно распределено.Недостаток

метода Буфона заключается в его вероятностной природе, и никто не может гарантировать какую-либо конкретную точность при вычислении

π с использованием этого метода.

В этой статье мы представляем совершенно новую идею вычисления π — бильярдной единицы. Как и метод

Буфона, наш метод также является экспериментальным и вообще не требует использования какого-либо современного устройства

. Однако, в отличие от метода Буона, этот метод полностью детерминирован: вам нужно всего лишь

, чтобы «запустить» динамическую систему, состоящую всего из двух бильярдных шаров, и

— абсолютно упругое препятствие (стену), count количество столкновений в этой системе, а затем запишите это число

на (возможно, длинном!) листе бумаги.Целое число, которое будет записано на бумаге

, будет

314159265358979323846264338327950288419716939937510 …;

состоит из первых N цифр числа π = 3,14159265 …, где N представляет количество десятичных цифр

числа π, которое вы хотите знать.

С одной стороны, наш метод является чисто математическим и, скорее всего, никогда не будет использоваться в качестве практического способа

для нахождения приближений π. С другой стороны, это самый простой метод

среди всех известных (начиная с древних греков!).Более того, это дает возможность

найти π с произвольной точностью, т.е. позволяет нам найти каждую отдельную цифру π.

Чтобы получить точность до N десятичных цифр, нужно просто взять шары с соответствующими массами

: отношение масс должно быть выбрано равным N-й степени 100,1

2. Процедура

Рассмотрим две точки: как шары с массой и M, Mm. Шарики будут двигаться вдоль положительной оси x

и сталкиваться друг с другом при каждом столкновении, а маленький шар m будет отражаться от вертикальной стены

, расположенной в точке x = 0.

Каждое столкновение в системе должно быть абсолютно упругим. Это означает, что столкновение

между шарами удовлетворяет двум механическим законам: закону сохранения количества движения и закону

сохранения кинетической энергии. Кроме того, маленький шарик отражается от стены, изменяя свой вектор скорости

на противоположный вектор. Другими словами, стенку можно представить как неподвижный бильярдный шар бесконечной массы

.

Следуем следующей ПРОЦЕДУРЕ

:

1.Пусть N фиксированное положительное целое число. Возьмем два бильярдных шара с соотношением масс

M / m = 100N.

2. Поместите маленький шар m между стеной в начале координат и большим шаром M.

3. Очень быстро толкните большой шар к маленькому шару2.

1 Как станет очевидным для читателя, число 100 = 102 взято только потому, что мы находим десятичное представление

числа π. Для представления числа π в системе счета b необходимо взять M / m = b2N.

2 Последнее условие не обязательно: если мы изменим масштабирование времени, большой шар может двигаться медленно.Изменение

шкалы времени изменяет энергию всей системы; так что это эквивалентно замене одного уровня энергии

другим. Как вы увидите позже в разделе 8, изменение масштаба времени сохраняет параллелизм развертывания

траектории конфигурации в пространстве конфигурации.

376 ОБЫЧНАЯ И ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА, т. 8, 4, 2003

Хаос на бильярдном столе

Даже простые процессы могут привести к хаосу.Вот почему это так сложно предсказывать погоду, фондовый рынок и многое другое процессы, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. Математики пытаются справиться с хаосом, глядя на простейшие системы, которые это демонстрируют. Прекрасный пример — игра в бильярд.

Закон отражения: угол падения равен углу отражения.

«Математический бильярд — это идеализация настоящего бильярда», — поясняет Коринна Улчиграй, математик из Бристольского университета, изучающая математический бильярд.»Идея аналогична: у вас есть стол и мяч, но мяч не имеет массы, поэтому нет трения. Мяч подпрыгивает в соответствии с по тем же правилам, что и обычный мяч «. То есть он движется по прямой линии, пока она не коснется края стола, где она отскочит следуя закону отражения (см. рисунок справа). Но в отличие от настоящего бильярда здесь нет карманов. который может проглотить мяч, и поскольку он не испытывает никаких трение по мячу будет продолжаться вечно.

Как обычно будет выглядеть траектория полета мяча? «Если вы выстрелите по мячу так, чтобы он попал в одну из сторон стола (его траектория образует прямой угол со стороной), то он вернется по той же траектории, по которой он прибыл, но двигаясь в противоположном направлении.Он продолжит удар по противоположному краю в совершенно противоположной точке, вернется по своему пути и продолжит подпрыгивать. между двумя противоположными точками на одном и том же прямая линия навсегда. Точно так же, получив правильное начальное направление, вы можете убедиться, что мяч отскакивает от средней точки всех четырех ребер по очереди, а затем возвращается туда, где он начал, вечно путешествуя по тем же четырем сегментам линии.

Слева: если вы стреляете по мячу так, что он встречается со стеной под прямым углом, он будет постоянно отскакивать между противоположными точками на столе.Справа: аналогично вы можете заставить мяч перемещаться между четырьмя точками. Это примеры периодических траекторий.

Но оказывается, что это обычное поведение очень редко. В 80-е годы математики доказали, что большинство начальных направлений траектория будет будет намного более диким: он не только не пойдет по своим следам, но и в конце концов исследуйте всю таблицу, подойдя произвольно близко к каждому пункту на нем. Причем типичная траектория будет проходить каждый части таблицы в равной мере: если взять две области стол, площади которого равны, то траектория проведет равную количество времени в обоих.Такое поведение является следствием того, что бильярд эргодичен . Под «подавляющим большинством» математики подразумевают, что если вы выберете направление наугад, оно почти наверняка будет вести себя таким эргодическим образом.

Эргодичность бильярда означает, что очень сложно предсказать, где окажется шар по прошествии определенного времени: чтобы это выяснить, вы должны буквально проследить его путь на листе бумаги, тщательно измеряя угол за углом, потому что вы можете Не полагайтесь на какой-либо обычный шаблон.Это может показаться неплохим, в конце концов, вы можете запрограммировать быстрый компьютер, который сделает всю работу за вас. Но есть еще одна независимая особенность, которая усложняет задачу. Если вы получите начальные условия мяча — место и направление, с которого он начинается — хоть немного неверно, то небольшая ошибка, как правило, будет снежным комом, что сделает ваш прогноз неточным. Эта чувствительная зависимость от начальных условий широко известна как эффект бабочки и является одним из признаков хаоса.

Не только развлечения и игры

Что касается настоящего бильярда, то хаос, вероятно, делает его забавным. Кто хочет играть в предсказуемую игру? Но математики изучают бильярд не потому, что им нравится играть в него. Вариации игры представляют собой модели динамических систем, возникающих в природа. Понятие эргодичности было развито в контексте частиц, например молекул, составляющих газ, прыгающих по окружающему пространству, натыкаясь друг на друга при движении. «Эргодичность — очень важное свойство хаотических систем», — объясняет Улчиграй.»Он восходит к XIX веку, когда физик Людвиг Больцман предположил, что многие динамические системы эргодичны: они настолько хаотичны, что если вы посмотрите на траекторию типичный момент — это в некотором смысле исследует все [теоретически разрешенные возможности] ».

Однако удивительно, что эргодичность может сделать вашу систему более предсказуемой. Существует математический результат, называемый эргодической теоремой Биркгофа , который говорит вам, что если система эргодична, то, даже если вы не можете точно предсказать, что она будет делать в будущем, вы можете точно предсказать средние величины для типичных траекторий.Например, в бильярде вы не сможете точно предсказать, где окажется шар по прошествии некоторого времени, но вы можете точно предсказать, какую часть своего времени он проводит в определенной области стола. Если вы смотрите на газ, то, возможно, вы не сможете точно сказать, где находятся многие составляющие его молекулы в любой данный момент, но вы можете предсказать такие вещи, как его температура или давление. Таким образом хаотические системы идут, эргодичность на самом деле хорошая вещь.

Изменение формы

Одно естественное явление, которое быстро превращается в бильярдную задачу, если его упрощать, — это электропроводность металлов.Электрический ток — это поток частиц, называемых электронами. Чтобы упростить задачу, предположим, что через металла, и представьте себе металл как решетку из молекулы равномерно расположены в двумерной плоскости. Если вы думаете электрона как немного мяч, то он ведет себя так же, как прыгающий бильярдный шар на столе, который содержит решетку из препятствия.

Три возможных траектории шара на столе с круглыми препятствиями. Изображение предоставлено Йенсом Марклофом, из Кинетический перенос в кристаллах .Используется с разрешения.

Начало траектории на Г-образном столе. Все углы в этой таблице являются рациональными кратными π, а именно π / 2 (пять из них) и 3π / 2 (оставшийся один).

Чтобы изучить такие системы, как эта, вам нужно отпустить еще одну знакомую особенность бильярда, с которой мы сталкиваемся в пабах: прямоугольную форму стола. Хорошая отправная точка — спросить, что произойдет, если стол будет треугольным, шестиугольным или L-образным. В более общем плане, что, если ваш стол представляет собой многоугольник , фигуру, края которой являются прямыми линиями и которая может содержать отверстия, соответствующие препятствиям? Верен ли приведенный выше результат — типичные траектории эргодичны и равномерно распределены по таблице?

Ответ — да, если углы в углах многоугольника имеют особую форму.Они должны быть равны где и являются целыми числами (так что это рациональное число). Прямоугольники и квадраты попадают в этот класс (их углы углов равны), равно как и равносторонние треугольники (их углы равны), правильные пятиугольники (с углами углов), правильные шестиугольники (), а также все другие правильные многоугольники. Но результат также сохраняется, если таблица содержит препятствия, если они также ограничены прямыми линиями, а углы в получившемся многоугольнике соответствуют приведенной выше форме. Бильярд, на котором играют на столе, который удовлетворяет этим свойствам, называется рациональным многоугольным бильярдом .

Если вы позволите линиям, ограничивающим таблицу, быть изогнутыми, система полностью переключает передачи. Оказывается что игра становится намного менее хаотичной, если граница стола повсюду выступает наружу (если она строго выпуклая ). Примеры: круг или эллипс. В этом случае периодических траекторий намного больше — те, которые повторяют свои шаги — а траектории не имеют изучить всю таблицу.

Если, с другой стороны, фигура содержит части границы, которые выпирают внутрь, тогда игра становится намного больше. хаотичный.Если учесть небольшой диапазон начальных положений и направлений мяча, то полученные траектории не только расходятся, но расходятся до такой степени, что в конечном итоге будут равномерно распределены по всему столу. Таким образом, небольшая неточность в начальных условиях означает, что вы действительно не имеете ни малейшего представления о том, где окажется мяч через некоторое время — это пример свойства динамических систем, называемого перемешиванием .

Начало траектории на вогнутом столе.

Следовательно, рациональный многоугольный бильярд представляет собой водораздел. между разными уровнями предсказуемости. «Полигональный бильярд интересен динамически, потому что — это своего рода медленный хаос, — объясняет Улчиграй. — Это хаотично, но менее хаотичен, чем другие ».

Бесконечные сюрпризы

Возможно, удивительно, что математикам потребовалось больше времени, чтобы доказать результаты о многоугольном биллиарде, чем о биллиарде с изогнутыми формами. Результаты об эргодичности криволинейных бильярдов были подтверждены еще в 1960-х годах, не в последнюю очередь Научный руководитель Ульчиграя Яков Синай, получивший в этом году премию Абеля, одна из самых престижных премий по математике за его вклад в теорию динамических систем.Только в 1980-х математики вплотную подошли к созданию, казалось бы, простых многоугольных таблиц. Их успех объясняется изобретательным математическим трюком, который превращает неровные и дикие траектории на плоских столах в плавные кривые на красивых поверхностях, хорошо понятные математикам. Это прекрасная техника, на которую стоит обратить внимание — вы можете узнать больше в статье Plus .

В 2013 году техника помогла Уличиграю доказать шокирующий результат.Вместе с польским математиком Кшиштофом Фрачеком она рассмотрела бесконечный бильярд. стол, содержащий решетку прямоугольных препятствий. Эта установка известна как модель Эренфеста в честь русского математика Татьяны Эренфест и ее мужа Пола, которые исследовали ее, чтобы объяснить поведение молекул в газах.

Модель Эренфеста представляет собой бесконечный стол с бесконечным набором прямоугольных препятствий. Изображение из этой статьи Fraczek и Ulcigrai, использовано с разрешения.

Впустить в картину бесконечность может показаться пугающим, но математики делают это регулярно. А поскольку это прямое обобщение рациональной многоугольной схемы (все препятствия ограничены прямыми линиями, которые пересекаются под прямым углом), Ульчиграй и Фракчек ожидали, что и здесь подавляющее большинство траекторий должно быть эргодический. Но в конечном итоге они доказали прямо противоположное: подавляющее большинство траекторий не эргодичны.Почему это случай это загадка. «Есть и другие системы, в которых геометрическая причина того, почему траектории не эргодичны, — говорит Улчиграй. Постройте типичную траекторию, чтобы увидеть, что они остаются в ограниченном полоса, например. Но в нашей модели, если вы построите траекторию, вы не увидите такой причина. Траектория выглядит так, будто исследует всю таблицу. Но мы доказали, что это не так. Это обман! »

Чтобы разгадать эту тайну бесконечного стола, потребуются дополнительные исследования.Но даже конечный бильярд по-прежнему вызывает вопросы: что произойдет, если ваш стол представляет собой многоугольник, углы которого иррационально кратны, например? Дело в том, что на самом деле никто не знает. Вопрос все еще широко открыт.

Об этой статье

Коринна Улчиграй — преподаватель чистой математики в Бристольском университете. Коринна родилась в Триесте, Италия, в 1980 году. Она получила диплом по математике в Scuola Normale Superiore в Пизе (2002) и защитила докторскую степень по математике в Принстонском университете (2007) под руководством Я.Г. Синай (лауреат Абелевской премии 2014 г.). Ее исследования находятся в области динамических систем и эргодической теории. Она является одним из немногих международных экспертов в области динамики Тейхмюллера в Великобритании и изучала динамические и хаотические свойства многоугольных биллиардов и потоков на поверхностях. Коринна была удостоена премии Европейского математического общества для молодых математиков на Европейском математическом конгрессе 2012 года и была лауреатом премии Уайтхеда 2013 года Лондонского математического общества.Она замужем за математиком и имеет маленького ребенка.

Марианна Фрейбергер, редактор журнала Plus , взяла интервью у Коринны на Британском математическом коллоквиуме в Лондоне в апреле 2014 года.

Геометрическая точка зрения | Периодические бильярдные дорожки

«Когда мы на самом деле собираемся использовать это в реальной жизни?» Студент жалуется учителю математики. Это вопрос, который мы все когда-то слышали в старшей школе. Когда мы молоды, может быть трудно понять, как математика связана с «реальным миром».По мере того, как мы становимся старше, те из нас, кто продолжает изучать математику, понимают, что одна из прекрасных особенностей математики (и геометрии в частности) заключается в том, что она присутствует повсюду. Это можно увидеть, например, в том факте, что золотое сечение и числа Фибоначчи появляются почти везде. Поэтому неудивительно, что с помощью математики можно изучить практически все. Здесь мы увидим, как взять простую игру на ловкость, бильярд, и использовать геометрию для математического изучения игры.

Давайте познакомимся с «правилами» математического бильярда, которые несколько отличаются от игры, с которой многие из нас знакомы. Во-первых, мы играем только с одним бесконечно маленьким бильярдным шаром. По этой причине наша цель — не забивать другие бильярдные шары в лузы; скорее, чтобы увидеть, как движется наш мяч после того, как мы приведем его в движение. Мы также играем на столе без трения и требуем, чтобы все столкновения были упругими (это означает, что энергия сохраняется во время каждого столкновения; i.е. мяч никогда не замедляется). Итак, как только наш мяч начинает двигаться, он не останавливается. Единственное исключение — мы говорим, что мяч остановился, если он приземлился точно в углу. Наше последнее изменение правила состоит в том, что мы можем сделать бильярдный стол любой формы, какой захотим; позже мы обсудим, какие формы «хорошо» ведут себя как бильярдные столы.

Существует также важный закон физики, которому должен подчиняться наш мяч; на самом деле этот закон присутствует и в реальном бильярде. Мы требуем, чтобы, когда бильярдный шар ударялся о край стола,

угол падения = угол отражения

То есть угол между траекторией мяча (до столкновения) и краем стола равен углу между траекторией шара (после столкновения) и краем стола.

Один из интересных открытых вопросов при изучении математического бильярда заключается в том, учитывая конкретную форму нашего бильярдного стола, можно ли найти бильярдный путь, который является периодическим; то есть тот, который повторяется снова и снова . Бильярдная дорожка — это просто путь, по которому проходит бильярдный шар, когда он приводится в движение. Вот несколько простых примеров периодических биллиардных дорожек. Обратите внимание, что у стола не обязательно должны быть прямые края.

В случае с кругом обратите внимание, что путь является периодическим, потому что он отражается перпендикулярно от краев; как мы увидим, это обычный способ найти периодические биллиардные дорожки. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только многоугольные бильярдные столы. Неизвестно, есть ли у каждого многоугольного стола периодическая биллиардная дорожка, и решение этого вопроса является активной областью исследований. Р. Шварц недавно доказал, что каждый треугольный стол с наибольшим углом, не превышающим 100 градусов, имеет периодическую бильярдную дорожку.Итак, какие еще многоугольники имеют периодические биллиардные дорожки? Мы рассмотрим конкретный класс многоугольников, называемых рациональными многоугольниками, и докажем следующую теорему:

Теорема: Каждый рациональный многоугольник имеет периодическую биллиардную дорожку.

Рациональный многоугольник — это такой многоугольник, все углы которого рационально кратны. Легко потеряться в тонкостях полного доказательства этой теоремы, поэтому мы не будем обсуждать каждую деталь.Если вас интересуют детали и более подробное обсуждение, большую часть того, что следует ниже, можно найти в главе 17 книги Ричарда Шварца, Mostly Surfaces .

Первая деталь, которую нам нужно обсудить, — это то, что мы подразумеваем под поверхностью трансляции . Продемонстрируем эту концепцию на простом примере. Рассмотрим равнобедренный треугольник с углами и. Давайте склеим конгруэнтные края вместе. Мы называем «склеенное» пространство. это пример того, что мы называем конусной поверхностью .Теперь выберите точку, которая является вершиной. Затем назовем (точка, которая стала после приклеивания) конус точкой . В нашем примере у нас есть две точки конуса, поскольку две вершины нашего треугольника были склеены. Для каждой точки конуса мы определяем угол конуса как

угол конуса = угол при.

Суммирование ведется по всем точкам, в которых склеены вместе, чтобы сформировать. Итак, в нашем примере угол конуса каждой точки конуса обусловлен тем, что мы склеили две вершины, имеющие угол, вместе, а вершина с углом не приклеена ни к чему, кроме самой себя.Теперь, наконец, мы можем дать определение поверхности трансляции: поверхность трансляции — это поверхность конуса, каждый угол конуса которой является целым числом, кратным. Мы не сможем здесь доказать это, но что нам нужно знать, чтобы продолжить, так это то, что для любого рационального многоугольника мы можем взять конечное число копий и придумать склейки пар ребер, чтобы мы получили поверхность сдвига. В общем, мы не можем сделать это для полигонов, которые не являются рациональными; как мы вскоре увидим, именно по этой причине мы можем доказать только то, что рациональные многоугольники имеют периодический биллиардный путь.

Вот простой пример того, как мы можем построить поверхность перевода из рационального многоугольника. Начнем с одного из простейших примеров рационального многоугольника: квадрата. Звоните в наш сквер. Позвольте, быть краями, как показано слева.

Для каждого позвольте быть отражением над этим краем. Если и параллельны, то (это не совсем так, но подождите!). Итак, в нашем примере и. Позвольте быть группой, состоящей из всех возможных композиций и.Мы можем видеть это, поскольку любая другая композиция уже дает нам что-то. Обратите внимание, что порядок равен 4; в частности, является конечной группой! Это очень важно: прохождение этого процесса с любым рациональным многоугольником даст конечную группу. Если мы сгенерируем группу таким образом для многоугольника, который не является рациональным, тогда группа не обязательно будет конечной, и если это произойдет, мы не сможем продолжить. Мы делаем «копии», применяя каждый из элементов нашей группы к. Мы также сдвигаем наши копии таким образом, чтобы все они не пересекались друг с другом.Тот факт, что мы смещаем, позволяет нам говорить, что два отражения равны, если соответствующие ребра параллельны. Теперь у нас есть четыре копии нашего исходного квадрата.

Начнем с очевидных склейок: к, к, к и к.

Теперь у нас есть квадрат побольше, края которого нам нужно склеить. Для этого будем склеивать противоположные края между собой. Например, мы приклеиваем к, к и т. Д. (Для обычных многоугольников существуют уравнения для определения, какие склейки делать, но мы не будем вдаваться в подробности).Легко проверить, что все углы конуса кратны. Полученная поверхность представляет собой тор, имеющий форму бублика или кольца, и это наша поверхность перевода. Важно отметить, что мы по-прежнему считаем нашу поверхность перевода плоской. Хотя наша поверхность перевода действительно выглядит как поверхность ниже, мы предпочитаем визуализировать ее как плоский многоугольник с определенными нами склейками.

Нам понадобятся две леммы, прежде чем мы сможем заняться нашей теоремой.Однако прежде чем мы представим нашу первую лемму, нам потребуется небольшая справочная информация. Определите путь (где — поверхность перевода) как прямой , если, когда мы «отклеиваем» нашу поверхность перевода, путь становится прямой линией. Например, экватор — это прямой путь на Земле; хотя экватор изогнут, на карте он выглядит как прямая линия.

Нам нужен способ перехода между нашим многоугольником и поверхностью трансляции, из которой мы строим.Для этого мы определяем функцию. принимает в качестве входных данных некоторую точку и выводит точку, соответствующую после того, как мы построим нашу поверхность трансляции.

Мы не будем здесь приводить полное доказательство. Однако убедить себя в таком результате не так уж и сложно: возьмите лист бумаги и сложите его пополам, создав складку. Разверните его и проведите прямую линию, пересекающую складку. Эта прямая линия аналогична прямому пути, который пересекает край от одной копии к другой.Когда вы перегибаете бумагу (складывание бумаги аналогично удару с помощью нашей функции), вы увидите, что прямая линия теперь «отскакивает» от складки в соответствии с правилом угол падения = угол отражения . На рисунке ниже пунктирная линия — это изображение прямого пути после перегиба бумаги.

Теперь для любого и для любого направления определите точку, полученную при запуске и перемещении одного юнита в выбранном направлении.определяется везде, кроме случаев, когда путь между и достигает точки конуса. Если мы думаем о нашем пути как о путешествии с единичной скоростью, мы можем сказать, что это местоположение нашего бильярдного шара через несколько секунд. Теперь докажем нашу вторую лемму:

Доказательство : Пусть будет маленький диск вокруг, и для каждого пусть будет диск с центром примерно того же размера, что и. Поскольку площадь конечна, диски не пересекаются. Следовательно, мы можем найти два диска, которые пересекаются в одной точке.Назовите эту точку и сделайте предположение. Затем мы можем увидеть это и пересечься в точке. Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока не увидим это и не пересечемся в точке, которая получается путем совмещения с самим собой времен и вычислений в точке. Но тогда это очень близко, а также очень близко (так как содержится в дисках и). Это завершает доказательство.

Теперь у нас есть все инструменты, необходимые для доказательства теоремы. Пусть будет любой рациональный многоугольник, а поверхность перевода построим из.Выберите точку и направление, перпендикулярное ближайшему краю. будет прямой путь, который начинается в выбранном направлении и в нем. По нашей первой лемме существует биллиардный путь, которому соответствует. По нашему выбору направления движется перпендикулярно ребру точки в момент времени 0. По нашей второй лемме существует очень близкое к такому, которое также очень близко к (для некоторых). Позвольте быть путем, начинающимся в выбранном нами направлении. Мы выбрали вариант «очень близко», чтобы обозначить, что и мы находимся на той же копии, которая использовалась при создании.Напомним, что это прямой путь, поэтому он движется в одном направлении в моменты времени 0 (когда он находится в точке) и (когда он находится в точке). Но в момент времени 0 движется перпендикулярно краю, поскольку движется в том же направлении, что и. Следовательно, движется перпендикулярно краю времен 0 и. Следовательно, ударяется о край перпендикулярно дважды, и поэтому он является периодическим, поскольку он просто повторяет свой путь каждый раз, когда ударяется о край перпендикулярно. Такой путь может выглядеть так:

Теперь нужно задать два естественных вопроса.Первый: «А как насчет нерациональных многоугольников? У этих многоугольников , а не есть периодические биллиардные дорожки? » Ответ здесь — «нет», есть некоторые нерациональные многоугольники, которые имеют периодические биллиардные дорожки. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что любой параллелограмм имеет периодический путь. На самом деле не существует известных примеров нерациональных многоугольников, не имеющих периодического биллиардного пути. Второй и более сложный вопрос: «Верен ли этот результат и в трех измерениях?» Верно ли, что рациональные многогранники имеют периодические биллиардные пути? » Интуитивно понятный ответ может быть «да», потому что ни одно из наших правил не меняется, когда мы продвигаемся по измерению.Было доказано, что для тетраэдров ответ на самом деле «да», но для более сложных многогранников, таких как этот, результат неизвестен.

Источники

В основном поверхности Ричард Эван Шварц

Тупой треугольный бильярд II: периодические траектории на 100 градусов Ричард Эван Шварц

Изображения были нарисованы вручную или найдены с помощью поиска изображений Google

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Динамика цифр: вычисление числа Пи с помощью бильярда Гальперина

1.Введение

В то время как число π элегантно возникает в большом разнообразии тригонометрических соотношений, интегралов, рядов, произведений, непрерывных дробей, известно гораздо меньше экспериментальных методов, позволяющих получить его цифры, выполняя измерения в соответствии с какой-либо процедурой. Стохастический метод, восходящий к графу де Бюффону, восходит к восемнадцатому веку и состоит в том, что N игл длиной l опускают на параллельные линии, разделенные длиной L, и экспериментально определяют, сколько раз N пересекались, когда эти иглы пересекали линии.Тогда число π может быть приблизительно равно π≈2l · N / (LNcross) с ошибкой в ​​его оценке, пропорциональной 1 / N. Это означает, что для того, чтобы получить правильные первые цифры D, нужно выполнить более 100D испытаний. Это делает чрезвычайно трудным получение точного значения в реальном эксперименте, хотя эквивалентный компьютерный эксперимент может быть легко выполнен с использованием современных вычислительных мощностей.

В данной работе мы рассмотрим, как бильярд Гальперина с отношением масс M / m = b2N генерирует первые N цифр дробной части (т.е. цифр за точкой счисления) числа π в системе счисления с основанием b. Поскольку бильярд Гальперина превращает вычисление цифр иррационального числа в физический процесс, это побуждает к более глубокому исследованию как динамики этой системы нескольких тел, так и систематических ошибок, присущих процессу аналоговых вычислений.Мы рассматриваем случаи целочисленных и нецелочисленных базовых систем, включая убедительный случай представления числа π в системной базе π.

Основными новыми результатами данной статьи являются следующие. Мы предоставляем полное явное решение для положения, скорости и момента столкновения шаров в зависимости от числа столкновений. Найдены новые инварианты движения и показано, что при общих значениях параметров система интегрируема, а при некоторых частных значениях параметров суперинтегрируема и максимально суперинтегрируема.Наконец, мы демонстрируем, что этот биллиард можно отобразить на двухчастичную модель типа Калоджеро.

2. Метод бильярда Гальперина

В этом разделе мы суммируем известные результаты о модели бильярда Гальперина и рассмотрим, как ее можно использовать для вычисления цифр числа π.Идеализированная биллиардная система состоит из двух «шаров» (на самом деле бесструктурных частиц) с разными массами, движущихся в одном измерении и ограниченных твердой стенкой. Начальные условия предполагают, что более тяжелый шар приближается с бесконечности, а более легкая частица находится между тяжелым шаром и стенкой. Столкновения шара с мячом совершенно упругие, как и столкновения шара со стенкой.

Обозначим массу и положение более тяжелой частицы буквами M и X, а легкой частицы — буквами m и x.(Как правило, мы назначаем переменные тяжелого мяча заглавными буквами, а строчные буквы — легким.) Мы выбираем систему координат так, чтобы стена находилась в начале координат и, следовательно, положения тяжелого мяча. и световые шары удовлетворяют условию X≤x≤0 в каждый момент времени. Тяжелый шар движется к неподвижному легкому шару с некоторой начальной скоростью V0> 0, а легкий шар начинает покоиться в начальном положении x0. Точные значения V0 и x0 не имеют отношения к общему количеству столкновений, но позиция x0 определяет масштаб длины для системы, а x0 / V0 устанавливает масштаб времени.

В некотором роде как носитель силы, легкий шар курсирует вперед и назад между тяжелым шаром и стеной, эффективно обеспечивая отталкивающее взаимодействие, которое в конечном итоге меняет приближение тяжелого шара. Столкновения продолжаются до одного из следующих случаев:

• Последнее столкновение мяч-мяч приводит к тому, что оба шара удаляются от стены, а более тяжелый мяч движется быстрее. В этом случае количество столкновений нечетное.

• После последнего столкновения мяча с мячом тяжелый мяч удаляется от стены со скоростью, слишком большой для того, чтобы легкий мяч мог снова его поймать при еще одном отражении от стены.В этом случае имеется четное количество коллизий.

2.1. Бильярдные координаты и число столкновений

Y = MM + mX≡cos (β) Xy = mM + mx≡sin (β) x.

(3)

W = dYdt = cosβdXdt = cos (β) Vw = dydt = sinβdxdt = sin (β) v.

(5)

p = MV + mv = (M + m) cos (β) W + sin (β) w = MV0,

(7)

u = | V − v | = Wcosβ − wsinβ = V0.на оси относительной скорости имеет обратный знак. Другими словами, каждое столкновение мяч-мяч действует на w как отражение через линию, составляющую угол β с осью W. Это может быть представлено как матрица, действующая в бильярдном пространстве скоростей

SBB = cos (2β) sin (2β) sin (2β) −cos (2β),

(10)

• n = 0: до того, как произошло какое-либо столкновение, легкая частица находится в состоянии покоя, w0 = (W0,0), как показано горизонтальный вектор с ϕ0 = 0

• n = 1: Первое столкновение шара с мячом отражает вектор w0 поперек линии ϕ = β, в результате получается w1 = SBBw0 с ϕ1 = 2β

• n = 2: Первое Столкновение шара со стенкой отражает вектор w1 по вертикали, в результате чего w2 = SBWw1 с ϕ2 = −2β

• n = 3: Второе столкновение шара со стенкой отражает вектор w2 через линию ϕ = β снова, в результате чего w3 = SBBw2 с ϕ3 = 4β

• n = 4: Второе столкновение шара со стенкой снова отражает вектор w3 по вертикали, в результате получается w4 = SBWw3 с ϕ4 = −4β

Обобщая, когда n нечетно, n- -ое столкновение — это столкновение шара с шаром, после которого ϕn = (n + 1) β.Когда n четно, n-е столкновение — это столкновение шара со стенкой, после которого ϕn = −nβ.

Во время каждого столкновения мяч-мяч скорость V тяжелого шара изменяется на отрицательную величину, в конечном итоге останавливая и переворачивая тяжелый мяч. После того, как угол ϕ пересечет положение π / 2, скорость тяжелой массы станет отрицательной (шар удаляется от стенки), и ее абсолютное значение увеличивается с каждым последующим столкновением.Столкновения продолжаются до тех пор, пока π + β> ϕΠ≥π и более легкий шар не остановится или не удалится от стены медленнее, чем тяжелый. После этого итерации заканчиваются; продолжение движения привело бы к уменьшению скорости тяжелой массы, что физически невозможно.

Π = intπarctan (b − N).

(13)

Это уравнение дает выражение для числа π в системах с целым и нецелым основанием b.

2.2. Разворачивание траектории

2.3. Адиабатическое приближение и инварианты действия

С точки зрения гамильтоновых систем, задача о двух шарах имеет две степени свободы, а именно две позиции X, x, а импульсы P = MV и p = mv — сопряженные переменные. Когда тяжелый мяч приближается к точке возврата около ϕ = π / 2, он замедляется, в то время как легкий мяч резко колеблется между тяжелым мячом и стенкой. Чем тяжелее шар, тем меньше его минимальное расстояние от стенки Xmin и тем больше максимальная скорость светового шара vmax.