Исследовательская работа «Математический бильярд» | Социальная сеть работников образования
Дистанционный конкурс творческих и исследовательских работ младщих школьников «Страна чудес — страна исследований» | |
Полное название темы работы | Как бильярд помогает решать математические задачи? |
Фамилия имя,отчество автора(ов) | Шаманов Максим Петрович |
Фото автор | |
Территория, населенный пункт | д. Тинская Саянского района Красноярского края |
Наименование образовательного учреждения | Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Тинская основная общеобразовательная школа |
Класс | 5 класс |
Место выполнения работы | Образовательная программа |
Руководитель e-mail (обязательно) Контактный телефон | Рулькевич Галина Ивановна, МКОУ Тинская ООШ, учитель +7 9039238834 |
ВВЕДЕНИЕ
Цель: исследовать возможности применения теории математического бильярда для решения задач на переливание жидкости.
Задачи: познакомиться с историей математического бильярда
изучить применение метода для решения задач с двумя и тремя сосудами
исследовать вопрос о разрешимости задач на переливание
найти в литературе и решить задачи на переливание, имеющие практическую направленность.
Актуальность: задачи на переливание часто встречаются в олимпиадах; их решение способствует развитию логического мышления, любознательности и творческих способностей.
Гипотеза: используя метод математического бильярда, можно решить любую задачу на переливание с двумя или тремя сосудами, или доказать, что такое переливание невозможно
Мой любимый школьный предмет – математика. Я с большим удовольствием участвую в различных олимпиадах по этому предмету, люблю решать логические задачи. Я обратил внимание, что среди занимательных задач по математике большое место занимают так называемые задачи на переливание, суть которых сводится к следующему: имеется несколько сосудов известного объема. Нужно указать последовательность действий, при которой отмеряется требуемое количество жидкости, и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что: все сосуды без делений; нельзя переливать жидкости «на глаз»; переливать можно только полностью всю жидкость, или столько, сколько вмещается в другой сосуд;
Рассмотрим решение одной из таких задач: Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?
1 шаг: наполним водой первый сосуд;
2 шаг: перельём из первого сосуда во второй 3 л. В первом остается 2 л.
3 шаг: из второго сосуда выльем эти 3 л обратно в раковину;
4 шаг: 2 л воды из первого сосуда перельём во второй;
5 шаг: вновь наполним первый сосуд водой. Теперь в первом сосуде 5 л, а во втором — 2л;
6 шаг: перельем из первого сосуда 1 л воды во второй, наполнив его до краёв. В первом сосуде осталось 4 л воды — задача решена. Все шаги по переливаию удобно записывать в виде таблицы (табл.1).
Эту задачу я решил подбором. Но понятно, что если увеличить объем сосудов, ее решение становится затруднительным. Поэтому логично найти общий метод решения задач данного типа. Оказывается, такой метод существует. Он заключается в использовании математического бильярда.
ГЛАВА I. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО БИЛЬЯРДА
Билья́рд, реже биллиард (от фр.bille — шар или billette, billart — палка) — собирательное название нескольких настольных игр с разными правилами, а также специальный стол, на котором происходит игра.
Всем знакома игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Точное время ее появления установить невозможно. Известно лишь, что она, так же, как и шахматы, очень древнего происхождения, а родиной бильярда является Азия, по утверждению одних исследователей — Индия, по мнению других — Китай. В Европе первые упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В Россию бильярд был завезен из Голландии Петром I. и быстро завоевал популярность. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий. Идея применения этой теории к задачам на переливание очень красиво и даже эффектно описана Перельманом книге «Занимательная геометрия».
ГЛАВА II. ЗАДАЧИ С ДВУМЯ СОСУДАМИ И так, что же это такое — математический бильярд? Начнем с того, что стол для него, как уже было сказано выше, отличается от обычного. Математический бильярдный стол — не прямоугольник, а параллелограмм с углами 60 и 120 градусов (рис 1). Стороны параллелограмма должны выражаться числами, равными числу единиц объема наших сосудов. Весь стол расчерчен параллельными прямыми на равносторонние треугольники. Бильярдный шар может Рис.1 перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Рассмотрим на примере уже знакомой нам задачи, какие прекрасные возможности представляет этот метод. Задача 1. Имеются два сосуда – трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении по-прежнему, водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом. (рис.1). Будем следить за движением шарика и расщифровывать каждую точку его удара о борт стола. Первая точка удара (5; 0) (рис.2), это значит, что мы должны наполнить водой больший сосуд. Вторая точка удара (2; 3)- она говорит о том, что шарик рекомендует нам из 5-литрового сосуда 3 литра перелить в меньший. Следующая точка удара имеет координаты (2;0). Это означает, шарик советует из меньшего сосуда вылить всю воду. Будем дальше следить за шариком и заполнять таблицу (табл. 2). Мы увидим, что после 7 переливаний наша цель достигнута: в 5-литровом сосуде получено 4 литра воды (рис. 5)
Рис.2 Рис. 3 Рис. 4 Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды за 7 шагов. Шарик решил задачу!
Рис. 5
Задача 2. Можно ли, имея в распоряжении сосуды 3 и 5 л, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды? Чтобы ответить на этот вопрос продолжим следить за движением нашего «умного шарика» и записывать все шаги, пока не придем в одну из угловых точек, или в точку на стороне параллелограмма, в которой шарик уже побывал. И на столе (рис.6), и в таблице (табл.3) видно, что можно получить любое количество жидкости от 1 до 8 л за 15 ходов .
Рис. 6. Табл. 3
Задача 3. Выясним теперь, можно ли было решить эту задачу, наполнив сначала трехлитровый сосуд? Выполним переливание (рис. 7), заполним и проанализируем таблицу (табл. 4).
Рис.7 Табл. 4
Как видим, задачи на переливание можно решать двумя способами: I.начать переливания с большего сосуда; II.начать переливания с меньшего сосуда. Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя. Например, 4 литра можно получить в первом случае за 6 ходов, а во втором — за 8, а вот 6 литров мы получим уже на 4 шаге, если начнем переливание с 3-х литрового сосуда .
Задача 4 Возникает вопрос — а всякая ли задача такого типа имеет решение? Оказывается, нет. Например, имея сосуды объемом 6 и 3 литра, невозможно набрать 4 л воды, и наш умный шарик это легко обнаружит (это видно из рисунка 8). Уже на 5 шаге он оказался в углу бильярдного стола, из которого начал движение, а это значит, что никаких других вариантов по переливанию мы получить не сможем. Рис. 8 Так произошло потому, что объемы наших сосудов выражены числами, общий делитель которых отличен от 1. Значит, задача имеет решение, если объемы сосудов выражаются взаимно-простыми числами.
ГЛАВА III. ЗАДАЧИ С ТРЕМЯ СОСУДАМИ А теперь рассмотрим задачи на переливания, по условиям которых используются три сосуда, один из них заполнен жидкостью, а два других пустые. В задачах такого типа появляются дополнительные условия: выливать жидкость вне сосуда нельзя; наливать жидкость извне нельзя. В качестве примера рассмотрим самую старинную головоломку с тремя сосудами, известную еще математикам XVII века:
Задача 1. Восьмилитровый сосуд до краев наполнен водой. С помощью двух пустых сосудов емкостью 3 и 5 литров надо поровну разделить воду в два больших сосуда. Решение. Для решения этой задачи точно так же используем параллелограмм со сторонами 5 и 3 единицы. Чтобы фиксировать количество воды в третьем, восьмилитровом сосуде, дополнительно проведем главную диагональ параллелограмма (рис.9). Она делится наклонными прямыми на 8 частей. Пронумеруем эти точки числами от 8 до 0, начиная с нижней левой вершины. Первые две координаты любой точки параллелограмма, куда может попасть бильярдный шар, определяются, как и раньше, а третья координата равна величине отрезка, отсекаемого на главной диагонали соответствующей наклонной. Как и раньше, шар начинает движение от точки с координатами (0;0). Нарисовав траекторию шара, получим решение задачи за 8 шагов (табл. 5).
шаг | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
5 л | 0 | 5 | 2 | 2 | 0 | 5 | 4 | 4 |
3 л | 0 | 0 | 3 | 0 | 2 | 2 | 3 | 0 |
8 л | 8 | 3 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 4 |
Табл. 5 Рис. 9
В этой задаче объем большего сосуда равен сумме объемов двух меньших. Но, разумеется, могут быть и другие случаи, когда объем большего сосуда меньше или больше этой суммы. Метод математического бильярда применим и для них, но с дополнительными условиями. Задача 2. Имеется 11-литровый сосуд, наполненный водой и два пустых сосуда емкостью 3 и 5 литров. Как с помощью этих сосудов отлить 4 л воды?
Решение. Так как. 11 > 3 + 5, главную диагональ необходимо продлить за вершину параллелограмма Но шарик за границы нашего стола все равно не выходит, потому что при любом переливании в 11-литровом сосуде остается, как минимум, 3 литр воды Рис. 10 (11 — (5 + 3) = 3). И тогда решение выглядит следующим образом (рис.10):
. Задача 3. Имеется 6-литровый сосуд, наполненный водой и два пустых сосуда емкостью 3 и 5 литров. Как с помощью этих сосудов отлить 4 л воды? Решение. На диагонали, выражающей количество воды в третьем сосуде, должно быть отложено 6 единиц. Поэтому у параллелограмма надо отсечь верхний правый угол и продолжать следить за движением шарика (рис.11).
Рис. 11
Осталось рассмотреть вопрос о разрешимости задач с тремя сосудами. Как и в случае с двумя сосудами, если объемы двух меньших сосудов выражаются взаимно простыми числами, а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда. Имея, например, сосуды вместимостью 7, 8 и 15 литров, можно отмерить любое количество воды от 1 до 8 литров. Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, задача может оказаться неразрешимой, даже если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя. Например, если объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литров, то отмерить можно любое количество воды, кроме 6 литров. Но любой вопрос о разрешимости задач такого типа легко решается, если следить за движением «умного» шарика на математическом бильярдном столе.
ЗАКЛЮЧЕННИЕ
1. Изучая литературу по истории математического бильярда, мы выяснили, что с момента появления в Европе эта азартная игра послужила предметом серьезных научных исследований, в результате которых появилась теория математического бильярда или теории траекторий
2. Теория математического бильярда нашла прекрасное применение для решения задач на переливание.
3. Используя метод математического бильярда, можно легко выяснить, имеет ли задача решение.
4. В большинстве книг по занимательной математике и среди олимпиадных задач большое место занимают задачи на переливание, многие из которых я решил, используя метод математического бильярда. В своем предположении я убедился. Используя метод математического бильярда, можно решить любую задачу на переливание или убедиться, что это не возможно. Задачи на переливание действительно часто встречаются на олимпиадах, их решение способствует культурному и интеллектуальному развитию, помогает развитию памяти, внимания, логического мышления, любознательности и творческих способностей. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика Симеона Дени Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, определив тем самым выбор своей будущей профессии – он стал математиком. А одна из самых известных задач подобного рода носит его имя (я ее также решил)
Список литературы
1. Мартин Гарднер. Математические досуги. Под редакцией Я. А. Смородинского. Перевод с английского Ю А. Данилова. Издательство «Мир», Масква, 1972
2. Я.И. Перельман. Занимательная Геометрия, издание одиннадцатое, стереотипное, под ред. И с дополнениями Б.А. Кордемского, государственное издательство физико-математической литературы. Москва, 1959(Я.И.Перельман.,Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959, с.238) 3.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%8%D1%80%D0%B4 4. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин, Математическая шкатулка Москва, «Просвещение», 1984, с.160
5. Е.И. Игнатьев В царстве смекалки Москва, «Наука» ГРФМЛ, 1987, с176
Математический бильярд
Математический бильярд
Акбаева А.А. 11Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа аул Верхний Учкулан»
Джамбаева Ф.Н. 11Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа аул Верхний Учкулан»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Цель: исследовать возможности применения теории математического бильярда для решения задач на переливание жидкости.
Задачи: познакомиться с историей математического бильярда
исследовать вопрос о разрешимости задач на переливание
найти в литературе и решить задачи на переливание, имеющие практическую направленность.
Актуальность: задачи на переливание часто встречаются в олимпиадах; их решение способствует развитию логического мышления, любознательности и творческих способностей.
Гипотеза: используя метод математического бильярда, можно решить любую задачу на переливание с двумя или тремя сосудами, или доказать, что такое переливание невозможно
Мой любимый школьный предмет – математика. Я с большим удовольствием участвую в различных олимпиадах по этому предмету, люблю решать логические задачи. Я обратил внимание, что среди занимательных задач по математике большое место занимают так называемые задачи на переливание, суть которых сводится к следующему: имеется несколько сосудов известного объема. Нужно указать последовательность действий, при которой отмеряется требуемое количество жидкости, и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что: все сосуды без делений; нельзя переливать жидкости «на глаз»; переливать можно только полностью всю жидкость, или столько, сколько вмещается в другой сосуд;
Рассмотрим решение одной из таких задач: Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?
1 шаг: наполним водой первый сосуд;
2 шаг: перельём из первого сосуда во второй 3 л. В первом остается 2 л.
3 шаг: из второго сосуда выльем эти 3 л обратно в раковину;
4 шаг: 2 л воды из первого сосуда перельём во второй;
5 шаг: вновь наполним первый сосуд водой. Теперь в первом сосуде 5 л, а во втором — 2л;
6 шаг: перельем из первого сосуда 1 л воды во второй, наполнив его до краёв. В первом сосуде осталось 4 л воды — задача решена. Все шаги по переливаию удобно записывать в виде таблицы (табл.1).
Табл. 1
Эту задачу я решил подбором. Но понятно, что если увеличить объем сосудов, ее решение становится затруднительным. Поэтому логично найти общий метод решения задач данного типа. Оказывается, такой метод существует. Он заключается в использовании математического бильярда.
1.ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО БИЛЬЯРДА
Билья́рд, реже биллиард (от фр.bille — шар или billette, billart — палка) — собирательное название нескольких настольных игр с разными правилами, а также специальный стол, на котором происходит игра.
Всем знакома игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Точное время ее появления установить невозможно. Известно лишь, что она, так же, как и шахматы, очень древнего происхождения, а родиной бильярда является Азия, по утверждению одних исследователей — Индия, по мнению других — Китай. В Европе первые упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В Россию бильярд был завезен из Голландии Петром I. и быстро завоевал популярность. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий. Идея применения этой теории к задачам на переливание очень красиво и даже эффектно описана Перельманом книге «Занимательная геометрия».
1.ЗАДАЧИ С ДВУМЯ СОСУДАМИ
И так, что же это такое — математический бильярд? Начнем с того, что стол для него, как уже было сказано выше, отличается от обычного. Математический бильярдный стол — не прямоугольник, а параллелограмм с углами 60 и 120 градусов (рис 1). Стороны параллелограмма должны выражаться числами, равными числу единиц объема наших сосудов. Весь стол расчерчен параллельными прямыми на равносторонние треугольники. Бильярдный шар может Рис.1 перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Рассмотрим на примере уже знакомой нам задачи, какие прекрасные возможности представляет этот метод. З адача 1. Имеются два сосуда – трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении по-прежнему, водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом. (рис.1). Будем следить за движением шарика и расщифровывать каждую точку его удара о борт стола. Первая точка удара (5; 0) (рис.2), это значит, что мы должны наполнить водой больший сосуд. Вторая точка удара (2; 3)- она говорит о том, что шарик рекомендует нам из 5-литрового сосуда 3 литра перелить в меньший. Следующая точка удара имеет координаты (2;0). Это означает, шарик советует из меньшего сосуда вылить всю воду. Будем дальше следить за шариком и заполнять таблицу (табл. 2). Мы увидим, что после 7 переливаний наша цель достигнута: в 5-литровом сосуде получено 4 литра воды (рис. 5)
Рис.2 Рис. 3 Рис. 4 Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды за 7 шагов. Шарик решил задачу!
Табл. 2
Рис. 5З
адача 2.Можно ли, имея в распоряжении сосуды 3 и 5 л, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды? Чтобы ответить на этот вопрос продолжим следить за движением нашего «умного шарика» и записывать все шаги, пока не придем в одну из угловых точек, или в точку на стороне параллелограмма, в которой шарик уже побывал. И на столе (рис.6), и в таблице (табл.3) видно, что можно получить любое количество жидкости от 1 до 8 л за 15 ходов .
Рис. 6. Табл. 3
Задача 3. Выясним теперь, можно ли было решить эту задачу, наполнив сначала трехлитровый сосуд? Выполним переливание (рис. 7), заполним и проанализируем таблицу (табл. 4).
Рис.7 Табл. 4
Задача 4 Возникает вопрос — а всякая ли задача такого типа имеет решение? Оказывается, нет. Например, имея сосуды объемом 6 и 3 литра, невозможно набрать 4 л воды, и наш умный шари к это легко обнаружит (это видно из рисунка 8). Уже на 5 шаге он оказался в углу бильярдного стола, из которого начал движение, а это значит, что никаких других вариантов по переливанию мы получить не сможем. Рис. 8 Так произошло потому, что объемы наших сосудов выражены числами, общий делитель которых отличен от 1. Значит, задача имеет решение, если объемы сосудов выражаются взаимно-простыми числами.
ЗАДАЧИ С ТРЕМЯ СОСУДАМИ
А теперь рассмотрим задачи на переливания, по условиям которых используются три сосуда, один из них заполнен жидкостью, а два других пустые. В задачах такого типа появляются дополнительные условия: выливать жидкость вне сосуда нельзя; наливать жидкость извне нельзя. В качестве примера рассмотрим самую старинную головоломку с тремя сосудами, известную еще математикам XVII века:
Задача 1. Восьмилитровый сосуд до краев наполнен водой. С помощью двух пустых сосудов емкостью 3 и 5 литров надо поровну разделить воду в два больших сосуда. Решение.Для решения этой задачи точно так же используем параллелограмм со сторонами 5 и 3 единицы. Чтобы фиксировать количество воды в третьем, восьмилитровом сосуде, дополнительно проведем главную диагональ параллелограмма (рис.9). Она делится наклонными прямыми на 8 частей. Пронумеруем эти точки числами от 8 до 0, начиная с нижней левой вершины. Первые две координаты любой точки параллелограмма, куда может попасть бильярдный шар, определяются, как и раньше, а третья координата равна величине отрезка, отсекаемого на главной диагонали соответствующей наклонной. Как и раньше, шар начинает движение от точки с координатами (0;0). Нарисовав траекторию шара, получим решение задачи за 8 шагов (табл. 5).
шаг |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
5 л |
0 |
5 |
2 |
2 |
0 |
5 |
4 |
4 |
3 л |
0 |
0 |
3 |
0 |
2 |
2 |
3 |
0 |
8 л |
8 |
3 |
3 |
6 |
6 |
1 |
1 |
4 |
Табл. 5 Рис. 9
В этой задаче объем большего сосуда равен сумме объемов двух меньших. Но, разумеется, могут быть и другие случаи, когда объем большего сосуда меньше или больше этой суммы. Метод математического бильярда применим и для них, но с дополнительными условиями. Задача 2. Имеется 11-литровый сосуд, наполненный водой и два пустых сосуда емкостью 3 и 5 литров. Как с помощью этих сосудов отлить 4 л воды?
Решение. Так как. 11 > 3 + 5, главную диагональ необходимо продлить за вершину параллелограмма Но шарик за границы нашего стола все равно не выходит, потому что при любом переливании в 11-литровом сосуде остается, как минимум, 3 литр воды Рис. 10 (11 — (5 + 3) = 3). И тогда решение выглядит следующим образом (рис.10):
. Задача 3. Имеется 6-литровый сосуд, наполненный водой и два пустых сосуда емкостью 3 и 5 литров. Как с помощью этих сосудов отлить 4 л воды? Решение. На диагонали, выражающей количество воды в третьем сосуде, должно быть отложено 6 единиц. Поэтому у параллелограмма надо отсечь верхний правый угол и продолжать следить за движением шарика (рис.11).
Рис. 11
Осталось рассмотреть вопрос о разрешимости задач с тремя сосудами. Как и в случае с двумя сосудами, если объемы двух меньших сосудов выражаются взаимно простыми числами, а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда. Имея, например, сосуды вместимостью 7, 8 и 15 литров, можно отмерить любое количество воды от 1 до 8 литров. Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, задача может оказаться неразрешимой, даже если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя. Например, если объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литров, то отмерить можно любое количество воды, кроме 6 литров. Но любой вопрос о разрешимости задач такого типа легко решается, если следить за движением «умного» шарика на математическом бильярдном столе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Изучая литературу по истории математического бильярда, мы выяснили, что с момента появления в Европе эта азартная игра послужила предметом серьезных научных исследований, в результате которых появилась теория математического бильярда или теории траекторий
2. Теория математического бильярда нашла прекрасное применение для решения задач на переливание.
3. Используя метод математического бильярда, можно легко выяснить, имеет ли задача решение.
4. В большинстве книг по занимательной математике и среди олимпиадных задач большое место занимают задачи на переливание, многие из которых я решил, используя метод математического бильярда. В своем предположении я убедился. Используя метод математического бильярда, можно решить любую задачу на переливание или убедиться, что это не возможно. Задачи на переливание действительно часто встречаются на олимпиадах, их решение способствует культурному и интеллектуальному развитию, помогает развитию памяти, внимания, логического мышления, любознательности и творческих способностей. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика Симеона Дени Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, определив тем самым выбор своей будущей профессии – он стал математиком. А одна из самых известных задач подобного рода носит его имя (я ее также решил)
Список литературы
1. Мартин Гарднер. Математические досуги. Под редакцией Я. А. Смородинского. Перевод с английского Ю А. Данилова. Издательство «Мир», Масква, 1972
2. Я.И. Перельман. Занимательная Геометрия, издание одиннадцатое, стереотипное, под ред. И с дополнениями Б.А. Кордемского, государственное издательство физико-математической литературы. Москва, 1959(Я.И.Перельман.,Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959, с.238) 3.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%8%D1%80%D0%B44. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин, Математическая шкатулка Москва, «Просвещение», 1984, с.160
54. Е.И. Игнатьев В царстве смекалки Москва, «Наука» ГРФМЛ, 1987, с17611
Просмотров работы: 1315
Исследовательская работа Математический бильярд | Образовательный портал WebUrok.com — учебно-методические материалы для учителей
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕСРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №20
Школьный конкурс исследовательских работ
обучающихся средней ступени
Математический бильярд
Исследовательская работа
Выполнил:
обучающийся 6 б класса
Кузнецов Дмитрий
Руководитель:
учитель математики II КК
Чупошева Татьяна
Александровна
Тулун
2012
Содержание
Введение…………………………………………………………………………….
1. История бильярда…………………………………………………………………
2.Русский бильярд…………………………………………………………………..
3. Траектория движения…………………………………………………………….
4. Метод математического бильярда……………………………………………….
Заключение……………………………………………………………………………
Список литературы……………………………………………………………… Приложение………………………………………………………………………….
Введение
В век скоростей и нехватки времени люди начинают искать возможности для совмещения нескольких видов деятельности. Игра в бильярд позволяет совместить занятия спортом, общение и отдых.
Играть в бильярд рекомендуется для поддержания отличной физической формы, правильной осанки. При этом игра в бильярд доступна людям со слабым сердцем и лёгкими; более того, игра в бильярд организм человека закаляет. У людей, играющих в бильярд, развивается глазомер, движения становятся координированными и чёткими. Человек приобретает быструю реакцию, становится находчивым.
Игрок в бильярд обычно хладнокровен и терпелив.
Лучший отдых — это игра в бильярд. Он даёт возможность расслабиться, отвлечься от повседневности, от стрессовых ситуаций. К тому же игрок вовлекается в соревнование.
Игрок в бильярд становится эмоционально уравновешенным, волевым. Игра в бильярд помогает сохранять присутствие духа при проигрыше, способствует сохранению веры в себя, учит не впадать в отчаяние и в панику.
Бильярд — редкостная игра, дозволяющая усовершенствовать физические и умственные способности человека, помогает научиться быть хозяином своих эмоций, добиваться назначенных целей, с честью вести поединок.
Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил известный физик Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Математическая теория явлений бильярдной игры» 1835-го года. Прошло более полутораста лет и математический бильярд по сути превратился в огромное д
Проект Математический бильярд — Saratov FIO Wiki
Автор проекта
Абасов Валерий Викторович
Ведышев Артем Андреевич
Название проекта
Математический бильярд
Краткая аннотация проекта
•Проект «Математический бильярд» разработан для учащихся 8 классов общеобразовательных школ. •Проект может быть использован при изучении темы «Число Пи» а так же на факультативных занятиях и кружках по математике.
•Главным в этом проекте является освоение учениками методов конструирования, прогнозирования и «обучение в сотрудничестве».
•В ходе проекта учащиеся самостоятельно проводят групповые исследования по различным источникам информации (печатные, картографические, Интернет) и оформляют результаты своих исследований в виде презентации и буклета.
•В процессе обучения у учащихся формируется умение анализировать, сопоставлять, рассуждать и творчески мыслить.
Направляющие вопросы
«Кто исследовал бильярд?», «И зачем?», «Где в жизни мы встречаемся с бильярдом?» , «Какие полезные свойства бильярд вам известны?»
План проекта
1.Мозговой штурм (формирование тем исследований учащихся).
2.Формирование групп для проведения исследований, выдвижение гипотез, обсуждение путей решения проблем.
3.Выбор творческого названия проекта.
4.Обсуждение плана теоретической и практической работы учащихся в группе.
5.Обсуждение с учащимися возможных источников информации.
6.Самостоятельная работа групп.
7.Подготовка учащимися презентаций и докладов по отчёту о проделанной работе.
8.Представление исследовательских работ.
Публикация учителя
Буклет «В мире бильярда»
Презентация учителя для выявления представлений и интересов учащихся
Пример ученической работы
Презентация Бильярд
Описание процедур оценивания
Формирующее оценивание
Критерий буклета
Критерий оценивания
Дидактические материалы
Кроссворд
Тест
Другие документы
Компьютерные технологии/Физмат
Исследовательская работа по математике
Муниципальное Автономное Общеобразовательное Учреждение
«Средняя Общеобразовательная Школа № 47»
Исследовательская работа на тему:
Математический бильярд
Выполнили: ученицы 8 «В» класса
Липилина Елизавета и Куприянович Ольга
Руководитель:
Карнишина Валентина Ивановна
Пермь 2016
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Введение………………………………………………………………………3
Глава 1.
Бильярд……………………………………………………..……………..4
Появление математического бильярда. Первое его использование..…4
Подробнее о математическом бильярде………………………………….4
Глава 2.
Рассмотрение и решение задач…………………..…..…………………..5
π и бильярд…………………………………………………………………5
Правило m+n-2…………………………………………………………….5
Биллиардная задача Альхазена…………………………………….…….7
2.4. Задачи на переливание……………………………………………………….7
Заключение…..……………………………………………………………….…..10
Список используемых источников………………………………….………….11
Введение
Проблема: желание узнать, что такое математический бильярд и как его можно использовать
Актуальность: решение задач более быстрым способом.
Цели и задачи: узнать, что такое «математический бильярд» и научится пользоваться этим методом для решения задач с помощью построения бильярдного стола
Глава 1
1. Что же такое сам бильярд? Наверняка, каждый играл в него когда – либо в жизни.
Бильярд — высокотехничная игра. Выбор пары шаров на столе, прицеливание, подход к шару и, наконец, удар. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I.
1.1.Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий. Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил известный физик Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Математическая теория явлений бильярдной игры» 1835-го года. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Для своего времени это было ничто — как правильно выразился Леман, книга не представляла интереса ни для математиков, ни для бильярдистов. Прошло более полутораста лет и математический бильярд по сути превратился в огромное дерево с тьмой отростков и гигантских ветвей. «Теория биллиардов» сегодня неотъемлемая часть эргодической теории и теории динамических систем, имеет важнейшее применение в физике. Математиком Гальпериным создан способ определения числа π с помощью бильярда! Но с привычным нам бильярдом, математический биллиард имеет лишь общие идеологические корни. Намного ближе общеобразованному читателю результаты исследований математиков Штайнхауза, Альхазена и Гарднера.
Но обо всем по порядку.
1.2. Математический бильярд – механическая система, состоящая из горизонтального бильярдного стола (без луз – французский бильярд), и движущегося без трения точечного шара, абсолютно упруго отражающегося от бортов. Точечный шар находится в бильярдной области Q, ограниченной бортом Г (границей области Q). Траектория бильярда в области Q определяется начальным положением точки q и начальным вектором её скорости v. Математическая проблема бильярда – поиск траектории шарика. Шар в бильярде – один. Направление вектора v(t), т.е. направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Траектория бильярда — это вписанная в кривую Г ломаная, которая может быть однозначно построена по своему начальному звену. Бильярд — динамическая система, порожденная движением с единичной скоростью точечной частицы внутри Q с упругими отражениями от границы dQ. Первым сильную неустойчивость систем с упругими столкновениями отметил Н.С.Крылов. Бильярдные системы общего типа, характеризующиеся свойством экспоненциальной неустойчивости траектории («бильярды Синая»), введены и изучены Я. Г. Синаем. Бильярдом называют динамическую систему, порожденную свободным движением материальной точки внутри ограниченной области (сосуда) с упругими отражениями от стенок. Бильярды служат удобными моделями в ряде областей классической физики. В последнее время они используются также при исследовании квантового хаоса. Если стенки сосуда вогнуты внутрь, то бильярд называется рассеивающим. Если же вогнутость нестрогая, т. е. допускаются уплощения, то бильярд полурассеивающий. К рассеивающим и полурассеивающим бильярд сводятся известные в статистической физике модели твердых сфер, газы Лоренца и Рэлея. Эти бильярды обладают сильными стохастическими свойствами и по своей структуре схожи с геодезическими потоками на поверхностях отрицательной кривизны. А именно, они характеризуются экспоненциальной неустойчивостью траекторий. В ряде случаев для них доказана эргодичность, перемешивание, К-свойство и В-свойство. Близкими к ним являются бильярды Бунимовича. По аналогии с геодезическими потоками мы будем называть все эти бильярды гиперболическими. Важной характеристикой динамической системы, отражающей скорость расходимости ее траекторий, является метрическая (колмогоровская) энтропия, введенная в 1958. Методы вычисления энтропии интенсивно развивались в 60-х и 70-х годах. В 1970 Я. Г. Синай получил формулу для энтропии двумерного рассеивающего бильярда, а в 1978 он же обобщил её на многомерные полурассеивающие бильярды.
Глава 2
2.1. π и бильярд (автор методa, выдающийся математический биллиардист,
Гальперин Г. А., о котором сказано ранее).
Положим на числовую ось два биллиардных шара с массами M и m (M>m), и будем предполагать, что в начале координат х=0 расположена абсолютно упругая стенка, отражающая налетающий на неё шарик. При отражении от стенки скорость шарика меняется на строго противоположную. Размеры шариков несущественны, и для простоты мы будем считать их точечными частицами. Фиксируем натуральное число N. Следующая процедура позволяет определить любое наперёд заданное количество N последовательных цифр числа π.
Массы m и M подбираем так, чтобы M/m=100N.
Шар m располагаем между стенкой х=0 и шаром М.
Запускаем шар М в сторону шара m с произвольной скоростью.
Подсчитываем общее количество ударов в системе (т. е. число столкновений между шарами и число отражений шара m от стенки).
Записываем полученное число в десятичной системе и обозначаем его через π(N).
Теорема: а) число ударов в описанной динамической системе всегда конечно и не зависит от начальных положений шаров и начальной скорости шара М.
б) Число π(N) ударов в системе равно
Рис.1
2.2. Правило m+n-2.
Результат Штайнхауса и Гарднера(о которых тоже проговорено ранее).
Дано прямоугольный бильярдный стол с одними лишь угловыми лузами и целочисленными сторонами m и n (m, n — взаимно просты). Шар, посланный из одной угловой лузы в другую под углом 45 градусов попадёт в другую лузу после m+n-2 касаний борта.
Рис.2
В одной из своих работ Штайнхаус даёт также метод ударения по шару, чтобы он коснулся всех четырёх бортов прежде, чем ударить прицельный шар. Прекрасная основа для теоретического карамболя.
2.3. Биллиардная задача Альхазена.
Постановка задачи в том, чтобы найти такую точку на борту круглого биллиардного стола, ударив в которую биток коснётся прицельного шара в другой данной точке.
Впервые задача была сформулирована Птолемеем, но названа именем Альхазена, поскольку он первым подробно исследовал её применения в оптике.
Рис. 3
2.4. В этом разделе мы приведем одно изящное применение математического бильярда к решению задач на переливание.
Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма.
Задача. Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.
Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников (см. рис. 4).
Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны в точке А. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке В, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд.
Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы (табл.1), в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице.
Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. Если на диаграмме шар из точки О покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне параллелограмма и т.д., то получим более короткое решение задачи. Можно показать, что полученное решение с 6 переливаниями уже является самым коротким.
Рис. 4
Табл. 1
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В нашей исследовательской работе мы узнали больше про обычный бильярд, а также метод математического бильярда, как с помощью него можно решать задачи. Метод математического бильярда для решения задач на переливания удобней, чем составления таблиц, и мы надеемся, что этот метод будет использоваться в будущем.
Math.ru
Григорий Александрович Гальперин, Александр Николаевич ЗемляковМ.: Наука, 1990. 288 с.
ISBN 5-02-014080-5; Тираж 130000 экз.
Серия Библиотечка «Квант», выпуск 77
|
Рассказывается о поведении бильярдного шара на столе произвольной формы без луз. Описание этого поведения приводит к решению разнообразных вопросов математики и механики: задач о переливании жидкости, об освещении зеркальных комнат, об осциллографе и фигурах Лиссажу и др.
На доступном школьникам языке вводятся понятия конфигурационного и фазового пространства, понятия геодезических на простейших двумерных поверхностях, предлагаются (с решениями) многочисленные интересные задачи.
Для школьников 9-10-х классов.
Содержание
Предисловие.
Введение.
Часть I. БИЛЬЯРДЫ В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ.
Глава 1. Бильярд в круге.
§ 1. Шар в круглом бильярде без луз.
§ 2. Теорема Якоби. Применение к теории чисел.
§ 3. Теорема Пуанкаре о возвращении. Конфигурационное и фазовое пространства. Парадокс Цермело и модель Эренфестов.
Глава 2. Бильярд в эллипсе.
§ 4. Эллипс и его бильярдные свойства. Каустики.
§ 5*. Задача об освещении невыпуклой области.
§ 6. Экстремальные свойства бильярдных траекторий. Принцип Ферма и теорема Биркгофа.
Часть II. ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО БИЛЬЯРДА.
Глава 3. Геометрия прямоугольного бильярда.
§ 7. Бильярдный шар на прямоугольном столе без луз.
§ 8. Top и его обмотки.
§ 9. Бильярд в прямоугольнике и тор.
Глава 4. Физика прямоугольного бильярда.
§ 10. Фигуры Лиссажу.
§ 11. Бильярд в прямоугольнике и осциллограф.
§ 12. Задача о пеленге.
Часть III. ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА СТОЛКНОВЕНИЙ.
Глава 5. Одномерный «газ» из двух молекул.
§ 13. Два упруго сталкивающихся шара на отрезке.
§ 14. Два шара на отрезке: сведение к бильярду в треугольнике.
§ 15. Два шара на полупрямой: сведение к бильярду в угле.
Глава 6. Одномерный «газ» из большого числа молекул.
§ 16. Три упругих шара на прямой.
§ 17. n упругих шаров на прямой.
§ 18*. Число столкновений между молекулами одномерного «газа».
Глава 7**. Многомерный «газ».
§ 19. Конфигурационное пространство «газа» из n молекул в пространстве и сосуде.
§ 20. Сведение «газа» в пространстве и сосуде к бильярду.
§ 21. Рост числа столкновений между молекулами «газа».
Часть IV. БИЛЬЯРДЫ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ И МНОГОГРАННИКАХ.
Глава 8. Геометрия многоугольного бильярда.
§ 22. Бильярды в «торических» многоугольниках.
§ 23. Склейка поверхностей из многоугольников.
§ 24. Бильярды в рациональных многоугольниках и поверхности.
Глава 9. Поведение бильярдных траекторий в многоугольниках.
§ 25. Траектории в рациональных многоугольниках и обмотки кренделей.
§ 26. Может ли непериодическая траектория в выпуклом многоугольнике не быть всюду плотной в нем?
§ 27. Периодические траектории в многоугольниках и многогранниках.
Заключение.
Список литературы.
|
Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/bmkvant/77
Математический бильярд покажет вероятные траектории
Учёные задались вопросом выяснить возможные траектории движения бильярдного шарика. Чтобы найти ответ на этот любопытный вопрос специалисты и разработали теорию траекторий либо математический бильярд. Результаты фиксируются в таблице и это не слишком удобно.
Гаспар Густав Кориолис — этот физик первым поднял тему о создании математического базиса, описывающего игру в бильярд. И в 1935 г. выходит его книга «Математическая теория явлений бильярдной игры».
В своём фундаментальном труде, он как рабочие, использовал знания из теории вероятности, общего анализа с теорией пределов. В то время, когда он жил, этими знаниями никто не интересовался, ни математики, ни бильярдисты. Леман выразился, что это ничто и был не прав.
Проходит больше 150 лет и как не удивительно, теория математического бильярда используется, как базис для разных наук и даёт много ответвлений. Она подобна мощному ветвистому дереву с надёжными корнями. «Теория биллиардов» в наши дни входит теорию разных систем динамических, в эргодическую базу, она применяется во многих случаях в физике.
По сравнению с известным нам настольным бильярдом, математический изложен языком точной науки. Идеология и корни у них одни. Образованные читатели знают об исследованиях в этой области учёных-математиков Гарднера с Штайнхаузом и конечно же Альхазена.
Древняя игра в кости натолкнула учёных на исследование вероятностей, а наблюдая за игрой в бильярд специалисты решили провести исследования в сфере математики с механикой. Включите воображение и представьте любой формы бильярдный стол, расположенный стандартно горизонтально, но в нём нет луз. По такому столу, не производя никакого трения с поверхностью, движется шар, представляющий собой точку. От бортиков стола он будет, как в настоящем бильярде, упруго отражаться.
Задача Альхазена
Дано такие, что стол для игры в бильярд круглый и нужно найти на нём точку, ударив точно в которую биток 100% прикоснётся к прицельному шару, находящемуся в другой точке. Птолемей первым сформулировал эту задачу. Но учёные назвали её в честь Альхазена потому, что он первым взялся скрупулёзно проводить исследования, и применил знания в оптике.
Задача Пуассона
Французский физик и математик Симеон Дени Пуассон, который жил с 1781 по 1840 г., сформулировал известную задачу на переливание и решил её разными методами. Такие задачи дают школьникам на олимпиадах. Уровень сложности может быть разным и если ваш ребёнок ознакомится с ними, то ему будет легче решать подобные.
Рассмотрим суть задачи. У вас есть сосуды, имеющие различный объём. В одном находится жидкость. Её нужно отлить по другим сосудам и так, чтобы количество переливаний было минимальным. В подобных задачах на разные переливания нужно указать, что за чем вы делали, чтобы выполнить требования условий задачи.
В работе рассмотрена сама математическая модель игры в бильярд. Она используется в теории чисел, арифметике с механикой и конечно в физике. Идея такова, что требуется нарисовать стол для бильярда и грамотно интерпретировать и подробно описать по какой траектории движется шар. Его разные состояния той или иной точке нужно отмечать цифрами в таблице.
У табличного метода есть недостатки. Не наблюдается определённый алгоритм. Вы не можете предвидеть куда покатится наш в ту или иную секунду. Вы долго можете писать в таблице варианты его движения пока не нащупаете реальную траекторию. Это долго и неудобно. А можете и вовсе не угадать его реальное движение на игровом поле и напишете неверную цифру.
Используя этот математический метод на основе игры в бильярд, учёные успешно научились решать задачи на переливание. Там есть определённая схема по которой можно действовать. Задача будет решена верно.
Бильярдный биток 2, Образцы исследовательских работ
2 страницы, 846 слов
Бильярд. Дж. Брох и английский период 3 2-16-97 История бильярда начинается в четырнадцатом веке. Игра была изобретена в Европе, но возник конфликт, в какой стране. Французы считали, что игру изобрели англичане, но в то же время англичане думали, что это сделали французы.
В конце концов, французский специалист по бильярду обнаружил доказательства того, что игра возникла во Франции примерно в четырнадцатом веке.Слово «бильярд» происходит от двух французских слов «бильярд» и «счет». Эти два слова означают «клюшка» и «мяч». Сложите их вместе, и вы получите клюшку или пул, как это сейчас называется.
Сначала игра шла на улице, но зимой стало слишком холодно, поэтому игра была перенесена внутри на большие столы. Через пару лет на ложе стола установили зеленую ткань, чтобы создать иллюзию травы снаружи. Палки, которые использовались в то время, были большими, мужчины использовали слегка изогнутые палки, а женщины — прямые и узкие.Клюшки использовались не для удара по мячу, как сегодня, а для того, чтобы толкать шары по столу, как в игре в тасование доски. По мере того, как игра становилась все более популярной, как и сегодня, клюшки становились уже и проще в использовании (Бильярд, http).
Некоторые игры сегодня похожи на бильярд, такие как шаффлборд, и такое же оборудование — клюшки и шары.
Одним из важнейших инструментов любой игры этого типа является стол. В четырнадцатом веке длина столов была намного больше, чем сегодня, потому что они использовались вместо игры на улице.Сегодня размеры столов варьируются во всем мире. Размеры варьируются от девяти на четыре с половиной фута до десяти на пять футов («Бильярд», Colliers).
2 страницы, 608 слов
Эссе о балу компании Callaway Golf Co сегодня
Callaway Golf Co. В 1982 году Эли Ривз Каллауэй купил свой небольшой бизнес по игре в гольф с использованием клиньев и клюшек и назвал его Hickory Stick USA и создал клюшки, которые понравились среднему гольфисту. Он назвал эти клубы «Демонстративно превосходным» и «Приятно разным» (D SPD).Это был кодекс, по которому он всегда жил. Семья Эли Каллауэя сегодня не связана с компанией, потому что он …
Другой инструмент, используемый для игры, — это кий.
Кий в диапазоне от двенадцати до двадцати двух унций, и чем прямее кий, тем лучше. В конце кия находится кожаный наконечник, который используется для точного удара по мячу. Если бы клюшка ударила по мячу кожаным наконечником, помеченным мелом, то был бы произведен лучший выстрел, чем удар без него.Как теперь известно большинству людей, мел используется для лучшего снимка. Мел имеет синий цвет и имеет форму небольшого куба квадратного дюйма. Еще один предмет, необходимый для игры в бильярд, — это шары, пятнадцать прицельных шаров и один биток.
Биток — единственный шар, по которому можно ударить клюшкой. Чтобы сыграть в игру с девятью шарами, необходимо сыграть всего десять шаров: девять прицельных шаров, пронумерованных от одного до девяти, а затем биток. Когда вся необходимая экипировка собрана, можно начинать игру, но какие кадры нужно использовать в каких ситуациях? Первый выстрел в игре называется перерывом.После этого можно использовать самые разные кадры. Некоторые из них могут быть ничейным или последующим. Это наиболее распространенные снимки, которые люди используют, не зная об этом.
Их настолько легко освоить, что стреляет в них даже новичок. Разбивочный бросок должен быть выполнен с той стороны стола, на которой происходит установка или размещение всех шаров, кроме битка, в треугольнике (Ирландия, Дениз).
После того, как пауза сделана, действительно не имеет значения, какой выстрел будет использован следующим.Цель игры в пул или бильярд — забивать шары в лузах, поэтому удары должны быть хорошо продуманы. Если после перерыва попадет цельный шар, то это те шары, по которым нужно будет отбивать до конца игры. То же самое, если влетает раздетый шар, то попадают в него, а не в твердые крышки.
Таким образом, если мяч попадает в мяч во время перерыва, игрок продолжает стрелять до тех пор, пока не промахнется. В игре с восьмеркой ударьте все шары, которые попадают в цвет того, который попадает в игру в момент разрыва, в лузы, а затем по мячу восьмеркой.Ничья используется для изменения направления битка. Биток прыгает, когда клюшка ударяется по нему под углом.
3 страницы, 1176 слов
Эссе о баскетбольном броске с мячом
Баскетбол — простой и увлекательный вид спорта. Играть может любое число игроков, вплоть до десяти, и баскетбол так же хорош, как половина корта, как и весь корт, тротуар, как древесина или тартан. Изобретение и распространение баскетбола — это история удачных обстоятельств и совпадений.За несколько лет баскетбол завоевал популярность во многих местах по всей стране, в основном под …
При этом мяч попадет в стол с такой скоростью, что заставит его подпрыгнуть. Итак, в заключение своего исследования я нашел много новой информации о бильярде, которую раньше не знал. Самое интересное, что я обнаружил веб-страницы, книги и журналы, о существовании которых я не знал, до того, как написал свою исследовательскую работу. Это был опыт, открывший глаза. Я очень рад, что выбрал «бильярд» в качестве своей темы, и с нетерпением жду следующего раза, когда мне придется писать исследовательскую работу!
,Основные советы по написанию статьи для исследования по математике
Что вы делаете, когда учитель математики дает вам задание написать исследовательскую работу по математике? Если это первый раз, вы можете спросить: «Что я должен писать по математике?» Помимо вычислений, которые ученики делают в школе, в систему образования были введены задания по математике, которые требуют от учеников выражать определенные концепции в письменной форме. На первый взгляд студенту это может показаться сложным, но когда вы познакомитесь с основами, все станет проще.Этот текст содержит некоторые полезные рекомендации, которые студенты могут использовать для умелого форматирования и структурирования исследовательских работ.
Что такое исследовательская работа по математике? И почему это важно?
Математика включает в себя множество концепций, которые становятся более сложными по мере того, как ученик поднимается на более высокий уровень образования. По мере прохождения студентами математики в колледже они понимают, что некоторые математические концепции нельзя полностью выразить с помощью только формул и уравнений. Вот тут-то и появляются статьи о математических исследованиях.
Математическая исследовательская работа — это академическая работа, предназначенная для выражения определенных математических идей или концепций таким образом, чтобы другие могли их понять. Почему так важно уметь писать такую статью? Уже много лет математики вносят свой вклад в математические знания, используя письменные работы. Не то, чтобы письмо по математике делало всех нас математиками, но наличие навыков может помочь внести свой вклад в развитие этой области. Умение правильно выражать математические концепции в письменной форме улучшит ваше понимание концепций и расширит вашу базу знаний.Кроме того, возможность объяснить свой образ мышления станет важным инструментом для прогресса в математике.
Полезные советы о том, как написать хорошую исследовательскую работу по математике
Что касается письма, студентам рекомендуется учитывать некоторые моменты, чтобы добиться хороших результатов в работе. Вот несколько общих рекомендаций, которых должен придерживаться каждый студент при написании этих исследовательских работ:
Студент должен подготовиться к написанию работы как физически, так и морально.Физически означает собрать все ресурсы, которые могут вам потребоваться, например, справочные материалы. Кроме того, подготовьте свой ум к написанию этой статьи. Старайтесь не отвлекаться, поскольку исследовательские работы требуют большой концентрации и критического мышления.
Рекомендуется много читать и изучать различные справочные материалы по вашей математической работе. Это создаст более широкую базу знаний для вашей исследовательской работы, что поможет вам хорошо выразить концепции. Также используйте только проверенные источники информации.
Понимая, чего ожидает читатель этой статьи, вы будете знать язык, структуру, форматирование и стили, которые нужно использовать. Для обычных образовательных целей мы рассмотрим базовый формат позже.
Перед тем, как начать писать эту математическую работу, ученик должен разработать план. Это форма чертежа для бумаги. В нем показаны все основные идеи, которые студент должен представить, и порядок их отражения в исследовательской работе. План помогает сэкономить время при написании, а также гарантирует, что поток идей идет в соответствии с планом.
Используемый язык должен быть грамматически правильным. Кроме того, простой язык очень важен и предпочтителен при выражении концепций.
- Рассмотрите слова и символы, которые нужно использовать
В некоторых разделах задания учащийся должен выбрать, использовать ли символ функции или названия символов. При описании шагов убедитесь, что читатель может понять переходы в уравнениях и формулах, используя правильные слова вместо символов, которые могут запутать читателя.
Вот как правильно начать работу над математическим исследованием
В начале исследовательской работы первое, что вы должны иметь, — это название. Заголовок — это то, о чем статья, и он говорит читателю, чего ожидать от статьи. Он должен состоять из нескольких хорошо подобранных слов. В названии не должно быть сокращений, писатель также должен избегать символов. Затем выразите благодарность людям за помощь.
После этого составьте список авторов, которых вы привлекли или чьи работы вы использовали для написания статьи.Расположите их в порядке их вклада, самые важные должны быть вверху.
Следующим шагом будет написание реферата, в котором писатель должен стремиться привлечь интерес читателя к своей статье. Аннотация должна быть краткой и лаконичной, подчеркивая только то, о чем статья.
Эффективные рекомендации по структурированию исследовательской работы по математике
Структура математической исследовательской работы не отличается от любой другой работы, если работа разделена на три основные части: введение, основной текст и заключение.Структура вашей работы должна определяться целью, которую вы ставите перед собой с бумагой. Ваш план должен определять структуру содержания исследовательской работы.
Создайте увлекательную статью о математическом исследовании Введение
Введение — самый важный раздел статьи. Это потому, что он определяет направление, которому будет следовать остальная часть статьи. Введение также должно служить поддержанию интереса читателя к работе.
При написании введения автор должен быть точным в выборе слов, избегая пустых формулировок.Также рекомендуется как можно скорее указать цель статьи во введении.
Сообщив читателю о цели, изложите основные результаты работы простым языком и избегайте неуместных слов. Вам также необходимо будет объяснить некоторые общие термины, используемые в статье. Изложение тезиса должно быть четко помещено в конце введения, поскольку оно задает направление для других частей статьи.
Craft a Good Math Research Paper Body
Основная часть статьи должна быть направлена на достижение цели, изложенной во введении.Здесь будут все основные объяснения и обсуждения. Тело следует разделить на секции в соответствии с функцией, для которой они предназначены. В теле должен быть логический поток идей. Он также должен содержать полные доказательства, представленные пошагово и должным образом упрощенные для читателя.
В первой части следует подробно описать проблему. Затем вы должны обсудить идею, которую пытаетесь выразить в проблеме. Автор должен подробно описать различные приближения и предположения, использованные в их модели.
В следующей части будут показаны решения модели. Покажите, как он описывает текущие тенденции или поведение рассматриваемой системы.
Последняя часть основного документа должна описывать возможные ситуации, в которых бумага может быть применена. Здесь писатель также должен обсудить возможные направления, которые можно предпринять для дальнейшего развития работы.
Закончите с отличной научной работой по математике Заключение
Заключение — самая простая часть статьи.Здесь вы должны выделить содержание остальных частей статьи. Утверждение тезиса здесь должно быть сформулировано иначе, не меняя своей направленности. В заключение вы должны также обобщить основные идеи, чтобы читатель завершил их.
Нужна дополнительная помощь с бумагой? Получи это здесь!
Если вас по-прежнему беспокоит эта математическая исследовательская работа, вы можете рассчитывать на нашу помощь. Мы — профессиональная компания, занимающаяся составлением исследовательских работ, которая предоставляет индивидуальные, хорошо написанные математические исследовательские работы, отвечающие всем требованиям клиентов.Свяжитесь с нами сегодня — мы гарантируем конфиденциальность, доступность и максимально возможное качество.
,4 простых шага к написанию исключительной исследовательской работы
Беспокоитесь о предстоящем письменном задании? Здесь преподаватель из Тампы, штат Флорида, Анна М. рассматривает шаги по написанию исследовательской работы, которая поможет вам заработать « A» …
Уже в средней школе ученики пишут исследовательские работы. Когда учитель впервые просит вас написать исследовательскую работу, вы, возможно, не знаете, с чего начать. Эта статья даст вам систематические инструкции по написанию исследовательской работы.
1. Тема
Первый и, возможно, самый важный шаг к написанию исследовательской работы — это принятие решения по теме . Конечно, если ваш профессор предложит вам вашу тему, это значительно упростит задачу, но обычно вам не повезет.
Хорошая тема:
• Интересна для вас
• Соответствует вашему классу
• Имеет несколько законных источников, связанных с ней
Большинство людей пишут исследовательские работы не для развлечения. Итак, чтобы облегчить вам это задание, выберите тему, которая вам нравится. Например, если работа предназначена для урока английского языка, а ваша любимая книга — «Убить пересмешника» , напишите на ней. Если ваше любимое животное — жирафы, а статья предназначена для урока биологии, напишите в ней о поведении жирафов.
Если вы находитесь в классе, где требуется исследовательская работа по чему-то, что вам неинтересно, то, по крайней мере, напишите статью о том, что принесет вам пользу в будущем. Например, если вы учитесь на уроке экономики и вам нужно написать статью, но вы находите экономику невероятно скучной, попробуйте написать статью о том, как составить бюджет или текущие экономические события в вашей стране.
Еще одна важная вещь, которую следует учитывать при выборе темы, — это существующих связанных источников. Например, написание исследовательской работы по качеству воды было бы хорошей идеей, потому что на эту тему опубликованы сотни исследовательских работ из авторитетных университетов по всему миру. Однако писать статью о том, как ваш астрологический знак влияет на вашу жизнь, было бы не очень хорошей идеей, потому что на эту тему опубликовано мало исследований.
2.Вопрос
Когда вы пишете исследовательскую работу, вы основываете ее на первоначальном вопросе, который будет названием вашей статьи. Этот вопрос должен дать читателю общее представление о том, чему будет посвящена статья. Например, вместо того, чтобы писать статью «Ароматизаторы мороженого», напишите ее «Какие вкусы мороженого предпочитают фокус-группы?» Вместо «Поведение слонов» напишите «Как обычно ведут себя африканские слоны во время африканского засушливого сезона?»
3.Исследование
Прежде чем вы напишете хоть одно слово в своей статье, вам нужно изучить эту тему. Хорошее место для начала вашего исследования — онлайн. Избегайте веб-сайтов, которые могут легко редактироваться публикой, а также любых социальных сетей. В лучших онлайн-источниках есть ссылки на всю информацию. На веб-сайтах авторитетных исследовательских журналов также будет хорошая информация, как и на веб-сайтах профессоров. Еще одно хорошее место для исследования — библиотеки университетов или колледжей.Большинство школ предлагают временные библиотечные билеты старшеклассникам. Эти библиотеки предлагают гораздо больше информации, чем ваши местные публичные библиотеки, поэтому воспользуйтесь этим, если возможно.
4. Написание статьи
На этом этапе у вас есть вопрос, и вы знаете эту тему. Остальная часть процесса должна быть легкой. Все, что вам нужно сделать сейчас, это показать своему профессору, что вы знаете, о чем говорите, организованным образом.
Хороший общий план вашей статьи должен быть:
- Введение: Сформулируйте свой вопрос, представьте свою аргументацию (если она у вас есть), упомяните некоторые из ваших источников и дайте читателю общее представление о том, что бумага будет примерно
- Предпосылки: Объясните все общие знания, которые вы получили по этой теме (это должно быть несколько абзацев)
- Метод: Включите это, только если вы выполнили эксперимент, чтобы получить информацию для своей статьи — перечислите все шаги, которые вы предприняли в своем эксперименте
- Результаты / анализ: То же, что и выше, только включите это, если вы выполнили эксперимент — включите данные или диаграммы и любой статистический анализ
- Аргумент: Включите это, только если ваша статья аргументирована — изложите свою точку зрения по теме и объясните, почему вы думаете, что вы правы
- Обсуждение: Если ваша статья основана на опыте eriment, объясните свои результаты; если это аргументированная статья, представьте несколько контраргументов и покажите, почему вы думаете, что вы более правы в своих убеждениях
- Заключение: Свяжите все остальные части вместе
- Ссылки: MLA или форматирование APA
Конечно , не все исследовательские работы одинаковы.Возможно, вы почувствуете необходимость объединить обсуждение и заключение, или же тема вашей статьи не будет оформлена как вопрос. Всегда обращайтесь к своему учителю, если у вас есть конкретный вопрос о формате вашей работы, и если ваша тема приемлема. Помимо этого, эти шаги по написанию исследовательской работы направят вас на верный путь!
Анна М. является преподавателем химии, алгебры, математического анализа и других дисциплин в Тампе, Флорида. Она специализируется на химии в Университете Южной Флориды и имеет опыт преподавания в начальной и средней школе.Узнайте больше об Анне здесь!
Фото catherinecronin
.Хаос на бильярдном столе
Даже простые процессы могут привести к хаосу. Вот почему это так сложно предсказывать погоду, фондовый рынок и многое другое процессы, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. Математики пытаются справиться с хаосом, глядя на простейшие системы, которые это демонстрируют. Прекрасный пример — игра бильярд.
Закон отражения: угол падения равен углу отражения.
«Математический бильярд — это идеализация настоящего бильярда», — поясняет Коринна Улчиграи, математик из Бристольского университета, изучавшая математический бильярд.»Идея аналогична: у вас есть стол и мяч, но мяч не имеет массы, поэтому нет трения. Мяч прыгает в соответствии с по тем же правилам, что и обычный мяч «. То есть он движется по прямой линии, пока она не коснется края стола, где она отскакивает следуя закону отражения (см. рисунок справа). Но в отличие от настоящего бильярда здесь нет карманов. который может проглотить мяч, и поскольку он не испытывает никаких трение по мячу будет продолжаться вечно.
Как обычно будет выглядеть траектория полета мяча? «Если вы выстрелите в мяч так, чтобы он попал в одну из сторон стола (его траектория образует прямой угол со стороной), то он вернется по той же траектории, по которой пришел, но двигаясь в противоположном направлении.Он продолжит удар по противоположному краю в точно противоположной точке, вернется по своему пути и продолжит подпрыгивать. между двумя противоположными точками на одном прямая линия навсегда. Точно так же, получив правильное начальное направление, вы можете убедиться, что мяч по очереди отскакивает от средней точки всех четырех ребер, а затем возвращается туда, где он начал, вечно путешествуя по тем же четырем сегментам линии.
Слева: если вы стреляете по мячу так, что он встречается со стеной под прямым углом, он будет постоянно отскакивать между противоположными точками стола.Справа: аналогично вы можете заставить мяч перемещаться между четырьмя точками. Это примеры периодических траекторий.
Но оказывается, что это обычное поведение очень редко. В 1980-х годах математики доказали, что большинство начальных направлений траектория будет будет гораздо более диким: он не только не пойдет назад, но и в конце концов исследуйте всю таблицу, подойдя произвольно близко к каждому пункту на нем. Более того, типичная траектория будет проходить каждый часть таблицы в равной мере: если взять две области стол, площади которого равны, то траектория проведет равную количество времени в обоих.Такое поведение является следствием того, что биллиард имеет эргодику . Под «подавляющим большинством» математики подразумевают, что если вы выберете направление наугад, оно почти наверняка будет вести себя таким эргодическим образом.
Эргодичность бильярда означает, что очень трудно предсказать, где окажется шар по прошествии определенного времени: чтобы это выяснить, вам нужно буквально проследить его путь на листе бумаги, тщательно измеряя угол за углом, потому что вы можете Не полагайтесь на какой-либо обычный шаблон, чтобы добиться успеха.Это может показаться неплохим, в конце концов, вы можете запрограммировать быстрый компьютер, который сделает всю работу за вас. Но есть еще одна независимая особенность, которая усложняет задачу. Если вы получите начальные условия мяча — место и направление, с которого он начинается — хоть немного неверны, то небольшая ошибка, как правило, будет снежным комом, делая ваш прогноз неточным. Эта чувствительная зависимость от начальных условий широко известна как эффект бабочки и является одним из признаков хаоса.
Не только развлечения и игры
Что касается настоящего бильярда, то хаос, вероятно, делает его забавным. Кто хочет играть в предсказуемую игру? Но математики изучают бильярд не потому, что им нравится играть в него. Вариации игры представляют собой модели динамических систем, возникающих в природа. Понятие эргодичности было развито в контексте частиц, например молекул, составляющих газ, прыгающих по окружающему пространству, натыкаясь друг на друга при движении. «Эргодичность — очень важное свойство хаотических систем», — объясняет Улчиграй.»Он восходит к XIX веку, когда физик Людвиг Больцман предположил, что многие динамические системы эргодичны: они настолько хаотичны, что если вы посмотрите на траекторию типичный момент это в некотором смысле исследует все [теоретически разрешенные возможности] ».
Однако удивительно, что эргодичность может сделать вашу систему более предсказуемой. Существует математический результат, называемый эргодической теоремой Биркгофа , который говорит вам, что если система эргодична, то даже если вы не можете точно предсказать, что она будет делать в будущем, вы можете точно предсказать средние величины для типичных траекторий.Например, в бильярде вы не сможете точно предсказать, где окажется шар по прошествии некоторого времени, но вы можете точно предсказать, какую часть своего времени он проводит в определенной области стола. Если вы смотрите на газ, то, возможно, вы не сможете точно сказать, где находятся многие составляющие его молекулы в любой данный момент, но вы можете предсказать такие вещи, как его температура или давление. Таким образом хаотические системы идут, эргодичность на самом деле хорошая вещь.
Изменение формы
Одно естественное явление, которое быстро превращается в бильярдную задачу, если его упростить, — это электропроводность металлов.Электрический ток — это поток частиц, называемых электронами. Чтобы упростить задачу, предположим, что через металла, и представьте себе металл как решетку из молекулы равномерно расположены в двумерной плоскости. Если вы думаете электрона как немного мяч, то он ведет себя так же, как прыгающий бильярдный шар на столе, который содержит решетку из препятствия.
Три возможные траектории шара на столе с круглыми препятствиями. Изображение любезно предоставлено Йенсом Марклофом, из Кинетический перенос в кристаллах .Используется с разрешения.
Начало траектории на Г-образном столе. Все углы в этой таблице являются рациональными кратными π, а именно π / 2 (пять из них) и 3π / 2 (оставшийся один).
Чтобы изучить такие системы, как эта, вам нужно отпустить еще одну знакомую особенность бильярда, с которой мы сталкиваемся в пабах: прямоугольную форму стола. Хорошая отправная точка — спросить, что произойдет, если стол будет треугольным, шестиугольным или L-образным. В более общем плане, что, если ваш стол представляет собой многоугольник , фигуру, края которой являются прямыми линиями и которая может содержать отверстия, соответствующие препятствиям? Верен ли приведенный выше результат — типичные траектории эргодичны и равномерно распределены по таблице?
Ответ — да, если углы в углах многоугольника имеют особую форму.Они должны быть равны , где и — целые числа (так что — рациональное число). Прямоугольники и квадраты попадают в этот класс (их углы углов ), равно как и равносторонние треугольники (их углы углов ), правильные пятиугольники (с углами углов ), правильные шестиугольники (), а также все другие правильные многоугольники. , Но результат также сохраняется, если таблица содержит препятствия, если они также ограничены прямыми линиями, а углы в получившемся многоугольнике соответствуют приведенной выше форме.Бильярд, играемый на столе, который удовлетворяет этим свойствам, называется рациональным многоугольным бильярдом .
Если вы позволите линиям, ограничивающим таблицу, быть изогнутыми, система полностью переключает передачи. Оказывается что игра становится намного менее хаотичной, если граница стола повсюду выпирает наружу (если это строго выпуклая ). Примеры: круг или эллипс. В этом случае периодических траекторий намного больше — те, которые повторяют свои шаги — а траектории не имеют изучить всю таблицу.
Если, с другой стороны, фигура содержит части границы, которые выпирают внутрь, тогда игра становится намного больше. хаотично. Если учесть небольшой диапазон начальных положений и направлений мяча, то полученные траектории не только расходятся, но расходятся до такой степени, что в конечном итоге они будут равномерно распределены по всему столу. Таким образом, небольшая неточность в начальных условиях означает, что вы действительно не имеете ни малейшего представления о том, где окажется мяч через некоторое время — это пример свойства динамических систем, называемого смешивание .
Начало траектории на вогнутом столе.
Рациональный многоугольный биллиард представляет собой водораздел. между разными уровнями предсказуемости. «Полигональный бильярд динамически интересен, потому что Это своего рода медленный хаос, — объясняет Улчиграй. — Это хаотично, но менее хаотичен, чем другие ».
Бесконечные сюрпризы
Возможно, удивительно, что математикам потребовалось больше времени, чтобы доказать результаты о многоугольном биллиарде, чем о биллиарде с изогнутыми формами.Результаты об эргодичности фигурных бильярдов были подтверждены еще в 1960-х годах, не в последнюю очередь Научный руководитель Ульчиграя Яков Синай, получивший в этом году премию Абеля, одна из самых престижных премий по математике за его вклад в теорию динамических систем. Только в 1980-х математики вплотную занялись на первый взгляд простыми многоугольными таблицами. Их успех обусловлен изобретательным математическим трюком, который превращает неровные и дикие траектории на плоских столах в плавные кривые на красивых поверхностях, хорошо понятные математикам.Это прекрасная техника, на которую стоит обратить внимание — вы можете узнать больше в статье о Plus .
В 2013 году техника помогла Уличиграю доказать шокирующий результат. Вместе с польским математиком Кшиштофом Фрачеком она рассмотрела бесконечный бильярд. стол, содержащий решетку прямоугольных препятствий. Эта установка известна как модель Эренфеста , в честь русского математика Татьяны Эренфест и ее мужа Пола, которые изучили ее, чтобы объяснить поведение молекул в газах.
Модель Эренфеста представляет собой бесконечный стол с бесконечным набором прямоугольных препятствий. Изображение из этой статьи Fraczek и Ulcigrai, использовано с разрешения.
Допустить бесконечность в картину может показаться пугающим, но математики делают это регулярно. И поскольку это прямое обобщение рациональной многоугольной схемы (все препятствия ограничены прямыми линиями, которые пересекаются под прямым углом), Ульчиграй и Фракчек ожидали найти, что и здесь подавляющее большинство траекторий должно быть эргодическая.Но в конечном итоге они доказали прямо противоположное: подавляющее большинство траекторий не эргодичны. Почему это случай это загадка. «Есть и другие системы, в которых геометрическая причина того, почему траектории не эргодичны, — говорит Улчиграй. Постройте типичную траекторию, чтобы увидеть, что они остаются в ограниченном полоса, например. Но в нашей модели, если вы построите траекторию, вы не увидите такой причина. Траектория выглядит так, будто исследует всю таблицу. Но мы доказали, что это не так.Это обман! »
Чтобы разгадать эту тайну бесконечного стола, потребуются дополнительные исследования. Но даже конечный бильярд по-прежнему вызывает вопросы: что произойдет, если ваш стол представляет собой многоугольник, углы которого иррационально кратны , например ? Дело в том, что на самом деле никто не знает. Вопрос по-прежнему широко открыт.
Об этой статье
Коринна Улчиграи — преподаватель чистой математики в Бристольском университете. Коринна родилась в Триесте, Италия, в 1980 году.Она получила диплом по математике в Scuola Normale Superiore в Пизе (2002 г.) и защитила докторскую степень по математике в Принстонском университете (2007 г.) под руководством Я. Г. Синай (лауреат Абелевской премии 2014 г.). Ее исследования находятся в области динамических систем и эргодической теории. Она является одним из немногих международных экспертов по динамике Teichmüller в Великобритании и изучала динамические и хаотические свойства многоугольных биллиардов и потоков на поверхностях. Коринна была награждена премией Европейского математического общества для молодых математиков на Европейском математическом конгрессе 2012 года и была лауреатом премии Уайтхеда 2013 года Лондонского математического общества.Она замужем за математиком и имеет маленького ребенка.
Марианна Фрейбергер, редактор журнала Plus , взяла интервью у Коринны на Британском математическом коллоквиуме в Лондоне в апреле 2014 года.
,