Математический бильярд: Matematicheskie biljardy

Содержание

Математический бильярд

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Акбаева А.А. 1

1Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа аул Верхний Учкулан»

Джамбаева Ф.Н. 1

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Цель: исследовать возможности применения теории математического бильярда для решения задач на переливание жидкости.

Задачи: познакомиться с историей математического бильярда

изучить применение метода для решения задач с двумя и тремя сосудами

исследовать вопрос о разрешимости задач на переливание

найти в литературе и решить задачи на переливание, имеющие практическую направленность.

Актуальность: задачи на переливание часто встречаются в олимпиадах; их решение способствует развитию логического мышления, любознательности и творческих способностей.

Гипотеза: используя метод математического бильярда, можно решить любую задачу на переливание с двумя или тремя сосудами, или доказать, что такое переливание невозможно

Мой любимый школьный предмет – математика.

Я с большим удовольствием участвую в различных олимпиадах по этому предмету, люблю решать логические задачи. Я обратил внимание, что среди занимательных задач по математике большое место занимают так называемые задачи на переливание, суть которых сводится к следующему: имеется несколько сосудов известного объема. Нужно указать последовательность действий, при которой отмеряется требуемое количество жидкости, и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что: все сосуды без делений; нельзя переливать жидкости «на глаз»; переливать можно только полностью всю жидкость, или столько, сколько вмещается в другой сосуд;

Рассмотрим решение одной из таких задач: Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

1 шаг: наполним водой первый сосуд;

2 шаг: перельём из первого сосуда во второй 3 л. В первом остается 2 л.

3 шаг: из второго сосуда выльем эти 3 л обратно в раковину;

4 шаг: 2 л воды из первого сосуда перельём во второй;

5 шаг: вновь наполним первый сосуд водой. Теперь в первом сосуде 5 л, а во втором — 2л;

6 шаг: перельем из первого сосуда 1 л воды во второй, наполнив его до краёв. В первом сосуде осталось 4 л воды — задача решена. Все шаги по переливаию удобно записывать в виде таблицы (табл.1).

Табл. 1

Эту задачу я решил подбором. Но понятно, что если увеличить объем сосудов, ее решение становится затруднительным. Поэтому логично найти общий метод решения задач данного типа. Оказывается, такой метод существует. Он заключается в использовании математического бильярда.

1.ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО БИЛЬЯРДА

Билья́рд, реже биллиард (от фр.bille — шар или billette, billart — палка) — собирательное название нескольких настольных игр с разными правилами, а также специальный стол, на котором происходит игра.

Всем знакома игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Точное время ее появления установить невозможно. Известно лишь, что она, так же, как и шахматы, очень древнего происхождения, а родиной бильярда является Азия, по утверждению одних исследователей — Индия, по мнению других — Китай. В Европе первые упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В Россию бильярд был завезен из Голландии Петром I. и быстро завоевал популярность. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике.

Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий. Идея применения этой теории к задачам на переливание очень красиво и даже эффектно описана Перельманом книге «Занимательная геометрия».

1.ЗАДАЧИ С ДВУМЯ СОСУДАМИ

И так, что же это такое — математический бильярд? Начнем с того, что стол для него, как уже было сказано выше, отличается от обычного. Математический бильярдный стол — не прямоугольник, а параллелограмм с углами 60 и 120 градусов (рис 1). Стороны параллелограмма должны выражаться числами, равными числу единиц объема наших сосудов. Весь стол расчерчен параллельными прямыми на равносторонние треугольники. Бильярдный шар может Рис.1 перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Рассмотрим на примере уже знакомой нам задачи, какие прекрасные возможности представляет этот метод.

З адача 1. Имеются два сосуда – трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении по-прежнему, водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом. (рис.1). Будем следить за движением шарика и расщифровывать каждую точку его удара о борт стола.

Первая точка удара (5; 0) (рис.2), это значит, что мы должны наполнить водой больший сосуд. Вторая точка удара (2; 3)- она говорит о том, что шарик рекомендует нам из 5-литрового сосуда 3 литра перелить в меньший. Следующая точка удара имеет координаты (2;0). Это означает, шарик советует из меньшего сосуда вылить всю воду. Будем дальше следить за шариком и заполнять таблицу (табл. 2). Мы увидим, что после 7 переливаний наша цель достигнута: в 5-литровом сосуде получено 4 литра воды (рис. 5)

Рис.2 Рис. 3 Рис. 4 Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды за 7 шагов. Шарик решил задачу!

Табл. 2

Рис. 5

З
адача 2.Можно ли, имея в распоряжении сосуды 3 и 5 л, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды? Чтобы ответить на этот вопрос продолжим следить за движением нашего «умного шарика» и записывать все шаги, пока не придем в одну из угловых точек, или в точку на стороне параллелограмма, в которой шарик уже побывал.

И на столе (рис.6), и в таблице (табл.3) видно, что можно получить любое количество жидкости от 1 до 8 л за 15 ходов .

Рис. 6. Табл. 3

Задача 3. Выясним теперь, можно ли было решить эту задачу, наполнив сначала трехлитровый сосуд? Выполним переливание (рис. 7), заполним и проанализируем таблицу (табл. 4).

Рис.7 Табл. 4

Как видим, задачи на переливание можно решать двумя способами: I.начать переливания с большего сосуда; II.начать переливания с меньшего сосуда. Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя. Например, 4 литра можно получить в первом случае за 6 ходов, а во втором — за 8, а вот 6 литров мы получим уже на 4 шаге, если начнем переливание с 3-х литрового сосуда .

Задача 4 Возникает вопрос — а всякая ли задача такого типа имеет решение? Оказывается, нет. Например, имея сосуды объемом 6 и 3 литра, невозможно набрать 4 л воды, и наш умный шари к это легко обнаружит (это видно из рисунка 8). Уже на 5 шаге он оказался в углу бильярдного стола, из которого начал движение, а это значит, что никаких других вариантов по переливанию мы получить не сможем. Рис. 8 Так произошло потому, что объемы наших сосудов выражены числами, общий делитель которых отличен от 1. Значит, задача имеет решение, если объемы сосудов выражаются взаимно-простыми числами.

ЗАДАЧИ С ТРЕМЯ СОСУДАМИ

А теперь рассмотрим задачи на переливания, по условиям которых используются три сосуда, один из них заполнен жидкостью, а два других пустые. В задачах такого типа появляются дополнительные условия: выливать жидкость вне сосуда нельзя; наливать жидкость извне нельзя. В качестве примера рассмотрим самую старинную головоломку с тремя сосудами, известную еще математикам XVII века:

Задача 1. Восьмилитровый сосуд до краев наполнен водой. С помощью двух пустых сосудов емкостью 3 и 5 литров надо поровну разделить воду в два больших сосуда. Решение.Для решения этой задачи точно так же используем параллелограмм со сторонами 5 и 3 единицы. Чтобы фиксировать количество воды в третьем, восьмилитровом сосуде, дополнительно проведем главную диагональ параллелограмма (рис.9). Она делится наклонными прямыми на 8 частей. Пронумеруем эти точки числами от 8 до 0, начиная с нижней левой вершины. Первые две координаты любой точки параллелограмма, куда может попасть бильярдный шар, определяются, как и раньше, а третья координата равна величине отрезка, отсекаемого на главной диагонали соответствующей наклонной. Как и раньше, шар начинает движение от точки с координатами (0;0). Нарисовав траекторию шара, получим решение задачи за 8 шагов (табл. 5).

шаг	1	2	3	4	5	6	7	8
5 л	0	5	2	2	0	5	4	4
3 л	0	0	3	0	2	2	3	0
8 л	8	3	3	6	6	1	1	4

Табл. 5 Рис. 9

В этой задаче объем большего сосуда равен сумме объемов двух меньших. Но, разумеется, могут быть и другие случаи, когда объем большего сосуда меньше или больше этой суммы. Метод математического бильярда применим и для них, но с дополнительными условиями. Задача 2. Имеется 11-литровый сосуд, наполненный водой и два пустых сосуда емкостью 3 и 5 литров. Как с помощью этих сосудов отлить 4 л воды?

Решение. Так как. 11 > 3 + 5, главную диагональ необходимо продлить за вершину параллелограмма Но шарик за границы нашего стола все равно не выходит, потому что при любом переливании в 11-литровом сосуде остается, как минимум, 3 литр воды Рис. 10 (11 — (5 + 3) = 3). И тогда решение выглядит следующим образом (рис.10):

. Задача 3. Имеется 6-литровый сосуд, наполненный водой и два пустых сосуда емкостью 3 и 5 литров. Как с помощью этих сосудов отлить 4 л воды? Решение. На диагонали, выражающей количество воды в третьем сосуде, должно быть отложено 6 единиц. Поэтому у параллелограмма надо отсечь верхний правый угол и продолжать следить за движением шарика (рис.11).

Рис. 11

Осталось рассмотреть вопрос о разрешимости задач с тремя сосудами. Как и в случае с двумя сосудами, если объемы двух меньших сосудов выражаются взаимно простыми числами, а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда. Имея, например, сосуды вместимостью 7, 8 и 15 литров, можно отмерить любое количество воды от 1 до 8 литров. Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, задача может оказаться неразрешимой, даже если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя. Например, если объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литров, то отмерить можно любое количество воды, кроме 6 литров. Но любой вопрос о разрешимости задач такого типа легко решается, если следить за движением «умного» шарика на математическом бильярдном столе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Изучая литературу по истории математического бильярда, мы выяснили, что с момента появления в Европе эта азартная игра послужила предметом серьезных научных исследований, в результате которых появилась теория математического бильярда или теории траекторий

2. Теория математического бильярда нашла прекрасное применение для решения задач на переливание.

3. Используя метод математического бильярда, можно легко выяснить, имеет ли задача решение.

4. В большинстве книг по занимательной математике и среди олимпиадных задач большое место занимают задачи на переливание, многие из которых я решил, используя метод математического бильярда. В своем предположении я убедился. Используя метод математического бильярда, можно решить любую задачу на переливание или убедиться, что это не возможно. Задачи на переливание действительно часто встречаются на олимпиадах, их решение способствует культурному и интеллектуальному развитию, помогает развитию памяти, внимания, логического мышления, любознательности и творческих способностей. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика Симеона Дени Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, определив тем самым выбор своей будущей профессии – он стал математиком. А одна из самых известных задач подобного рода носит его имя (я ее также решил)

Список литературы

1. Мартин Гарднер. Математические досуги. Под редакцией Я. А. Смородинского. Перевод с английского Ю А. Данилова. Издательство «Мир», Масква, 1972

2. Я.И. Перельман. Занимательная Геометрия, издание одиннадцатое, стереотипное, под ред. И с дополнениями Б.А. Кордемского, государственное издательство физико-математической литературы. Москва, 1959(Я.И.Перельман.,Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959, с.238) 3.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%8%D1%80%D0%B44. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин, Математическая шкатулка Москва, «Просвещение», 1984, с.160

54. Е.И. Игнатьев В царстве смекалки Москва, «Наука» ГРФМЛ, 1987, с17611

Просмотров работы: 3154

Математический бильярд | Образовательная социальная сеть

V Городская конференция школьников им. Д.В.Вилькеева

Секция: Математика, физика

Исследовательская работа

Математический бильярд

Рудина Алена

МБОУ «Школа №25», 5«А» класс

Ново-Савиновский район, г. Казань

Научный руководитель:

Агафонова К.О.

Казань

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Теория математического бильярда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Исследование свойств математического бильярда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Список используемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Иллюстрации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Введение

Бильярд послужил предметом серьезных научных исследований по механике и математике. В математическом бильярде рассматривается стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется шар, отражаясь от бортов. Направление движения шара, меняется только при его ударе о борт по закону отражения. Линия, вдоль которой двигается шарик, называется траекторией. Траектория бильярда в заданной области определяется начальным положением шарика и начальным направлением его движения. Таким образом, траектория бильярда – это вписанная в кривую ломаная, которая может быть однозначно построена по своему начальному звену.

Математическая проблема бильярда состоит в том, чтобы найти ответ на вопрос: какой может быть траектория этого шарика?

Для изучения свойств отражения бильярдного шара на столах различной формы удобно использовать компьютерную модель бильярда, в которой, задавая различные начальные параметры стола и шарика, можно проследить за движением шарика. Maple – одна из самых мощных и интеллектуальных систем компьютерной алгебры. Этот пакет имеет богатые возможности графической визуализации решений, что способствует эффективному обучению математики от самых ее основ до вершин. Используя программу «Математический бильярд на плоскости», проведем исследования закономерностей движения бильярдного шара.

Цель данной исследовательской работы заключается в следующем:

составить обзор по теории бильярдов;
изучить свойства бильярдов, используя программу, моделирующую бильярд на плоскости.

Теория математического бильярда

Наверное, все имеют представление об игре в бильярд на прямоугольном столе с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. Более поздние сведения о появлении бильярда в Европе относятся к XVI веку.

В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Как правило, в бильярд играли на прямоугольном столе с шестью лузами, из которых четыре располагались в углах стола, а две – в серединах более длинных сторон; отличались эти игры лишь количеством шаров – иногда довольствовались тремя шарами, а иногда – пятнадцатью или двадцатью.

Известны различные варианты игры на бильярде. Например, так называемый французский бильярд вообще не имеет луз (при игре во французский бильярд нужно попасть в заданный шар после нескольких столкновений с другими шарами). Французский бильярд и послужил прообразом математического бильярда.

Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу движется шар, отражаясь от бортов (рис. 1). Шар движется без трения, то есть не останавливается. Линия, вдоль которой двигается шарик, называется траекторией. Математическая проблема бильярда состоит в том, чтобы найти ответ на вопрос: какой может быть траектория этого шарика?

Траектория бильярда определяется начальным положением точки шарика и начальным направлением его движения. Направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Это происходит по закону отражения: после удара шара о борт, шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения» (рис. 2). Если борт в окрестности точки столкновения криволинейный, то углы падения и отражения – это углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной к кривой, проведенной в точке столкновения (рис. 3). Таким образом, траектория бильярда – это вписанная в кривую ломаная, которая может быть построена по своему начальному звену.

Борт бильярда может иметь и точки излома – углы. Мы будем считать бильярдную траекторию, попадающую в такую точку, оканчивающейся в ней – «тупиковая» траектория.

Общая математическая проблема бильярда заключается в том, чтобы описать возможные типы бильярдных траекторий в данной области. Простейший принцип такого описания – разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные – непериодические. Траектория будет периодической, если через некоторое время, называемое периодом, шарик возвращается в свое начальное положение. Периодические движения воспринимаются как наиболее «правильные» – такими мы привыкли представлять, например, движения планет около Солнца и качания маятника. На рис. 4 изображены некоторые периодические траектории бильярдов в прямоугольнике, в правильном треугольнике, в круге.

Исследование свойств математического бильярда

Для исследования свойств математического бильярд удобно воспользоваться системой компьютерного моделирования (СКМ) Maple. Система имеет обширный функционал для решения различных математических задач и представления результатов вычислений в удобной и наглядной форме. При изучении бильярда на столах различной формы можно использовать специально написанную программу в Maple «Математический бильярд на плоскости» (рис.5), которая позволяет моделировать движение бильярдного шара в круге, эллипсах, правильных и произвольных многоугольниках, стадионе (рис. 6).

Компьютерная модель бильярдного стола позволяет наглядно продемонстрировать закон отражения. Изменяя положение начальной точки шарика и направления его движения в программе, можно менять угол падения шарика на бортик стола. При этом видно, что угол отражения тоже меняется, но остается всегда равным углу падения.

Подбирая начальные параметры бильярда, было проверено наличие периодических траекторий в круге, квадрате, прямоугольнике, треугольнике.

Было исследовано отражение шарика внутри круга: нашли периодические траектории; узнали, как близко может подойти к центру круга траектория шарика; нашли, в каких частях круга побывает шарик, двигаясь по одной из непериодических траекторий. Аналогично исследовали закономерности движения шарика внутри прямоугольника и треугольника.

Заключение

Таким образом, в настоящей исследовательской работе:

рассмотрены общие сведения по теории бильярдов;
изучены свойства геометрических бильярдов: в круге, эллипсе, правильных и произвольных многоугольниках;
изучены основные возможности СКМ Maple по моделированию и визуализации математических бильярдов:
исследован закон отражения о прямых и кривых линий;
найдены периодические траектории бильярдного шара на столах круглой, прямоугольной, треугольной формах.

Итак, задачи, поставленные в работе, выполнены полностью.

Список используемой литературы

Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики) — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,- 1990.- 288 с.- (Библиотечка «Квант» Вып. 77).
Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями, Успехи матем. науку XXV, вып. 2 (152) (1970), 141—192.
Борахвостов В. Бильярд // Наука и жизнь,- 1966.- № 2-4.-6.- c.11.
Гальперин Г.А. Бильярд // Квант,- 1981.- № 4.
Гальперин Г.А., Степин А.М. Периодические движения бильярдного шара // Квант,- 1989.- № 3.
Агафонова К.О., Агафонов А.А., Сушков С.В. Компьютерная математическая лаборатория: визуализация математического бильярда // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XIV Международной научной конференции, посвященной 90-летию профессора М.Б. Балка. – Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2013. – Вып. 14. – с. 183-185.
Агафонова К.О., Агафонов А.А., Сушков С.В. Компьютерная математическая лаборатория: визуализация математического бильярда // Труды Российской летней школы «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики» (ММСКМ-4) и Российского семинара «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии» 21 — 26 октября 2013, Казань. / Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РТ, доктора физ.-мат. наук, проф. Ю.Г. Игнатьева — Казань: Казанский университет, 2013. — с. 80-86.

Иллюстрации

Рис.1

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Математический бильярд

AMS :: Математические моменты №160: Изучение термодинамики с помощью бильярда

AMS :: Математические моменты №160: Изучение термодинамики с помощью бильярда Перейти к основному содержанию

Просмотр математических моментов

Если вы когда-либо играли в бильярд или пул, вы использовали свою интуицию и некоторую мысленную геометрию для планирования ударов. Математики пошли еще дальше, используя эти игры как источник вдохновения для новых математических задач. Начиная с простой теоретической установки одиночного мяча, прыгающего в замкнутом пространстве, возможности безграничны. Например, если область имеет форму стадиона (прямоугольник с полукругами на противоположных сторонах) и несколько шаров начинают двигаться с почти одинаковой скоростью и в одном положении, их траектории в области вскоре резко различаются — хаос. Математический бильярд даже связан с термодинамикой — разделом физики, изучающим тепло, температуру и передачу энергии.

Типичные модели предполагают, что мяч отскакивает от стен с той же скоростью и под тем же углом, под которым он ударяется о них. Но в последние годы математики добавили в смесь элемент случайности. Случайное определение угла отражения после каждого столкновения — это способ моделирования микроскопических каналов с неровными краями. А наличие «горячих» (или «холодных») стенок, которые имеют тенденцию ускорять (или замедлять) мяч, открывает новый взгляд на важные концепции термодинамики. Одним из них является «стрела времени»: микроскопические процессы, которые можно отменить, приводят к процессам человеческого масштаба, которые нельзя отменить. Хотя большинство случайных моделей бильярда намного проще, чем любая ситуация в реальном мире, они являются ступенькой на пути к достижениям в крошечных технологиях, даже если они не помогут вам сделать хитрый удар в следующий раз, когда вы играете в бильярд.

Тим Чамли

Колледж Маунт-Холиок

Изучение термодинамики с помощью бильярда (PDF)

Бильярд и термодинамика (PDF)

Термодинамика и бильярд (PDF)

Тим Чамли объясняет математику случайных бильярдных моделей и их связь с термодинамикой.

Скачать аудио интервью

Для получения дополнительной информации:

«От бильярда к термодинамике», Т. Чамли, С. Кук, Р. Ферес, Компьютеры и математика с приложениями 65 (10), стр. 20 (10), стр. 20. 1596-1613 гг.
Chaotic Billiards , Н. Чернов и Р. Маркарян, Математические обзоры и монографии , Американское математическое общество, 2006.
«Как использовать математику, чтобы поднять свою игру в бильярд на ступеньку выше», С. Уэллс, 9 лет.0044 Popular Mechanics , 16 августа 2021 г.

Американское математическое общество · 201 Charles Street Providence, Род-Айленд 02904-2213 · Свяжитесь с нами

AMS, Американское математическое общество, трехцветный логотип AMS и Advancing research, Making Connections, являются товарными знаками и знаками обслуживания Американского математического общества и зарегистрированы в Бюро по патентам и товарным знакам США.

Арифметический бильярд | plus.

maths.org

Математический бильярд — это идеализация того, что мы опыт игры за обычным бильярдным столом. В математическом бильярде шар прыгает по тем же правилам, что и в обычном бильярде, но у него нет массы, а значит, нет и трения. Также нет никаких карманы, которые могут проглотить мяч. Это означает, что мяч будет бесконечно много раз отскакивать от стенок бильярдного стола и продолжать движение бесконечно.

Одним из захватывающих аспектов математического бильярда является то, что он дает использовать геометрический метод для определения наименьшего общего кратного и наибольший общий делитель двух натуральных чисел. Посмотрите на анимацию Geogebra ниже (кнопка воспроизведения находится в левом нижнем углу) и попытаться выяснить, как работает конструкция. Если вы хотите снова воспроизвести анимацию, дважды щелкните кнопку обновления в правом верхнем углу. В данном случае два натуральных числа 40 и 15. Наименьшее общее кратное 40 и 15 равно 120, а наибольший общий делитель равен 5,

Основы

Вот основная идея. Предположим, что нам даны два положительных целых числа и , ни одно из которых не кратно другому (случай, когда одно кратно другому, прост и предоставляется читателю). Для бильярдного стола возьмем прямоугольник, стороны которого имеют длины и . Мы стреляем в бильярдный шар из одного угла (нижний левый на рисунке выше), образуя угол 45 градусов с боковыми сторонами. Бильярдный шар отскакивает от сторон прямоугольника. Он не теряет скорости и, по закону отражения, отражается под углом 45 градусов каждый раз, когда встречается с какой-либо стороной (таким образом, путь делает только левый или правый 90 градусов поворотов). Путь бильярдного шара состоит из отрезков.

Мы утверждаем, что мяч в конце концов попадает в угол и что наименьшее общее кратное числа и есть длина пути, который мяч прошел до попадания в угол, деленная на . Если вы разложите бильярдный стол на единичных квадрата (квадратов со стороной один), наименьшее общее кратное будет равно количеству единичных квадратов, которые пересекает путь.

Мы также утверждаем, что путь пересекает сам себя. Первый сегмент пути содержит ближайшую к начальной точке точку самопересечения. наибольший общий делитель двух заданных чисел, как мы утверждаем, есть расстояние от начальной точки до ближайшей точки самопересечения, деленное на . Он также равен количеству единичных квадратов, пересекаемых отрезком пути от начальной точки до первой точки самопересечения.

Зеркальный бильярд

Глядя на предмет в зеркало, у вас создается впечатление, что предмет за зеркалом. Обратите внимание, что три точки выровнены: точка отметив свое положение, точку на зеркале, где вы видите отражение предмета и (воображаемая) точка за зеркалом, где, по вашему мнению, находится объект. Чтобы доказать наши утверждения выше, мы собираемся использовать эту простую идею, зеркало — это одна сторона бильярда стол.

наименьшее общее кратное и , записанное как , является наименьшим натуральным числом, кратным обоим и . Мы можем написать это как для некоторых положительных целых чисел и . Например, если и , то и можно записать как

В этом случае и .

Имея два числа и , ни одно из которых не кратно другому, начните с формирования квадрата со стороной длины . Обратите внимание, что это можно разложить на прямоугольники со сторонами длины и . Это потому, что вписывается в общее количество раз и вписывается в общее количество раз. Потому что это наименьшее общее кратное и наш квадрат является наименьшим квадратом, который можно замостить прямоугольниками со сторонами длин и таким образом. Мы назовем нижний левый из этих прямоугольников и верхний правый.

В этом примере a = 4 и b = 6. Их наименьшее общее кратное равно 3×4=2×6=12, поэтому длина стороны квадрата равна 12. Он состоит из 3×2=6 прямоугольников.

Теперь нарисуйте диагональ квадрата, которая начинается в нижнем левом углу и заканчивается в верхнем правом углу.

Теперь мы создадим зигзагообразный путь, который полностью лежит внутри нижнего левого прямоугольника, используя повторное отражение. Этот путь окажется путем арифметического бильярдного шара, движущегося внутри прямоугольника.

Начнем с верхнего правого квадрата и отразим его на стороне, пересекаемой диагональю , которую он разделяет с соседним прямоугольником (прямоугольник внизу в нашем примере). Напишем для этого прямоугольника.

Отражающий квадрат S в своей нижней части отражает часть диагонали в прямоугольник под S .

Теперь подумайте о другой стороне, которую пересекает (в нашем примере это левая сторона), а не о той, которая вернет нас к .

Отражение S ‘ в его левой части.

Продолжайте в том же духе, отражая прямоугольники через стороны, пересекаемые , пока не дойдете до нижнего левого прямоугольника . Повторяющиеся отражения превращают диагональ в зигзагообразный путь.

В результате последнего отражения путь t полностью содержится в прямоугольнике R .

Путь точно соответствует пути мяча, брошенного из нижнего левого угла под углом 45 градусов к сторонам . Вы можете убедиться в этом, используя анимацию ниже.

Чтобы доказать, что это действительно так, вспомним, что мяч будет поворачиваться на 90 градусов всякий раз, когда попадает в сторону . Довольно легко увидеть, что путь делает то же самое. Это лучше всего объяснить с помощью рисунка:

Путь t делает поворот на 90 градусов, когда встречается со стороной R .

Наш путь заканчивается в точке, которая возникает в результате многократного отражения правого верхнего угла в сторонах прямоугольников, поэтому конечная точка является углом .

Теперь длина равна длине диагонали . Длина диагонали любого квадрата умножается на длину его стороны (это следует из теоремы Пифагора). Поэтому

где обозначает длину . Переставляя, мы имеем это

именно это мы и пытались доказать.

Наш метод отлично работал для нашего примера, но можем ли мы быть уверены, что он работает для общих значений и (которые не кратны друг другу)? Единственное, что может пойти не так, это то, что диагональ квадрата пересекается с углом прямоугольника, лежащего внутри квадрата. Если бы это было так, мы бы не знали, в какую из двух сторон, сходящихся в углу, отражаться.

Мы покажем, что этого не может быть. Довольно легко убедиться, что любая точка на диагонали определяет квадрат: просто проведите линию вертикально вниз, пока не достигнете нижнего края исходного квадрата, и проведите горизонтальную линию влево, пока не достигнете левого края исходного квадрата. оригинальный квадрат.

Любая точка на диагонали квадрата определяет меньший квадрат.

Если бы такая точка была еще и углом одного из прямоугольников, то наш маленький квадрат был бы замощен прямоугольниками со сторонами длин и . Но это невозможно: как мы отмечали выше, квадрат со стороной — наименьший квадрат, который можно замостить таким образом.

Мы показали, что это равно длине пути, деленной на . Перейдем к единичным квадратам.

Единичные квадраты, пересекаемые путем

Чтобы подсчитать количество единичных квадратов (квадратов со сторонами длиной ), пересекаемых путем, мы снабжаем наш прямоугольник системой координат. Вертикальная ось проходит по левой вертикальной стороне , а горизонтальная ось проходит по нижней стороне . Координаты углов единичных квадратов — целые числа.

Прямоугольник R с его системами координат. Координаты углов единичных квадратов, лежащих на t , показаны красным цветом.

Понятно, что если пересекает единичный квадрат, то по диагонали. Можно также убедиться, что если угол любого единичного квадрата лежит на , то его координаты в сумме должны давать четное число. Любой единичный квадрат имеет только два угла, координаты которых в сумме дают четное число, и они расположены по диагонали друг против друга. Следовательно, можно пройти только по одной из двух диагоналей единичного квадрата.

Мы оставляем на ваше усмотрение показать, что диагональ единичного квадрата никогда не проходит дважды ни в одном, ни в противоположном направлении. Вам нужно будет показать, что конечная точка отличается от начальной точки. Для этого обратите внимание, что по крайней мере один из или должен быть нечетным, и что конечная точка исходит от многократного отражения правого верхнего угла прямоугольника.

Теперь мы знаем, что никогда не пересекает единичный квадрат более одного раза и всегда делает это по диагонали. Поскольку диагональ единичного квадрата имеет длину , количество пересекаемых ею квадратов равно 9.0005

, как мы утверждали выше.

Наибольший общий делитель

Мы утверждали, что наибольшим общим делителем и является расстояние от начальной точки до ближайшей точки самопересечения, деленное на . Он также равен количеству единичных квадратов, пересекаемых отрезком пути от начальной точки до первой точки самопересечения.

Предположим сначала, что . В этом случае наименьшее общее кратное и является произведением (посмотрите, сможете ли вы доказать это сами). Согласно нашему предыдущему результату, количество единичных квадратов, пересекаемых нашим путем, также равно . Так как стороны прямоугольника имеют длины и , всего есть единичные квадраты. А поскольку путь не пересекает ни одну единичную клетку более одного раза, в этом случае он должен пересечь все единичные клетки.

В этом примере a =3 и b =8. Наибольший общий делитель равен 1, а наименьшее общее кратное равно 24.

Мы уже знаем, что углы единичных квадратов, лежащие на всех, имеют координаты, дающие в сумме четное число. И наоборот, тот факт, что каждый единичный квадрат пересекается, означает, что каждая точка с координатами, дающими в сумме четное число, лежит на .

Это означает, что точки с координатами и все лежат на . Это может произойти только в том случае, если является точкой самопересечения .

Таким образом, точка является точкой, в которой пересекается сама с собой, и это точка, ближайшая к вдоль . Расстояние от до вдоль равно . Разделите это на и вы получите , наибольший общий делитель и (по нашему предположению выше). Количество единичных квадратов, пересекаемых на пути из в вдоль, также равно . Это доказывает наше первоначальное утверждение для случая, когда .

Если , то мы можем масштабировать всю фигуру на коэффициент : разделив и на их наибольший общий делитель, мы получим два положительных целых числа, наибольший общий делитель которых равен . Мы можем повторить построение сверху для этих двух целых чисел, а затем масштабировать изображение, умножая каждую ось в нашей системе координат на . Тогда единичные квадраты становятся квадратами со стороной . Все геометрические свойства, не связанные с длиной (форма пути, в какой угол приземляется бильярдный шар и т. д.), не затрагиваются изменением масштаба.