Свойства сложения и вычитания. Переместительное и сочетательное
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
Как в сказке черепаха перехитрила и обогнала зайца, так и мы можем схитрить и решить любое выражение быстрее с помощью упрощения. Для этого разберемся в свойствах сложения и вычитания.
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
- 2 — это первое слагаемое,
- 7 — это сумма.
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения в 1 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства сложения
|
При сложении нескольких чисел, их можно объединять в группы и переставлять в любом порядке. Например: a + b + с = (a + b) + c = a + (b + c).
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Рассмотрим пример 9 — 4 = 5, в котором:9 — это уменьшаемое,
4 — вычитаемое,
5 — разность.
При этом саму запись (9 — 4) тоже можно назвать разностью.
Свойства вычитания
|
На заметку!
Есть случаи, когда скобки не имеют значения при вычитании, и их можно опустить.
Например: (a — b) — c = a — b — c.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Скачать
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 6 + 5
б) 9 + 11 + 2
в) 30 + 0 + 13
Как решаем:
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 11) + 2 = 20 + 2 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
а) 25 — 0 — 2
б) 22 — 7 — 5
в) 55 — 55
Как решаем:
а) 25 — 0 — 2 = 25 — 2 = 23
б) 22 — 7 -5 = 22 — (7 + 5) = 22 — 12 = 10
в) 55 — 55 = 0
Пример 3
Найти значение выражения удобным способом:
а) 11 + 10 + 3 + 9
б) 16 — (6 + 5) + 7
в) 0 + 2 + 4 — 0
Как решаем:
а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 9) + (10 + 3) = 20 + 13 = 33
б) 16 — (6 + 5) + 7 = (16 — 6) — 5 + 7 = 10 — 5 + 7 = 5 + 7 = 12
в) 0 + 2 + 4 — 0 = 2 + 4 = 6
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
Свойства умножения и деления
К следующей статье
135.
8K
Задачи на пропорции
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Сложение и вычитание целых чисел
В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.
Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой.
Примеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой.
Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.
Рассмотрим следующее простейшее выражение
1 + 3
Значение данного выражения равно 4
1 + 3 = 4
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3
Значение данного выражения равно −2
1 − 3 = −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2.
На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
−2 + 4 = 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
−1 − 3 = −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой.
Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
−2 + 2 = 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её.
Можно воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе.
То есть ответ будет положительным:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1
Пример 3.
Найти значение выражения 3 − 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a − b = − (b − a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак, знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:
5 − 3 = 2
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам.
Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:
5 + (−3)
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем.
Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.
Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.
А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
(+3) − (+1)
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.
В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).
Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Дальнейшее вычисление не составит особого труда.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2.
На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.
У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:
(+3) − (+7)
Заменим вычитание сложением:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5
Приведём выражение к понятному виду:
(−4) − (+5)
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа.
Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Решение для данного примера можно записать покороче:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
или ещё короче:
−4 − 5 = −9
Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел.
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Решение данного примера можно записать покороче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
или ещё короче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Приведём выражение к понятному виду:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Второе действие:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Третье действие:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Четвёртое действие:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15
Примечание.
Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.
Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения:
−50 + 40
Решение
−50 + 40 = −10
Показать решение
Задание 2.
Найдите значение выражения:
25 + (−5)
Решение
25 + (−5) = 20
Показать решение
Задание 3. Найдите значение выражения:
−20 + 60
Решение
−20 + 60 = 40
Показать решение
Задание 4. Найдите значение выражения:
20 + (−8)
Решение
20 + (−8) = 12
Показать решение
Задание 5. Найдите значение выражения:
30 + (−50)
Решение
30 + (−50) = −20
Показать решение
Задание 6. Найдите значение выражения:
27 + (−19)
Решение
27 + (−19) = 8
Показать решение
Задание 7. Найдите значение выражения:
−17 + (−12) + (−8)
Решение
Показать решение
Задание 8. Найдите значение выражения:
−6 − 4
Решение
−6 − 4 = −6 + (−4) = −10
Показать решение
Задание 9. Найдите значение выражения:
−6 − (−4)
Решение
−6 − (−4) = −6 + 4 = −2
Показать решение
Задание 10. Найдите значение выражения:
−15 − (−15)
Решение
−15 − (−15) = −15 + 15 = 0
Показать решение
Задание 11.
−11 − (−14)
Решение
−11 − (−14) = −11 + 14 = 3
Показать решение
Задание 12. Найдите значение выражения:
−3 + 2 − (−1)
Решение
Показать решение
Задание 13. Найдите значение выражения:
−5 − 6 − 3
Решение
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Сложение и вычитание – Элементарная математика
Сложение и вычитание целых чисел можно развивать вместе , систематически, начиная с распознавания величин и комбинаций величин, 10-основной структуры языка и символов, представляющих целые числа, удобно методы мысленных вычислений, использующие 10-основную структуру, и, наконец, формальные алгоритмы сложения и вычитания.
Цель этого поста — помочь показать часть траектории по классам.
Распознавание количества пальцев
Пальцы — прекрасный материал для манипулирования. Они прикольные и всегда под рукой! Но помните, настоящая цель любого манипулятивного материала не в том, чтобы получить ответы; это создание в уме идей и образов, позволяющих ребенку получить эти ответы без манипулятивного материала .
Скопируй меня (для самых маленьких)
Двумя руками покажи некоторое количество пальцев. Попросите детей сделать такое же изображение своими руками. Вы также можете расширить это, когда дети находят первую игру слишком легкой, чтобы «показать то же количество пальцев, но по-другому! Дети будут весьма творчески подходить к составлению правильных комбинаций.
Назовите это число (для самых маленьких детей)
Назовите число от нуля до 10. Попросите детей показать это число пальцами. Например, если вы скажете «три», они могут показать
или
или любую другую комбинацию двух рук, которая показывает три пальца.
Детям дошкольного возраста может буквально понадобиться поддержка, чтобы держать свои ручки поднятыми и видимыми для других детей!
Сколько пальцев? (первый класс)
Двумя руками показать некоторое количество пальцев. Спросите детей, сколько они видят.
Сколько пальцев
не ты видишь? (первый и второй класс)Двумя руками покажите некоторое количество пальцев, показав тыльную сторону ладони вот так.
Спросите детей, сколько они видят. Затем спросите, сколько они не видят (те, что в сложенном виде).
Из класса
Ага! Момент: Мы работали над десятью кадрами по математике и пытались найти все комбинации до десяти. Это утомительный процесс, и мы играем в игру с первого дня в школе, которую предложил координатор элементарной математики Рассел Ларсон. Я поднимал пальцы и говорил: «Сколько ты видишь?» Я только недавно начал спрашивать: «Сколько ты не видишь?» Наконец-то я смог увидеть, как он щелкает! Они, наконец, понимают, что я имею в виду, когда говорю «6 и 4 — друзья!» Терпение и настойчивость решают все! — Учитель, PISD, Техас
«Подсчет» того, чего вы не видите
Большая часть элементарной арифметики — это система ярлыков для определения «Сколько» или «Сколько» без подсчета или измерения.
Когда все присутствуют, у нас в классе 25 человек, а сегодня только 22. Сколько отсутствует?
Мы не можем сосчитать отсутствующих людей, потому что мы их не видим. Учащиеся могут нарисовать картинку так, чтобы они могли ее увидеть, и использовать ее, чтобы понять проблему. Но мы также хотим, чтобы студенты научились решать проблему, не видя пропавших без вести.
В моем первом классе 23 ребенка, а в другом первом классе 24 ребенка. Сколько в обоих?
Опять же, если бы все дети стояли перед нами или если бы мы нарисовали изображение, мы могли бы их сосчитать. Но суть арифметики в том, что мы можем узнать, сколько их, не считая.
Создание мысленных картинок
Одна из частей помощи детям в подсчете того, чего они на самом деле не видят, заключается в том, чтобы помочь им «видеть» внутри своей головы: изображать предметы и расширять мысленное «пространство», в котором они могут работать.
Сколько окон в вашей комнате/квартире/доме?
Если вы попытаетесь решить эту задачу, вы, вероятно, прогуляетесь в уме и посчитаете! Есть много игр, которые помогают маленьким детям развивать свои способности создавать мысленные образы.
Вот три.
Что я увидел?
Подержите картинку в течение 15 секунд (или другого подходящего времени, достаточно долго, чтобы все увидели, и не так долго, чтобы вашим ученикам стало скучно). Это может быть большая фотография какой-то части комнаты или школы, или ребенка в классе, или это может быть известное произведение искусства.
Переверните картинку лицевой стороной вниз и попросите участников представить себе картинку и вспомнить как можно больше деталей.
Покажите, сколько
Поднимите две руки вверх, не показывая пальцев вообще, затем покажите количество пальцев (например, 7) примерно на одну секунду — достаточно долго, чтобы увидеть, но недостаточно долго, чтобы сосчитать, затем вернитесь к закрытому кулаки.
, затем
Затем попросите детей показать руками, сколько пальцев у вас было поднято. (7 в этом примере)
Считайте в уме — два способа игры
Пальцы
- Начните, как в «Покажи сколько», показывая определенное количество пальцев, достаточное для того, чтобы их можно было увидеть, но не считать.
- Затем спросите: «Сколько пальцев вы видели?»
Картинки
Создавайте изображения в виде массивов — вы можете нарисовать их или использовать цветные наклейки — с небольшим количеством объектов (до четырех или пяти) в каждом из трех рядов.
- Кратко показать картинку, достаточно долго, чтобы увидеть, но не сосчитать.
- Спросите: «Сколько точек (квадратов, звездочек, наклеек…) вы видели?»
или или или
Игра для детей младшего возраста
Отлично подходит для детского сада. Первоклассникам тоже нравится!
Соберите детей на полу, чтобы они могли видеть и быть рядом. В центре разложите два десятицентовика и пять пенни в ряд, вот так, чтобы все могли видеть.
- Сколько копеек? (Некоторые дети не будут знать, какие это монеты, или даже то, что они не все монеты, поэтому вы можете уточнить: «Эти медного цвета».)
- Сколько десятицентовиков? (Опять же, вам может понадобиться уточнить, какие десятицентовики. )
- Ой! Я забыл! Сколько копеек?
)
Это все для того, чтобы у детей была возможность наблюдать и считать, и еще раз наблюдать, прежде чем вы накроете несколько монет.
Теперь внезапно игриво лягте рукой на пол, закрывая две или три монеты с обоих концов.
- Кто-нибудь может сказать, сколько монет я спрятал?! ( Монеты могут быть для некоторых новым словом. Вы можете спросить: «Сколько копеек спрятано?» и «сколько спрятано центов ?»)
Пусть видят, проверяют. Затем сделайте это снова, возможно, на другом конце.
- Сколько монет сейчас спрятано?
Игриво меняйте то, что вы прикрываете, иногда закрывая один конец, иногда другой, иногда середину, иногда вообще ничего. Также игриво меняйте свой вопрос, иногда спрашивая о монетах, иногда только о десятицентовиках, или просто о копейках, а иногда даже о червях. (Никогда не покрывайте червей!)
Меняя вопрос и добавляя время от времени глупые вопросы (червяки!) побуждает детей не только смотреть, но и слушать.
Все о 10
Подумай о математике! закладывает прочную основу для сложения и вычитания, систематически помогая учащимся овладеть беглостью и автоматизмом с помощью
- складывать и разбивать 10 — зная «на холодную» пары счетных чисел, которые составляют десять: 1, 9; 2, 8; 3, 7; 4,6; и 5, 5
- сложение и вычитание 10, начиная с любого числа
- и использовать 10 в качестве приближения для ближайших чисел (от 8 до 12), чтобы они также могли складывать или вычитать эти числа.
Свободное владение этими навыками способствует умственным вычислениям, а также помогает учащимся приобретать другие факты и навыки сложения/вычитания.
Создание 10
Изучение 10 фактов «холодно», а затем их использование и расширение.
Сколько пальцев ты не видишь?
- Показывая тыльную сторону ладони, покажите на пальцах какое-нибудь число, например:
- Отобразить другой номер, как только учащиеся ответят.
Некоторые тонкости:
- Пока ученики еще «новички» в этой игре, когда вы показываете числа больше 5, всегда показывайте одну полную руку и остатки на другой руке.
Другими словами, а не - Начинающим часто легче понять, что два пальца невидимы, когда вы показываете 8, чем понять, что восемь пальцев невидимы, когда вы показываете 2. Время от времени чередуйте их один за другим, чтобы помочь им понять, что 2 и 8 являются парой, и то, что они видят одного из них, означает, что они не видят другого. Аналогично с 3 и 7, а также с 4 и 6.
- Несмотря на то, что вы иногда повторяете пары, чередуя отображаемые числа (как было только что описано), используйте достаточно разнообразия, чтобы игра была увлекательной.
Сколько точек ты не видишь?
- Подготовьте карточку 4×6 с двумя рядами по пять больших точек. Для этого хорошо подходят кодовые точки большого размера. Используйте один цвет, чтобы минимизировать отвлечение внимания (по крайней мере, при первом использовании).
- Закройте эту карточку разными способами, чтобы быстро ответить на вопрос «Сколько вы не видите?»
. . . . . . . . .
Пары до десяти: «Сколько ты не видишь?» игра с использованием только слов
- Ты отлично владеешь пальцами! У тебя отлично получается с точками! Можно ли это сделать только словами?!
- Назовите любое число от 0 до 10. Учащиеся отвечают «парой», которая составляет 10.
Например, если вы говорите 7, они говорят 3; если вы говорите 0, они говорят 10.
- Держите темп так живо, как может ваш класс.
Дополнительные баллы:
- Если вы делаете карточки с именами учеников, напечатанными достаточно крупным шрифтом, чтобы ученики могли их видеть, вы можете выбрать ученика, просто перевернув карточку. Таким образом, они смотрят, когда наступает их очередь, и слушают, чтобы услышать номер, который вы называете. Говорите только число, никаких других слов.
- Время от времени возвращайтесь к ученику, у которого уже была очередь, чтобы ученики оставались начеку.
Расширение «Пары до 10»
Вот несколько расширений для учащихся, которые стали быстрыми в «Парах до десяти»: Каждое из этих расширений использует навык, который уже развит у детей, а также помогает развить этот навык. тем более автоматический.
Сколько монет вы видите?
Это одно из первых расширений той же идеи.
Те же самые изображения, которые использовались для обучения пар 10, могут быть переработаны для работы с более высокими числами. Представьте, что пальцы или точки — это «пятаки».
- Сколько монет вы видите? Сколько копеек ты не видишь? Пока это точно такая же практика, как и раньше (и такая же, как если бы вы представляли пальцы или точки как яблоки, потому что вы просто считаете десять центов, не думая о том, сколько они стоят).
- Затем для детей, умеющих считать до 10, вы помогаете им узнать, сколько стоят три или четыре десятицентовика.
- Покажите три или четыре пальца, спросите «сколько десятицентовиков», как и раньше.
- «Кто-нибудь может сказать, сколько это денег?» Иногда дети — даже те, кто умеет считать, — не понимают, что был задан другой вопрос, поэтому вам, возможно, придется считать на пальцах «десять центов, двадцать центов, тридцать центов…», чтобы пояснить, что вы имеете в виду.
- Показать другое количество пальцев (например, 7). Сначала спросите: «Сколько десятицентовиков?» Дети, только что увидев (в предыдущем примере), что вы спрашиваете о деньгах, могут вместо «7» ответить «70». Если да, подтвердите, на какой вопрос они ответили правильно, и что это говорит вам о том, что они также знают ответ на заданный вами вопрос, а именно «сколько десяти центов», а не «сколько денег».
- Нерегулярно переключайтесь между «сколько десятицентовиков» и «сколько денег», чтобы дети научились замечать, что это два разных вопроса, и что им нужно обращать внимание на то, какой из них вы задали.
- Покажите три или четыре пальца, спросите «сколько десятицентовиков», как и раньше.
- Когда они будут уверены в этом, добавьте еще два вопроса: «Сколько десятицентовиков вы не видите?» и «сколько денег вы не видите?»
Разнообразие вопросов также оживляет игру.
Детям становится так же комфортно с 60 + 40, как и с 6 + 4, но они должны внимательно следить за тем, какой из четырех вопросов был задан. Тот факт, что это сложно, может стать хорошим поводом для смеха как у детей, так и у взрослых.
- Наконец, отбросьте визуальные подсказки. Объявите, что всего десять десятицентовиков, и вы скажете, сколько десятицентовиков они видят или сколько денег они видят, и они скажут вам, чего не хватает.
Параллель между этими сотнями фактов и десятками фактов также создает (без каких-либо объяснений) сильное ощущение упорядоченности того, как мы пишем и называем числа.
Наряду с расширением навыков детей для работы с большими числами, это дополнительно отрабатывает тот же набор основных пар, делая их еще более автоматическими. Важно включить «десять центов» и «ноль центов» вместе с «100 центами» и «ноль центов» и, в какой-то момент, уточнить, когда они соединяют 40 с 60, они составляют пары, которые в сумме дают 100. Дети быстро учатся складывать числа, кратные 10, что дает 100.
Заработаем тысячу!
Для многих детей на этом этапе совсем не сложно сделать следующий шаг до 1000 (например, 300 + 700), и все же они чувствуют себя гордыми и умными, работая с такими большими числами! Используя те же изображения, вы можете спросить: «Сколько сотен вы видите?» — Сколько сотен ты не видишь? Игра та же, но теперь говорят, что «три сотни» плюс «семь сотен» составляют тысячу (или, с тем же успехом, говорят, «десять сотен». число «триста», но вам, вероятно, не нужно будет даже говорить это. По мере того, как дети становятся экспертами в этом, они также создают основу для того, чтобы быть способными решать гораздо более сложные задачи в уме.
Расширение «Пары-десять» до пар до 20 или 30
Другой способ расширения состоит в том, чтобы составить пары до 20. Учащиеся по-прежнему используют знакомые пары: 2 с 8; 6 с 4 и так далее, но они также должны следить за тем, нужны ли им еще 10. Это помогает, если учащиеся уже умеют прибавлять 10 к любому числу (см.
ниже).
- Часто полезно и весело начинать с конкретного изображения двух наборов рук — двадцать пальцев — и несколько опущенных пальцев.
- Пригласите двоих детей на демонстрацию. Объясните классу, что вы будете шептать двум демонстрантам, сколько пальцев опустить, и задавать классу обычные вопросы: сколько пальцев видно или сколько пальцев спрятано.
- Какое бы число вы ни хотели, чтобы два ребенка «спрятали», убедитесь, что пальцы одного ребенка либо все открыты, либо все спрятаны, чтобы класс никогда не пытался складывать числа, отличные от 10, и числа меньше 10. (Например, если вы хотите, чтобы 14 пальцев были опущены, пусть два демонстранта спрячут 10 и 4, а не 7 и 7 или какую-либо другую комбинацию.)
- Варьируйте свои вопросы, убедившись, что вы спрашиваете как о том, сколько пальцев видит класс, так и о том, сколько он не видит, и что вы задаете оба типа вопросов, когда дети прячут число меньше 10, а также когда они прячут число больше 10.
- Затем играйте без пальцев, просто называя число от 0 до 20.
- Вы можете предложить одному учащемуся выбрать число от 0 до 20. Затем выберите другого учащегося, который даст свою пару. Это позволяет дифференцировать обучение, в то время как все дети участвуют в одной и той же деятельности.
- Когда дети действительно хорошо справятся с этим, попробуйте ту же идею с парами, чтобы сделать 30. Скорее всего, вам не придется повторять демонстрацию пальцев. Детям может понравиться возможность более позднего расширения до 40 или 50.
Расширение «Пары до десяти» для использования половинок
- Начните с целых чисел, как обычно: 8, 2; 3, 7; 7, 3; 6, 4; и так далее.
- После того, как класс спокойно сделает знакомое дело, после 6 (на что они отвечают 4) 6 с половиной. Студенты, скорее всего, поначалу неправильно ответят «четыре с половиной», но они также могут поймать свою собственную ошибку, если дать ей время подумать, и ответить «нет! три с половиной!»
Второклассники к концу года, вероятно, смогут научиться делать это хорошо.
Несмотря на то, что эта игра имеет дело только с маленькими числами (10 и меньше) и использует дроби, она является отличной подготовкой к умственному сложению и вычитанию двузначных чисел и в целом легче для детей, чем соответствующее задание с двумя цифрами (после того, как они услышат 60 и ответив 40, получится 100, услышав 65 и ответив 35).
Сложение и вычитание 10
Этот раздел пересматривается с добавлением нового содержания. Оригинальное содержание этого раздела см. в разделе «Язык и математика».
Английский, как и большинство других языков, называет числа таким образом, чтобы было легко (в большинстве случаев) прибавлять или вычитать десять «в рифму». ” узор после этого просто рифмуется: двадцать два, тридцать два, сорок два, пятьдесят два… В общем, в английском языке до 20 все немного запутано, но потом красиво убирается. Использование этого факта для детей — не «уловка»: в конце концов, присвоение имени было осознанным выбором!
Игра «Цепочка 10»
- Один человек называет число от 1 до 100 (например, 43), а другой называет следующие (или предыдущие) числа, считая до 10, пока они не станут больше 140 или меньше нуля (например, 43). , 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, 123, 133 или, если игра идет назад, 33, 23, 13, 3).
, 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, 123, 133 или, если игра идет назад, 33, 23, 13, 3).↑ Некоторые языки, такие как японский и венгерский, более регулярны; некоторые, такие как французский и датский, менее регулярны.
Приблизительно 10
В разработке: использование пар, составляющих 10, для облегчения вычислений с числами 8, 9, 11, 12, 80, 90 и т. д.
Пальцы и факты от 11 до 20 или «Остатки», задание для второго класса
Позовите двух детей и попросите одного поднять 6 пальцев, а другого — 8. Вот как это может выглядеть, если они покажут классу тыльные стороны ладоней.
. . . .
Затем вы игриво набрасываетесь на две пятерки, собираете их у себя и спрашиваете класс в быстрой последовательности.
- Сколько у меня есть? (10)
- Сколько осталось? (4)
- Сколько всего? (14)
Повторите с другими парами детей, используя каждый раз разные пары чисел от 5 до 10.
Детям это нравится, и все они захотят попробовать.
Те, кто демонстрирует, чувствуют себя почти обнятыми, когда вы набрасываетесь на две пятерки и слегка сближаете их. Весь класс учится видеть «остатки» — превышение над 5 — как полезный способ смотреть на числа от 6 до 9..
Требуется большое количество важных арифметических знаний и практики. Только для того, чтобы поднять восемь пальцев, ребенок должен либо сосчитать, либо знать какой-нибудь факт, который помогает (5 + 3, 4 + 4 или, может быть, даже 10 — 8). Чтобы понять набросок учителя, ребенок практикует идею о том, что две пригоршни составляют 10. Ребенок должен уметь считать или складывать остатки (1 + 3) и должен знать, к чему приводит прибавление 10 (две пригоршни). на другое число меньше 10 (остатки).
Что делать, если ребенок использует комбинацию, в которой нет 5? Например, что, если вы попросите 6 и 8, а получите 9?0023 . . . .
Вы все еще можете играть. Вы можете, например, взять 3 и 4 и спросить
- Сколько у меня есть? (7)
- Сколько осталось? (7)
- Хммм. .. Итак, 7 и 7 это то же самое, что 6 и 8! (Кстати, сколько будет 7+7?)
.. Итак, 7 и 7 это то же самое, что 6 и 8! (Кстати, сколько будет 7+7?)Но цель игры состоит в том, чтобы попрактиковаться в том, как сделать 10 и добавить остатки. Так и скажем,
С этого момента мы будем показывать как можно больше пальцев на одной руке, а потом что еще нужно на другой руке.
Сложение двумя руками
Сложение двумя руками с невидимыми пальцами, занятие для второго класса
Позовите одного ребенка. Игриво попросите ребенка показать 8 пальцев на одной руке. Конечно, это невозможно, так что, с недоумением или удивлением, скажем…
- ОК, ну покажи сколько сможешь!
- Отлично!
А теперь, игриво, к классу…
- Отлично! Она выставила восьмизначную сумму! Вы их все видите? Нет?! Ну, сколько ты видишь? (5)
- Верно! Остальные пальцы невидимы ! Сколько невидимых пальцев у Ширы? (3)
- Хорошо, Шира. На другой руке поднимите, пожалуйста, 7 пальцев!
Дети часто так быстро «понимают» глупую игру, но при необходимости снова помогите, сказав: «Покажи как можно больше».
- Итак, класс, Шира подняла 8 пальцев на этой руке и 7 пальцев на другой руке.
- Посмотрим… Сколько невидимых пальцев на этой руке? (3)
- А сколько невидимых пальцев на этой руке? (2)
- Хм… Много невидимых пальцев!
Пока не спрашивая, сколько всего невидимых пальцев, вы «продлеваете» время, в течение которого дети держат это в голове.
- Сколько видимых пальцев у Ширы? (10)
- А сколько невидимых ? (5)
- Так сколько всего вместе? (15)
- Да! Пятнадцать пальцев: восемь здесь и семь там!
Многим детям нравится, когда их меняют, и это дает классу много практики по отслеживанию в уме невидимых пальцев.
Вычитание сложением (метод дополнений)
(также называется методом дополнений)
Здесь мы видим, как выполнять вычитание с помощью сложения!
(Я не рекомендую это для обычной работы с вычитанием, но это все же правильный и интересный способ вычитания. В некоторых случаях он может сэкономить время.)
Шаги
Выполните следующие шаги:
- возьмите « дополнение » числа, которое мы вычитаем (мы скоро увидим)
- прибавьте к числу, которое мы вычитаем из
- отбросить лишнюю «1» слева
Дополнение
«Дополнение» — это число , к которому нужно добавить , чтобы получить 10 (или 100, 1000 и т. д., в зависимости от того, сколько цифр у нас есть)
Пример Дополнение числа 3 равно 7 , потому что 3+7=10 (мы прибавляем к 7 , чтобы получить 10)
Пример: дополнение числа 85 равно 15 , потому что 85+15=100
Пример: дополнение числа 111 равно 889 , потому что 111+889=1000
Вычисление дополнения
Дополнение легко найти!
Основная идея состоит в том, чтобы найти разницы между каждой цифрой и 9 . Это приведет нас к «999…», поэтому нам нужно всего лишь добавить 1, чтобы получилось «1000. ..»
На практике легко следовать этому методу:
- Начните с позиции «единицы»
- Пропустить любые нули
- Тогда:
| Для первой цифры , отличной от нуля: | найти, что делает его 10 | |
| Для все остальные цифры : | найти, что делает его 9 |
Вот два примера:
(Вы можете проверить, работает ли это, добавив число и его дополнение, например,
372+628=1000 ) » или «что прибавляется к 9» становится автоматическим, и получение дополнения становится быстрым и легким.
Вот еще один пример, где мы должны пропустить некоторые нули:
Пример: Каково дополнение 1700 ?
- Пропустить два нуля
- Дополнение «10» к 7 равно 3 ,
- Дополнение «9» к 1 равно 8 ,
Итак, ответ:
8300
(Проверьте: 1700+8300 = 10000 )
Теперь добавьте их!
Теперь добавьте два числа (используя сложение столбцов), но не забудьте отбросить лишнюю «1» слева.