Пентамино фигуры: Пентамино

Содержание

Пентамино — это… Что такое Пентамино?

Пентамино́ (от др.-греч. πέντα пять, и домино) — полимино из пяти одинаковых квадратов, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»). Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры требуется укладывать в прямоугольник или другие формы.

Виды и количество фигур

Всего существуют 12 различных фигур (элементов) пентамино, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают (см. рисунок). Считается, что зеркальная симметрия и вращательная симметрия не создают новых фигур. Но если считать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации «Тетриса» — «Пентиксе».

Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.

Z может быть ориентирована 4 способами: 2 — поворотами, 2 — зеркальными отображениями.
T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.
I может быть ориентирована поворотами 2 способами.
X может быть ориентирована единственным способом.

Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.

Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, P, N и Y:

Составление фигур из пентамино

Укладка прямоугольников

Прямоугольники, составленные из пентамино

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Каждую из этих головоломок можно решить вручную, но более сложной задачей является подсчёт общего числа возможных решений в каждом случае. (Очевидно, прямоугольники 2×30 и 1×60 составить из пентамино невозможно, поскольку многие фигуры в них просто не помещаются по ширине.)

Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер ^[1]. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения; для прямоугольника 3×20, приведённого на рисунке, второе решение можно получить поворотом блока из 7 фигур, или, иначе говоря, если поменять местами четыре фигуры, крайние слева, и одну крайнюю справа).

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.

Укладка прямоугольников из односторонних пентамино

Если дополнить набор пентамино зеркальными копиями фигур, не совпадающих со своими отражениями (F, L, P, N, Y и Z), то из полного набора в 18 односторонних пентамино можно сложить прямоугольники площадью 90 единичных квадратов (при этом фигуры не разрешается переворачивать). Задача о составлении прямоугольника 3×30 имеет 46 решений, 5×18 — более 600 тыс. решений, 6×15 — более 2 млн. решений и 9×10 — более 10 млн. решений

[2]

Укладка фигур с отверстиями

В какой-то степени более простую (более симметричную) задачу, для квадрата 8×8 с отверстием в центре 2×2, решил еще в 1958 году Дана Скотт^[3] (аспирант-математик Принстона). Для этого случая существует 65 решений. Алгоритм Скотта был одним из первых применений компьютерной программы поиска с возвратом.

Квадраты с отверстиями, составленные из пентамино Квадраты с отверстиями, которые нельзя составить из пентамино

Другой вариант этой головоломки — выкладывание квадрата 8×8 с 4 отверстиями в произвольно заданных местах. Большинство таких задач имеют решение. Исключением являются случаи с размещением двух пар отверстий вблизи двух углов доски так, чтобы в каждый угол можно было поместить только P-пентамино, или всех четырёх отверстий вблизи одного угла так, что при любом возможном заполнении угловой клетки (с помощью U- или T-пентамино) от доски отсекается ещё одна клетка (см. рисунок).

Для решения этих задач эффективные алгоритмы описал, например, Дональд Кнут^[4]. На современном компьютере подобные головоломки решаются за считанные секунды.

Задача об утроении фигур пентамино

Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р).^[2] Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино.

[5]

Представленное на рисунке решение^[6], найденное А.ван де Ветерингом, обладает интересным свойством: каждое пентамино используется для утроения девяти из остальных, по одному разу в каждой. Таким образом, из 9 комплектов исходных фигур пентамино можно одновременно сложить все 12 утроенных пентамино.

Настольная игра

Пентамино может использоваться также как настольная игра для двух игроков.^[7] Для игры необходима шахматная доска 8×8 и набор фигур пентамино, клетки которых имеют одинаковый размер с клетками доски. В начале игры доска пуста. Игроки поочерёдно выставляют на доску по одной фигуре, закрывая 5 свободных клеток доски. Все выставленные фигуры остаются на месте до конца партии (не снимаются с доски и не передвигаются). Проигравшим считается игрок, который первым не сможет сделать хода (либо из-за того, что ни одна из оставшихся фигур не умещается на свободных участках доски, либо потому, что все 12 фигур уже выставлены на доску).

Анализ игры достаточно сложен (так, в начале имеется даже больше возможных первых ходов, чем в шахматах). Голомб предложил следующую стратегию: стремиться разбить свободное место на доске на два равновеликих участка (и помешать сопернику сделать это). После этого на каждый ход соперника на одном из участков следует отвечать ходом на другом.

Пример партии в пентамино показан на рисунке. Нумерация ходов сквозная (нечётные номера ходов принадлежат первому игроку, чётные — второму). Первоначально игроки делают ходы в центре доски (ходы 1–3), не позволяя друг другу разбить доску на равновеликие участки. Но затем второй игрок делает неудачный ход (4), позволяющий сопернику разбить свободное место на два участка по 16 клеток (ход 5). (В этом примере свободные участки не только равны по площади, но и совпадают по форме — симметричны относительно диагонали доски, но для стратегии это, разумеется, не обязательно.) Далее на ход второго игрока (6) на одном из этих участков первый игрок отвечает ходом на другом (7) и выигрывает. Хотя на доске ещё есть три свободных участка в пять и более клеток, но все подходящие фигуры (I, P, U) уже использованы.

Варианты настольной игры

Пентамино с заранее выбранными фигурами

В этом варианте игры игроки сначала по очереди выбирают по одной фигуре, пока все фигуры не будут распределены между ними. Далее игра проходит по правилам обычного пентамино, с той разницей, что каждому из игроков разрешается ходить только теми фигурами, которые он выбрал. Взявший последнюю фигуру делает первый ход.

Стратегия этого варианта игры, предложенная Голомбом, существенно отличается от стратегии обычного пентамино. Вместо того, чтобы разбить доску на равновеликие участки, игрок стремится создать на доске участки, которые можно заполнить лишь его фигурами, но не фигурами соперника. (Голомб называет такие участки «убежищами».)

Пример партии в пентамино с заранее выбранными фигурами показан на рисунке. Фигуры, выбранные первым и вторым игроками, перечислены слева и справа от доски соответственно. Зачёркнутая буква обозначает, что фигура использована для хода. Сначала игроки избавляются от самых «неудобных» фигур X и W (ходы 1 и 2). Затем первый игрок создаёт «убежище» для фигуры Y (ход 3), второй — для фигур U и P (ходы 4 и 6). В конце партии (ходы 8—10) происходит заполнение этих «убежищ» и партия заканчивается победой второго игрока — у первого остаётся Т-образное пентамино, для которого на оставшейся части доски нет подходящего места.

Другие варианты

«Карточное пентамино» — вариант игры с привнесением случайных событий. Фигуры пентамино (или их буквенные обозначения) рисуют на карточках, которые тасуют и раздают игрокам. Игроки выбирают фигуры в соответствии с розданными им карточками. Далее игра идёт по правилам пентамино с заранее выбранными фигурами.
Пентамино для четырёх игроков. Четыре игрока, сидящие по четырём сторонам доски, играют двое на двое (игроки, сидящие друг напротив друга, образуют команду). Проигравшей считается команда, игрок которой первым не сможет сделать хода. В эту игру можно играть по любому из трёх вышеописанных вариантов — обычному, с заранее выбранными фигурами или «карточному».

«Кто-кого?» В игре участвует от двух до четырёх игроков, но каждый из них играет только за себя. Победителем считается сделавший последний ход, ему засчитывается 10 очков. Игрок, который должен ходить после победителя (т.е. первым не сможет сделать хода) получает 0 очков, а все остальные игроки — по 5 очков. Может быть сыграно несколько партий, набранные в них очки суммируются. Игра также может проводиться по любому из трёх вышеописанных вариантов правил.

Компьютерные игры

С конца 1980-х годов неоднократно выходили различные компьютерные игры, основанные на пентамино. Наиболее известная — основанная на идее тетриса игра пентикс (Pentix). Один из новейших примеров — игра Dwice, которую разработал в 2006 году изобретатель Тетриса Алексей Пажитнов.

Примечания

↑ (англ.)John G. Fletcher (1965). «A program to solve the pentomino problem by the recursive use of macros». Communications of the ACM 8, 621–623.
↑ ¹ ² Gerard’s Polyomino Solution Page
↑ (англ.)Dana S. Scott (1958). «Programming a combinatorial puzzle». Technical Report No. 1, Department of Electrical Engineering, Princeton University.
↑ (англ.) Donald E. Knuth. «Dancing links» (Postscript, 1.6 мегабайт). Включает краткое содержание статей Скотта и Флетчера.
↑ The Poly Pages
↑ http://www.recmath.org/PolyPages/PolyPages/Pictures1/AvdW.gif
↑ Гарднер М. Математические новеллы. — Пер. с англ. Ю. А. Данилова. — М.: Мир, 1974. — 456 с., илл. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с.81—95

См. также

Ссылки

Тетрис
Основное
Потомки игры	Tetris: The Soviet Mind Game • Tetris Plus • Tetris Plus 2 • Tetris: The Grand Master • Magical Tetris Challenge • Tetris 64 • The New Tetris • Tetris Worlds • Tetris Splash • Tetris Party
Портативные игры	Tetris (Game Boy) • Tetris (iOS) • V-Tetris • 3D Tetris • Tetris DS • Tetris 3DS
Варианты игры

На сколько видов пентамино может делиться фигура?

Юрий Маркелов
«Квантик» №3, 2019

Полимино — фигуры, образованные путём соединения нескольких клеток по их сторонам. Например, тетрамино — полимино из четырёх клеток, всего таких 5 штук (рис. 1). А полимино из пяти клеток называется пентамино, есть 12 различных фигур (рис. 2).

На Математическом празднике 2018 года в 7 классе была моя задача:

Существует ли такая фигура, что при любом выборе вида тетрамино эту фигуру можно составить, используя тетраминошки только выбранного вида? (Переворачивать тетраминошки можно.)

Ответ тут положительный (рис. 3).

Зададим тот же вопрос про пентамино. Оказывается, здесь ситуация другая: нет такой фигуры, что при любом выборе вида пентамино эту фигуру можно составить, используя пентаминошки только выбранного вида. Почему?

Докажем, что нет даже такой конечной фигуры, которая «делится» только на кресты (рис. 4) и только на арки (рис. 5). Пусть какую-то фигуру можно разделить на кресты. Рассмотрим множество самых правых её клеток, из них возьмём самую верхнюю (клетка 1 рисунка 6). В силу выбора клетки 1, фигуре не принадлежат клетки выше клетки 1 в том же столбце и все клетки правее клетки 1 (серая зона на рисунке 6). Тогда крест, накрывающий клетку 1, может стоять только как на рисунке 6. А клетки 2 и 3 не могут принадлежать фигуре, так как любой крест, содержащий одну из этих клеток и не пересекающийся с первым крестом, захватит клетку из серой зоны. Но тогда внутри фигуры не удастся расположить арку, покрывающую клетку 1.

Интересно, для какого наибольшего числа видов пентамино всё же существует фигура, «делящаяся» на каждый из них? На рисунке 7 приведён пример фигуры для 4 видов.

Точный ответ на этот вопрос нам неизвестен. Попробуйте поэкспериментировать и найти фигуру, «делящуюся» на как можно большее число видов пентамино. В следующем номере мы приведём лучший известный нам результат. Если у вас получится пример, в котором больше видов, обязательно пришлите его нам для публикации. Удачи!

Ответ

Нам известен пример Джорджа Сичермана. Придуманную им фигуру можно разделить на 8 видов пентамино (см. рисунок).

Много интересных задач и картинок с полимино и другими фигурами можно найти на сайте recmath.org.

Художник Артём Костюкевич

Видеоурок «Пентамино»

В первую очередь расскажем о фигурах домино, тримино, тетрамино. Затем скажем, что фигуры пентамино получаются из фигур тетрамино, к которым приставили ещё один квадрат различными способами.

Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из 5 одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами. Все элементы обозначаются латинскими буквами, форму которых они напоминают.

Скажем, что эта игра была придумана в 50-x годах XX века американским математиком Соломоном Голомбом. Она быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики.

Фигурки пентамино можно изготовить и самим. При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать, поэтому если мы хотим изготовить игру своими руками, элементы надо делать двухсторонними.

Фигуры, которые вы видите, сложены из элементов пентамино.

Чаще всего во время игры в пентамино люди стараются сложить из всех 12 фигурок прямоугольник так, чтобы внутри него все фигурки плотно примыкали одна к другой, нигде не накладывались друг на друга и чтобы нигде не осталось ни одного пустого промежутка.

Возможны прямоугольники размером 6⨯10, 5⨯12, 4⨯15 и 3⨯20.

А вот прямоугольники размером 2⨯30 и 1⨯60 составить из пентамино не получится, так как многие фигуры просто не поместятся в них по ширине.

Далее в уроке приводится пример игры в пентамино вдвоём. Суть игры заключается в том, что двое игроков по очереди выбирают одну из 12 фигур и располагают её на свободных клетках квадратного поля размером 8⨯8. Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на поле ни одной фигуры пентамино. Если всё же фигурки удалось разместить на доске, то выигрывает человек, который ходил последним. Здесь же отмечается, что поле размером 8⨯8 не получится покрыть элементами игры.

Далее в уроке рассматривается выполнение нескольких заданий.

В завершение урока предлагается выполнить задание самостоятельно.

Головоломка «Пентамино» Авторы: Баженова Анастасия, Мансурова Надежда

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2014/15 учебный год)
Номинация: Проектная и творческая деятельность учащихся
Название работы: Головоломка «Пентамино»

Авторы: Баженова Анастасия, Мансурова Надежда,

ученицы 5а класса под руководством Девяшиной Марии Михайловны
Место выполнения работы: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия №177 г. Екатеринбург

Головоломка «Пентамино»

Исполнитель:

Баженова Анастасия, Мансурова Надежда

Ученицы 5а класса МБОУ гимназии №177

Научный руководитель:

Девяшина Мария Михайловна

учитель 1 квалификационной категории

МБОУ гимназии № 177

Екатеринбург

2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение …………………………………………………………………………………………………..3

Глава 1 ………………………………………………………………………………………………………4

История создания Пентамино…………………………………………………………………….4
Популярные головоломки Пентамино ………………………………………………………….7

Глава 2………………………………………………………………………………………………………………11

2.1. Решения популярных головоломок Пентамино………………………………………………………….11

2.2. Создание новых головоломок Пентамино ………………………………………………………13

2.3. Проведение занятия с использованием головоломок ………………..…………………………17

Заключение ………………………………………………………………………………………………18

Список литературы ……………………………………………………………………………………..19

Введение

Актуальность темы. Человечество с давних времён увлекается различными головоломками. Они привлекают разнообразными формами, позволяют с пользой провести свободное время, проверить свои интеллектуальные способности. Одной из таких головоломок является пентамино. Эта игра развивает абстрактное и оперативное мышление, геометрическое и пространственное воображение, комбинаторные способности, воспитывает настойчивость и терпение, учит определять, создавать, анализировать. Кроме того, пентамино развивает мелкую моторику и координацию движений.

Но немногие школьники знают о существовании этой головоломки. По результатам опроса, проведенного среди учащихся гимназии со второго по восьмой класс, из 70 опрошенных только 3 человека знают о существовании игры пентамино, что составляет 4% от общего количества участников.

В связи с этим была поставлена следующая цель проекта:

Изучить игру пентамино и создать собственный набор заданий для данной игры.

На основе данной цели были сформулированы задачи:

Изучить историю создания игры пентамино.
Рассмотреть известные задачи пентамино.
Найти собственные решения данных задач.
Создать собственный набор заданий для игры пентамино.
Провести занятие с использованием данного набора для учащихся гимназии.

Глава 1

История создания Пентамино

Игра Пентамино была создана во второй половине XX века. Несмотря на то что, игра появилась относительно недавно, она имеет долгую историю создания. Рассмотрим историю создания игры Пентамино и её предшественников.

Игральная кость

Игральная кость – это кубик, на каждой из шести граней которого нанесены точки от 1 до 6. Целью кубика является демонстрация случайно определенного целого числа от одного до шести, каждое из которых является равновозможным благодаря правильной геометрической форме. [3]

[1]

Софокл утверждал, что игральные кости изобрел грек по имени Паламед во время осады Трои. Геродот, однако, считал, что их изобрели лидийцы во времена царя Атиса. Однако эти свидетельства об «изобретении» опровергаются многочисленными археологическими находками, доказывающими, что игральные кости применялись во многих более ранних обществах. Кости, до того как они стали принадлежностью азартных игр, были магическим инструментом, который использовался древними народами для предсказания судьбы [1].

Домино

Фигуры домино, тримино, тетрамино, пентамино составляют из двух, трёх, четырёх, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру-домино.

Костяшки домино произошли от игральных костей. Стандартный набор домино включает в себя 28 костяшек. Костяшка домино представляет собой прямоугольную плитку, длина вдвое больше ширины. Её лицевая сторона разделена линией на две квадратные части. Каждая часть содержит от 0 до 6 точек.

Играют от двух до четырёх человек. Для двух сдают по 7 «доминошек», для трёх или четырёх человек — по пять. Остальные размешаются в закрытом резерве (базаре). Начинает игрок, у которого дубль 0. Следующие игроки выставляют камни с соответствующими очками. Если подходящих камней нет, то приходится добирать из резерва.

Если же на руках нет ни одного дубля, начинают с камня, имеющего наименьшее количество точек [4].

Тетрамино

Тетрамино — это прямоугольник, занимающий 4 квадрата на шахматной доске. Существует 5 фигур тетрамино.

[4]

В отличие пентамино из его 5 элементов нельзя составить прямоугольник. Однако у тетрамино есть другое интересное свойство. Из некоторых элементов пентамино (а именно всех, за исключением I, T, X, V) в сочетании с полным набором тетрамино можно составить квадрат 5*5 [4].

Тетрис

Тетрис — это компьютерная игра, изобретённая в СССР Алексеем Пажитновым, сотрудником Вычислительного центра Академии наук СССР. Он специализировался на проблемах искусственного интеллекта и распознавания речи, что требовало создания и решения разного рода головоломок. Самой любимой его головоломкой была классика — «пентамино пазл». Вдохновлённый пентамино, Пажитнов сначала разрабатывал компьютерную головоломку, в которой под действием силы тяжести аналогичные фигуры меняли своё положение. Но возможности компьютеров в это время были таковы, что задачу пришлось упростить — квадратов стало четыре (отсюда название-тетрис), а фигуры, составленные из них, падали только вниз. Игра была представлена общественности 6 июня 1984 года [1].

[1]

Пентамино

Пентамино — это популярная логическая головоломка для детей и взрослых. Игра была придумана Соломоном Вольфом Голомбом, жителем Балтимора, математиком и инженером, профессором университета Южная Калифорния. Она была запатентована в 1969 году. Её стали называть «Мировой головоломкой» и она очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики. Долгое время Голомб вёл рубрику «головоломки» в газете Информационного Общества. Игра состоит из 12 плоских фигур. Все фигуры состоят из 5 квадратов. Каждый элемент обозначает латинскую букву, форму которой напоминает [6].

[6]

Считается, что зеркальная симметрия и поворотная симметрия не создают новых фигур. Но если считать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации «Тетриса» — «Пентиксе».

Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.
Z может быть ориентирована 4 способами: 2 — поворотами, 2 — зеркальными отображениями.
T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.
I может быть ориентирована поворотами 2 способами.
X может быть ориентирована единственным способом.

Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.

Например, так выглядят восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, P, N и Y:

[6].

Популярные головоломки Пентамино

Существует много разнообразных головоломок Пентамино. В одних головоломках требуется собрать геометрическую фигуру, а в других силуэты животных, птиц, насекомых и т.п. Рассмотрим самые популярные из них.

Прямоугольник

Одной из самых распространенных задач пентамино — сложить прямоугольник из всех фигур. При этом фигуры не должны накладываться друг на друга и не должно быть пустот. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6х10,5х12,4х15 и 3х20. Вариантов укладок прямоугольников множество, например, для прямоугольника 6х10 существует ровно 2339 различных способов, не считая отражения и переворотов, для прямоугольника 5х12 – 1010 решений, для прямоугольника 4х15 – 368 решений, а для прямоугольника 3х20 всего 2 способа [6].

[6]

Задача об утроении фигур пентамино

Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино [6].

[6]

Представленное на рисунке решение, найденное А. ван де Ветерингом, обладает интересным свойством: каждое пентамино используется для утроения девяти из остальных, по одному разу в каждой. Таким образом, из 9 комплектов исходных фигур пентамино можно одновременно сложить все 12 утроенных пентамино [6].

Настольная игра

Пентамино может использоваться также как настольная игра для двух игроков. Для игры необходима шахматная доска 8×8 и набор фигур пентамино, клетки которых имеют одинаковый размер с клетками доски. В начале игры доска пуста. Игроки поочерёдно выставляют на доску по одной фигуре, закрывая 5 свободных клеток доски. Все выставленные фигуры остаются на месте до конца партии (не снимаются с доски и не передвигаются). Проигравшим считается игрок, который первым не сможет сделать хода (либо из-за того, что ни одна из оставшихся фигур не умещается на свободных участках доски, либо потому, что все 12 фигур уже выставлены на доску).

Анализ игры достаточно сложен, так как вначале имеется даже больше возможных первых ходов, чем в шахматах. Голомб предложил следующую стратегию: стремиться разбить свободное место на доске на два равновеликих участка (и помешать сопернику сделать это). После этого на каждый ход соперника на одном из участков следует отвечать ходом на другом [6].

[6]

Варианты настольной игры

Пентамино с заранее выбранными фигурами

Стратегия этого варианта игры, предложенная Голомбом, существенно отличается от стратегии обычного пентамино. Вместо того чтобы разбить доску на равновеликие участки, игрок стремится создать на доске участки, которые можно заполнить лишь его фигурами, но не фигурами соперника. Голомб называет такие участки «убежищами».

Другие варианты

«Карточное пентамино» — вариант игры с привнесением случайных событий. Фигуры пентамино (или их буквенные обозначения) рисуют на карточках, которые тасуют и раздают игрокам. Игроки выбирают фигуры в соответствии с розданными им карточками. Далее игра идёт по правилам пентамино с заранее выбранными фигурами.
Пентамино для четырёх игроков. Четыре игрока, сидящие по четырём сторонам доски, играют двое на двое (игроки, сидящие друг напротив друга, образуют команду). Проигравшей считается команда, игрок которой первым не сможет сделать хода. В эту игру можно играть по любому из трёх вышеописанных вариантов — обычному, с заранее выбранными фигурами или «карточному».
«Кто-кого?» В игре участвует от двух до четырёх игроков, но каждый из них играет только за себя. Победителем считается сделавший последний ход, ему засчитывается 10 очков. Игрок, который должен ходить после победителя (т.е. первым не сможет сделать хода) получает 0 очков, а все остальные игроки — по 5 очков. Может быть сыграно несколько партий, набранные в них очки суммируются. Игра также может проводиться по любому из трёх вышеописанных вариантов правил [6].

Фигуры животных

Из деталей пентамино можно выкладывать не только геометрические фигуры, но и изображения животных, людей или предметов. В результате получится силуэт — схематичный, но понятный по основным характерным признакам предмета, пропорциональному соотношению частей, по форме [3].

Слон

[3]

Бабочка

[3]

Собака

[3]

Утка

[3]

Глава 2

2.1. Решения популярных головоломок Пентамино

Перед тем, как составлять собственные головоломки пентамино, мы нашли решение нескольких популярных головоломок. Мы решили данные головоломки самостоятельно и проверили правильность своих решений.

Решение головоломки « Прямоугольник»

[5]

Решение головоломки «Слон»

[2]

Решение головоломки «Бабочка»

[2]

Решение головоломки «Собака»

[2]

Решение головоломки «Утка»

[2]

2.2. Создание новых головоломок Пентамино

Кроме решения существующих головоломок пентамино, нами было придумано несколько новых головоломок с животными и человеком. Мы выбрали такую разновидность заданий пентамино потому, что она наиболее привлекательна для детей младшего школьного возраста.

Бык

Верблюд

Собака

Крокодил

Человек

Цветок

Петух

2.3. Проведение занятия с набором головоломок Пентамино

После создания собственных заданий пентамино нами было проведено занятие для учащихся 3 «в» класса. Занятие длилось 20 минут. При проведении занятия мы разделили класс на 3 группы, выдали каждой группе набор деталей пентамино и созданные нами задания с изображением животных и людей. Многим участникам задания показались трудными. Часть детей испытывали небольшие затруднения, но их заинтересовала головоломка, им захотелось узнать больше о пентамино и попробовать решить другие задания.

Заключение

В ходе написания работы мы изучили историю создания игры пентамино, рассмотрели известные задачи пентамино, нашли собственные решения данных задач, а также создали собственный набор заданий для игры пентамино. Мы провели занятие с использованием данного набора для учащихся гимназии. Работа над данным проектом была для нас полезна, так как во время написания проекта мы расширили свой кругозор. При создании собственных заданий мы учились творчески мыслить, находить новые решения, фантазировать. Во время проведение занятия мы учились организовывать работу в группе и помогали детям найти правильное решение.

В результате мы реализовали все поставленные задачи и достигли цели проекта.

По нашему мнению, созданные нами задания пентамино позволят интересно провести досуг любителям головоломок, а также могут быть использованы во время проведения развивающих занятий в начальной школе или на занятиях математического кружка в среднем звене.

Список литературы

http://chitariki.ru
http://igrudom.ru
http://printplay.ru
http://puzzles.h2.ru
http://razvitierebenka.com
http://wikipedia.org

Презентация на тему «Логическая игра Пентамино»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………………3

Раздел 1. История создания логической игры «Пентамино»……………………….5

Раздел 2. Решения популярных головоломок «Пентамино»………………………..8

2.1. Виды и количество фигур………………………………………………………….8

2.2. Правила игры «Пентамино» ………………………………………………………9

2.3. Популярные головоломки «Пентамино» ……………………………………….11

Раздел 3. Практическая работа «Создание новых головоломок Пентамино»………16

3.1. Новые фигуры «Пентамино»………………………………………………………16

3.2. Практические занятия по логической игре «Пентамино» ……………………17

Заключение …………………………………………………………………………….19

Список литературы ……………………………………………………………………………………………20

ВВЕДЕНИЕ

Младший подростковый возраст отличается повышением интеллектуальной активности, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью, но и желанием развить и продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны.

На дополнительном занятии по математике учитель предложил нам поиграть в логическую игру «Пентамино». Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора «Пентамино». Этот набор содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти («пента» в переводе с греческого означает «пять») одинаковых квадратов, причём которые «соседствуют» друг с другом только сторонами. Каждая фигурка Пентамино обозначается латинской буквой, похожая на иную фигурку.

Меня увлекла логическая игра. Приходилось думать, выкладывая фигурки из набора «Пентамино» (мы сделали сами из цветной бумаги), был азарт среди ребят, хотелось выложить фигуру быстрее всех, но мало кому удавалось это сделать. Сколько ты получаешь радости, когда оказываешься первым среди всех!

Цель исследовательской работы: изучить логическую игру «Пентамино» и создать собственный набор заданий для данной игры.

Задачи:

1. Собрать и изучить материал по логической игре «Пентамино».

2. Решить задачи, предложенные любителями игры.

3. Подготовить фигуры из набора Пентамино для игры на группу учащихся и познакомить учащихся 5-6 классов с правилами этой игры.

4. Придумать и решить задачи «Пентамино».

5. Сделать презентацию по теме «Пентамино».

Предмет исследования: математика.

Объект исследования: логическая игра «Пентамино».

РАЗДЕЛ 1

ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ЛОГИЧЕСКОЙ ИГРЫ «ПЕНТАМИНО»

Известна история о принце Генри, сыне Вильгельма Завоевателя, впоследствии Генрихе I, которая столь часто встречается в старых хрониках, что, несомненно, отражает реальный факт. Приведенная ниже версия этой истории взята из книги Хэйворда «Жизнь Вильгельма Завоевателя», увидевшей свет в 1613 г. «К концу своего царствования Вильгельм передал своим сыновьям Роберту и Генри совместное управление Нормандией, дабы один обуздывал наглость и легкомыслие другого. Принцы отправились навестить французского короля, находившегося тогда в Констанции. Время проводили в играх и состязаниях, Генри часто играл в шахматы с Людовиком, бывшим тогда дофином Франции, и почти всегда выигрывал. Людовик становился все более неразборчив в словах, отчего у Генри не прибавилось к нему уважения. Чрезмерная нетерпимость одного и непокладистость другого в конце концов так накалили атмосферу, что однажды Людовик швырнул шахматы в лицо Генри. Генри в свою очередь ударил Людовика по голове шахматной доской, и, возможно, дело кончилось бы весьма печально для дофина, если бы принца не удержал собственный брат Роберт. Братья тотчас вскочили на коней, и, как уверяют, их шпоры были столь остры, что им удалось добраться до своих владений, хотя французы преследовали их по пятам». Далее предание гласит (хотя в этой части можно и усомниться), что шахматная доска от удара разломилась на тринадцать частей.

Это двенадцать кусочков разной формы, каждый из которых содержит пять клеток, и только один меньший кусочек состоит из четырех клеток. Таким образом, у нас есть все 64 клетки шахматной доски, а головоломка состоит в том, чтобы вырезать эти части и сложить затем из них правильную Шахматную доску. Сам принц Генри при всей своей ловкости и образованности нашел бы это занятие весьма занимательным.

Первое упоминание полимино относится к 1953 году, когда американский математик Соломон Вольф Голомб, аспирант университета Гарварда, сделал доклад в Гарвардском математическом клубе «Шахматные доски и полимино». Игры и задачи о полимино быстро нашли популярность по всему миру.

Пентамино́ (от др.-греч. πέντα пять, и домино) — пятиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»). Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры требуется укладывать в прямоугольник или другие формы.

Аналогично классической игре домино из фигур, состоящих из двух квадратов, С. Голомб назвал фигуры тримино (из 3-х квадратов), тетрамино (из 4-х) и пентамино (5 квадратов). Также существуют фигуры из большего количества квадратов.

Для тримино требуется набор из 2-х компонентов – полоски, состоящей из трех квадратов и угла. Для тетрамино требуется уже 5 различных элементов, а для пентамино – 12. При этом, элементы головоломки можно вращать, поэтому несимметричный элемент полимино и его зеркально-отраженная копия считаются одним элементом. А для полимино из большего числа элементов уже требуется еще большее количество элементов: 35 элементом для гексамино и 135 для гептамино. Поэтому такие полимино редко используются для игры.

В 70-е годы прошлого века в нашей стране был пик популярности этой игры. Тогда же выяснили, что впервые вариант этой игры под названием «12 по 5» придумал Н.Д. Сергиевский еще в 1935 году, а в 1951 эта игра участвовала во Всесоюзном конкурсе детской игрушки. Игра стала активно набирать популярность, и отечественная промышленность выпускала ее в виде набора пластмассовых фишек, уложенных в коробку 6×10. К игре прилагалась инструкция с набором различных задач. Например, классические задачи о покрытии прямоугольников размером 6×10, 5×12, 4×15 и 5×20.

Задачи с пентамино – это один из типов математических головоломок на разрезание фигур. Эти задачи относятся к разделу комбинаторной геометрии. Разъединение целого объекта на составляющие и объединение этих составляющих в одно целое (пусть даже в пределах плоскости) – это деятельность, которая развивает геометрическое «видение» учащихся, помогает формировать первичные геометрические представления и является пропедевтикой развития пространственного мышления. Универсального метода решения задач на пентамино не существует. Ученикам, которые берутся за их решение, не понадобится знание основ планиметрии, они могут в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению.

РАЗДЕЛ 2

РЕШЕНИЕ ПОПУЛЯРНЫХ ГОЛОВОЛОМОК «ПЕНТАМИНО»

2.1. Правила игры «Пентамино»

Пентамино — фигурка, составленная из пяти квадратиков (от слова «пента» — пять). Существует всего 12 пентамино.

Рис.1.1

Сравнение систем именования пентамино. Первая схема (вверху) была предложена Соломоном Голомбом и используется в этой статье. Вторая схема (внизу) предложена Джоном Конвеем и используется, в частности, при описании конфигураций «Жизни», имеющих форму пентамино.

Запомнить эти обозначения удобнее всего так: первые пять букв входят в имя FILiPiNo, а остальные семь составляют конец латинского алфавита.

Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.
Z может быть ориентирована 4 способами: 2 — поворотами, 2 — зеркальными отображениями.
T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.
I может быть ориентирована поворотами 2 способами.
X может быть ориентирована единственным способом.

Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.

Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, P, N и Y:

Рис.1.2

2.2. Правила игры «Пентамино»

Задачи с пентамино – это один из типов математических головоломок на разрезание фигур. Эти задачи относятся к разделу комбинаторной геометрии. Разъединение целого объекта на составляющие и объединение этих составляющих в одно целое (пусть даже в пределах плоскости) – это деятельность, которая развивает геометрическое «видение» учащихся, помогает формировать первичные геометрические представления и является пропедевтикой развития пространственного мышления. Именно в 5-6 классе следует уделить этому вопросу особое внимание, это весьма благоприятный период для достижения поставленной цели.

Суть игр заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. В результате игры получается плоскостное силуэтное изображение. Оно условно, схематично, но образ легко угадывается по основным характерным признакам предмета, его строению, пропорциональному соотношению частей и форме. Игра имеет свой комплект элементов, из которых можно сложить только определенные плоскостные силуэты.

Игра позволяет создавать абстрактные изображения разнообразной конфигурации, узоры, геометрические фигуры. Для игры разработаны различные схемы изображений. Многие из них являются результатами детского творчества. В качестве образцов используются изображения реальных предметов, силуэтное изображение которых можно воссоздать из набора геометрических фигур той или иной формы.

Есть множество других игр, похожих на игру «Пентамино». Например: «Домино», «Тримино», «Тетрамино», «Игра Дьюдени», «Тетрис».

Практически не встретишь такого жителя Земли, разве что в племенах внутренней Африки, который бы хоть раз в жизни да не играл в тетрис. Но далеко не все в курсе, что его изобретатель гордость России, бывший сотрудник Вычислительного центра Академии наук СССР Алексей Пажитнов. Он специализировался на проблемах искусственного интеллекта и распознавания речи. Последнее требовало создания и решения разного рода головоломок. Самой любимой пажитновской головоломкой была классика – Pentomino Puzzl. В ней из различных элементов, состоящих из пяти квадратов, нужно было создавать фигуры. Вдохновленный «Пентамино», Пажитнов тоже поначалу разрабатывал компьютерную головоломку, в которой под действием силы тяжести аналогичные пятиквадратники меняли свое положение. Но тогдашние возможности компьютеров были таковы, что задачу пришлось упростить – квадратов стало четыре, (отсюда — тетрис), а фигуры, составленные из них, падали только вниз.

Игра, придуманная Дьюдени, ведется двумя игроками на обычной шахматной доске при помощи специальных фигур пентамино. Каждый игрок имеет комплект из 12 фигур. Размер квадратиков соответствует размеру клетки доски. Ходы делаются по очереди. Ход состоит в том, что игрок выкладывает на доску одну из имеющихся у него на руках фигур пентамино так, чтобы закрыть ею пять свободных клеток доски. Если игрок не может сделать ни одного хода, партия считается проигранной им. Очевидно, в этой игре не бывает ничьих. Партия продолжается не более 12 ходов (шахматную доску 8×8 полностью нельзя покрыть пентамино, останется 4 свободные клетки).

Задача игрока расположить все фигурки на поле, оставив четыре пустые клетки. В простом случае фигурки можно переворачивать (отражать зеркально), а пустые клетки оставлять где угодно. В усложненном варианте запрещается зеркальные перевороты фигур, а пустые клетки должны быть на конкретных местах (например, по углам). Если сделать несколько комплектов, то можно собирать на время.

2.3. Популярные головоломки «Пентамино»

Прямоугольник

Рис.2.1

Задача об утроении фигур пентамино

Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино.

Рис.2.2

Варианты настольной игры

Пентамино с заранее выбранными фигурами

Другие варианты

«Карточное пентамино» — вариант игры с привнесением случайных событий. Фигуры пентамино (или их буквенные обозначения) рисуют на карточках, которые тасуют и раздают игрокам. Игроки выбирают фигуры в соответствии с розданными им карточками. Далее игра идёт по правилам пентамино с заранее выбранными фигурами.
Пентамино для четырёх игроков. Четыре игрока, сидящие по четырём сторонам доски, играют двое на двое (игроки, сидящие друг напротив друга, образуют команду). Проигравшей считается команда, игрок которой первым не сможет сделать хода. В эту игру можно играть по любому из трёх вышеописанных вариантов — обычному, с заранее выбранными фигурами или «карточному».
«Кто-кого?». В игре участвует от двух до четырёх игроков, но каждый из них играет только за себя. Победителем считается сделавший последний ход, ему засчитывается 10 очков. Игрок, который должен ходить после победителя (т.е. первым не сможет сделать хода) получает 0 очков, а все остальные игроки — по 5 очков. Может быть сыграно несколько партий, набранные в них очки суммируются. Игра также может проводиться по любому из трёх вышеописанных вариантов правил.
«Пентамино без касаний». Расставьте в сетке цифры от 1 до 5 так, чтобы в каждой выделенной области из пяти клеток (пентамино) все цифры были различными. При этом одинаковые цифры (стоящие в разных пентамино) не могут касаться друг друга даже углом.

Рис. 2.3

Фигуры животных

Из деталей пентамино можно выкладывать не только геометрические фигуры, но и изображения животных, людей или предметов. В результате получится силуэт – схематичный, но понятный по основным характерным признакам предмета, пропорциональному соотношению частей, по форме.

Рис. 2.3

РАЗДЕЛ 3

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «СОЗДАНИЕ НОВЫХ ФИГУР «ПЕНТАМИНО»

1. Новые фигуры «Пентамино».

Багира

Мурзик

Симонна

Фунтик

Маркиза

Басик

Рис. 3.1.

3.2. Практические занятия по логической игре «Пентамино»

Универсального метода решения задач на пентамино не существует. Ученикам, которые берутся за их решение, не понадобится знание основ планиметрии, они могут в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению.

После создания собственных заданий «Пентамино» мною были проведены 4 практических занятия с учащимися 5-6 классов. Занятия длились по 45 минут. При проведении занятий ребятам было предложено разделиться на группы. Занятия проведены по следующему плану:

История создания игры «Пентамино».
Изучение наименований элементов.
Графическое задание (наиболее продуктивным способом фигурами петамино разбить прямоугольник 3*5).
Составить по образцам предметные силуэты «Петамино».
Складывать прямоугольники «Пентамино» по образцу (6*10).
Составить свой пентопазл.
Проведение занятий по набору «Пентамино без касаний» (для более подготовленных детей).

На основе этих умений ребята должны создать индивидуальный или групповой образовательный продукт в виде иллюстрированного «пентопазла». Задачи для учащихся усложняются при переходе от занятия к занятию. Занятие рекомендовано начинать с подготовки фигур Пентамино, так как в ходе конструирования элементов участники занятий разучивают названия и составляют сначала простые фигуры, потом более сложные. Многим участникам задания показались трудными. Часть детей испытывали небольшие затруднения, но их заинтересовала головоломка, им захотелось узнать больше о пентамино и попробовать решить другие задания. В ходе проведения занятий, обучающиеся отрабатывают навыки в геометрическом конструировании на плоскости, учатся создавать своими руками фигуры пентамино (простые объекты), а с их помощью более сложные геометрические фигуры (сложные объекты).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Самая распространённая задача в игре «Пентамино» — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Увлекающиеся последователи игры «Пентамино» усложняли, распространяли сферу ее применения в более сложных ее вариациях. Так Дьюдени придумал похожую на «Пентамино» игру, которая ведётся на шахматной доске. Освоила игру «Пентамино без касаний».

Пентамино» — одна из самых популярных мировых головоломок. Игра на все времена – от пяти до ста пяти лет, поэтому стоит обязательно пополнить этой головоломкой свою игротеку

Теперь ребята знают, кто придумал игру «Пентамино», почему она полезна, какие ещё есть похожие на «Пентамино» интересные игры, попытаются собрать фигуры из набора пентамино.

Работа над данным проектом была для меня полезна, так как во время написания проекта я расширили свой кругозор. При создании собственных заданий я училась творчески мыслить, находить новые решения, фантазировать. Во время проведение занятий я училась организовывать работу в группе и помогала детям найти правильное решение, а созданные задания пентамино позволят интересно провести досуг любителям головоломок

В результате я реализовала все поставленные задачи и достигла цели исследовательской работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гардиер М. Математические досуги. – М.: Мир, 2000.
Гарднер М. Математические новеллы. — Пер. с англ. Ю. А. Данилова. — М.: Мир, 1974. — 456 с., илл. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с. 81—95.
Заславский А. Паркеты и разрезание //Квант, 1999,№ 2, с.32-33.
Кольцова М.М., Рузина М.С. Пальчиковый игротренинг. – СПб.:ИД «МиМ», 1998
Клумова И. Н. Игра «Жизнь» // Квант. — 1974. — № 9. — С. 26—30.
Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание. – М.: Мир, 1997.
Мациевский С. В. Математическая культура. Игры: Учебное пособие.— Калининград: Изд-во КГУ, 2003.— 120 с., ил.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ

http://chitariki.ru
http://igrudom.ru
http://printplay.ru
http://puzzles.h2.ru
http://razvitierebenka.com
http://wikipedia.org

Материал для занятий кружка «Логическая математика» по теме «Пентамино»

Полимино

В этой статье мы будем рассматривать полимино – фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону.

Задачи с полимино очень характерны для комбинаторной геометрии – раздела математики, занимающегося вопросами взаимного расположения и комбинирования геометрических фигур. Это очень красивая, но еще почти не разработанная ветвь математики, поскольку общих методов в ней, по-видимому, очень мало, а известные ныне методы настолько примитивны, что не поддаются усовершенствованию. Многие встречающиеся в практике важные инженерные задачи – в первую очередь те, которые связаны в том или ином смысле с оптимальным расположением фигур заданной формы, – по существу относятся к комбинаторной геометрии.

В последующих комбинаторных задачах предполагается, что полимино можно вращать (то есть поворачивать на 90, 180 или 270) и зеркально отражать (переворачивать), не меняя формы самих фигур.

Домино

Рис. 1

Домино состоит из двух квадратов и может иметь лишь одну форму – форму прямоугольника размером 1×2 (см. рис. 1). Первая связанная с домино задача, вероятно, многим знакома: даны шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток, и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски (см. рис. 2). Возможно ли целиком покрыть доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)? Ответ на этот вопрос гласит: «НЕТ» и имеет замечательное доказательство. Шахматная доска содержит 64 чередующиеся клетки белой и черной раскраски (имеется в виду обычная шахматная раскраска доски). Каждая положенная на такую доску и покрывающая две соседние клетки кость домино покроет одно белое и одно черное поле, а n костей домино – n белых и n черных полей, т.е. поровну и тех и других. Но изображенная на рисунке шахматная доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино. Этот результат есть типичная теорема комбинаторной геометрии.

Рис. 2

Тримино

Рис. 3

Тримино (или триомино) — полимино третьего порядка, то есть многоугольник, полученный путём объединения трёх равных квадратов, соединённых сторонами. Если повороты и зеркальные отражения не считать различными формами, то существует только две «свободных» формы тримино (см. рис.3): прямое (I-образное) и угловое (L-образное).

Тетрамино

Рис. 4

С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Доказано, что сложить какой-либо прямоугольник из полного набора тетрамино невозможно. Доказательство использует раскраску в шахматном порядке. Все тетрамино, кроме Т-образного, содержат 2 чёрные и 2 белые клетки, а Т-образное тетрамино — 3 клетки одного цвета и 1 клетку другого. Поэтому любая фигура из полного набора тетрамино (см. рис.4) будет содержать клеток одного цвета на две больше, чем другого. Но любой прямоугольник, с чётным количеством клеток, содержит равное число чёрных и белых клеток.

Пентамино

Рис. 5

Полимино, покрывающее пять клеток шахматной доски, называются пентамино. Существует 12 видов пентамино, которые можно обозначить прописными латинскими буквами, как указано на рисунке (см. рис. 5). В качестве приема, позволяющего легко запомнить эти наименования, укажем, что соответствующие буквы составляют конец латинского алфавита (TUVWXYZ) и входят в имя FiLiPiNo. Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток.

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20 (см. рис. 6).

Рис. 6

Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения).

Еще одна интересная задача о пентамино — задача об утроении фигур пентамино (см. рис. 7). Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино.

Рис. 7

Комментарии к презентации «Пентамино»

В этой работе я предлагаю несколько заданий с использованием фигур пентамино, которые можно использовать и для самых первых занятий с этой головоломкой, и для более подготовленных ребят. Они подойдут и для начальной школы, и для учащихся 5-7 классов (в зависимости от уровня обучающихся).

Для работы нам потребуется комплект, состоящий из двенадцати деталей пентамино. Его очень легко сделать самим на уроке или дома. На листе в клетку нужно нарисовать фигуры так, чтобы каждая состояла из пяти квадратов со стороной 1см. Затем следует приклеить лист в клетку на картон и вырезать по контуру получившиеся фигурки. При желании их можно раскрасить цветными карандашами или фломастерами. Пентамино готово.

Начинается презентация с самых простых заданий. Нужно из всех двенадцати фигурок пентамино отложить только те, из которых собирается данная картинка. Фигурки в презентации появляются по щелчку по одной, чтобы было удобно их находить.

На следующем слайде представлена картинка, которую нужно собрать. А на третьем слайде предложен вариант ответа. Таких задач в презентации четыре, но их количество всегда можно увеличить по мере необходимости.

Начиная с пятой задачи, учащиеся сами должны выбрать фигурки, которые будут использованы для данной картинки. В задаче №5 для «собачки» потребуются три фигурки пентамино.

В задаче №6 ребята должны не только собрать данные картинки, но и попытаться объяснить, почему может быть представлено только единственное решение этих задач.

В задачах №7 и №8 решений может быть несколько, и можно устроить соревнования «кто первый найдет все возможные решения этих задач».

Начиная с задачи №9, решений становится гораздо больше. Найти все решения на уроке не получится. Эти задачи можно предложить как вариант домашнего задания или предложить найти решения, разбив класс на группы.

В задачах №13 и №14 при решении используются все двенадцать фигур пентамино. Это уже достаточно сложные задания. С ними могут справиться не все учащиеся 5-6 классов. Поэтому те ребята, которые нашли решения этих задач, должны быть поощрены.

Очень интересный результат можно получить, предложив ребятам самим придумать различные картинки, составленные из фигур пентамино. Если это начальные классы, то нужно оговорить, что можно использовать не все фигуры сразу. В более старших классах учащиеся могут использовать весь комплект. Здесь следует напомнить, что каждая фигурка встречается ровно однажды и нельзя использовать какие-то детали более одного раза.

И вообще, очень трудно охватить такой огромный материал в одной презентации. Я предложила только малую толику того, что может быть придумано из пентамино. Творите, и результат превзойдет все ваши самые смелые ожидания. Ваши дети очень талантливы, и нужно только направить их мысль в нужную сторону. А там…

Литература:

С.В. Голомб «Полимино», издательство «Мир», М., 1975.
М.А. Екимова, Г.П. Кукин «Задачи на разрезание», МЦНМО, М., 2007.
ru.wikipedia.org

Проект «Пентамино» | Образовательная социальная сеть

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 30 с углубленным изучением отдельных предметов» Энгельсского муниципального района Саратовской области

ПРОЕКТ

«Удивительный мир «Пентамино»»

Выполнил:

ученик 5 «в» класса

Ермин Данилл

Руководитель проекта:

учитель математики

Кандалова

Светлана Ивановна

2014 год

ВВЕДЕНИЕ

В свободное время я люблю поиграть в интересные игры. На уроке «Наглядная геометрия» учитель предложил нам логическую игру «ПЕНТАМИНО». Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора «Пентамино». Этот набор содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти («пента» в переводе с греческого означает «пять») одинаковых квадратов, причём которые «соседствуют» друг с другом только сторонами. Каждая фигурка Пентамино обозначается латинской буквой, похожая на данную фигурку.

Мне очень понравилась эта логическая игра. Приходилось думать, выкладывая фигурки из набора «Пентамино» (я сделал их сам из цветной бумаги), на уроке был азарт среди ребят, хотелось выложить фигуру быстрее всех, но не всем удавалось это сделать. Сколько ты получаешь радости, когда оказываешься первым среди всех!

Итак, цель моей исследовательской работы: изучить логическую игру «Пентамино».

Задачи:

1. Собрать и изучить материал по «Пентамино»;

2. Решить задачи, предложенные любителями игры;

3. Придумать фигуры из набора Пентамино;

4. Изучить компьютерные программы Microsoft Office Power Point 2007

5. Сделать презентацию

Предмет исследования: математика.

Объект исследования: логическая игра «Пентамино».

Основная часть. Мир «Пентамино»

1. Начало «Пентамино»

«Пентамино» — одна из самых популярных мировых головоломок. Игра на все времена — от трех до ста лет. Запатентовал головоломку «пентамино» Соломон Вольф Голомб, житель Балтимора, математик и инженер, профессор университета Южная Калифорния. Её стали называть «Мировой головоломкой» и она очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики. Долгое время он вел рубрику «головоломки» в газете Информационного Общества. Известная головоломка — уникальна по своим возможностям. Именно его идеи вдохновили создателей «Тетриса». С фигурками, которые известны нам всем по игре «Тетрис», можно фантазировать бесконечно.

Фигуры домино, тримино, тетрамино, пентамино составляют из двух, трех, четырех, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру – домино.

Фигуру тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами еще один квадрат. Получится только две фигуры тримино.

Тетрамино (состоит из четырех квадратов) имеет 5 фигур.

Игровой набор «Пентамино» состоит из 12 фигурок. Каждая в свою очередь состоит из 5 — клеточек квадратов, сложенных различным образом. Отсюда и название: «Пентамино», то есть «Пять» («пента» в переводе с греческого означает «пять»). Каждая фигурка Пентамино обозначается латинской буквой,которая похожая на данную фигурку.

Суть игр заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов.

Игра позволяет создавать изображения разнообразной конфигурации, узоры, геометрические фигуры. Для игры разработаны различные схемы изображений. Многие из них являются результатами детского творчества.

Есть множество других игр, похожих на игру «Пентамино». Например:

1. Домино;

2. Тримино;

3. Тетрамино;

4. Игра Дьюдени;

5. Тетрис

Практически не встретишь такого жителя Земли, разве что в племенах внутренней Африки, который бы хоть раз в жизни да не играл в тетрис. Но далеко не все в курсе, что его изобретатель — гордость России, бывший сотрудник Вычислительного центра Академии наук СССР Алексей Пажитнов. Самой любимой его головоломкой была игра — Пентамино. Вдохновленный Пентамино, Пажитнов разрабатывал компьютерную головоломку, в которой под действием силы тяжести аналогичные пятиквадратники меняли свое положение. Но тогдашние возможности компьютеров были таковы, что задачу пришлось упростить — квадратов стало четыре, (отсюда — тетрис), а фигуры, составленные из них, падали только вниз.

II Правила игры Пентамино

Задача игрока расположить все фигурки на поле, оставив четыре пустые клетки. В простом случае фигурки можно переворачивать (отражать зеркально), а пустые клетки оставлять где угодно. В усложноенном варианте запрещается зеркальные перевороты фигур, а пустые клетки должны быть на конкретных местах (например, по углам). Если сделать несколько комплектов, то можно собирать на время.

III Популярные головоломки Пентамино

Самая распространенная задача – сложить из всех фигурок прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, по прямоугольник должен быть площадью 60 квадратных единиц.

Возможны прямоугольники 6х10, 5х12, 4х15, 3х20. Вариантов укладывания множество. Например для прямоугольника 6х12 существует 2339 различных способов.

Фигурки животных

IV Пентамино своими руками.

Предлагаю сделать игру .

1. Рисуем каждый элемент на цветном картоне.

2. Вырезаем первую фигуру, перепроверяем размеры.

3. Далее вырезаем все остальные элементы.

4. Схемы можно распечатывать с сайтов, а можно рисовать и раскрашивать на тетрадном листе в клеточку.

V Заключение

В ходе исследовательской работы я собрал следующий материал:

— Игра «Пентамино» была придумана в 50-х годах XX века американским математиком С. Голомбом.

— Самая распространенная задача в «Пентамино» — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник.

— Дьдени придумал похожую на «Пентамино» игру, которая ведется на шахматной доске.

— Тетрис – родственник игры «Пентамино»

— Решил (некоторые) задачи, предложенные любителями игры.

Я изучил компьютерную программы Microsoft Office Power Point 2007 и создал презентацию.

Собранный мной материал можно использовать на дополнительных занятиях по математике , занятиях математического кружка. Думаю он будет интересен для моих одноклассников. Ребята узнают, кто придумал игру «Пентамино», почему она полезна, какие ещё есть похожие интересные игры.

«Пентамино» — одна из самых популярных мировых головоломок. Игра от трёх до ста лет, поэтому стоит обязательно пополнить этой головоломкой свою игротеку, и играть в нею с друзьями и родителями.

Используемые ресурсы интернета:

http://www.babylessons.ru/games_for_children/

http://www.smartkids.ru

http://www.printplay.ru/

http://www.skakalka.ru/game/online/

Приложение

Пентамино Страница

Пентамино — это формы, состоящие из пяти квадратных блоков, соединенных ребром к краю. образовывать различные комбинации. Есть двенадцать возможных форм в наборе уникальных пентамино с названиями T, U, V, W, X, Y, Z, F, I, L, P и N. Простой способ запомнить все буквы в наборе пентамино — посмотреть на слово FILiPiNo и запомнить конец алфавита TUVWXYZ. Считается, что пентамино «изобрел» Соломон. В. Голомб в 1953 г. на своем выступлении в Гарвардском университете математики. Клуб.Несмотря на то, что он придумал название, пентамино были вокруг с гораздо более раннего времени. Первая задача пентамино, написанная великого английского изобретателя головоломок Генри Эрнеста Дудени, был опубликован в 1907 году в «Кентерберийских головоломках».

Двенадцать пентамино часто называют буквами, которые они напоминать.

Пазлов и игр с пентамино примерно столько же, сколько и люди, которые с ними играют. Вот несколько примеров. Есть еще много головоломки и решения по всему Интернету и в книге «Полимино» Соломона Голомба.

Модели в масштабе 3/1

Каждое из двенадцати пентамино можно смоделировать в двух измерениях. с девятью оставшимися пентамино. Для этого сначала нужно забрать кусок для моделирования и отложите его в сторону, так как этот кусок не будет необходимо для масштабированной модели. Во-вторых, попробуйте построить продублируйте в масштабе 3/1. Новой модели понадобится всего девять шт.

Веселые фигурки (мозаика)

Попробуйте сложить пентамино вместе, чтобы получилась одна из следующих форм.Обратите внимание, что в вашем наборе пентамино всего 60 квадратов, поэтому мы можем попробовать для плитки прямоугольники размером 1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12 и 6×10. Из них форматы 1×60 и 2×30 не могут быть покрыты 12 пентамино по очевидным причинам (рассмотрим, например, фигуру ‘X’, которая имеет ширину 3 единицы в каждом направлении). Количество решений для каждого из прямоугольников:

3 x 20 …………………….. 2
4 х 15 …………………….. 368
5 х 12…………………….. 1010
6 x 10 …………………….. 2339

Игра в пентамино

Помимо интриги как загадки, размещение пентамино на шахматная доска также делает его увлекательной соревновательной игрой навык. В игре участвуют два или три игрока, цель игры — быть последним игроком, который поместит фигуру пентамино на шахматная доска. Игроки по очереди выбирают фишку и кладут ее. на борту. Части не должны перекрывать друг друга или выходить за пределы граница доски, но они не обязательно должны быть смежными.В игра будет длиться не менее пяти, а не более двенадцати ходов и имеет больше дебютных ходов, чем шахматы. Жестяная банка вы демонстрируете игру, которая длится всего пять ходов? (при условии, что оба игрока конечно стараются изо всех сил.)

Шахматные доски

Показанные фигуры известны как шахматные доски пентамино и построены двухмерно (плоско лежащие части). Обратите внимание, что одна из них образует символ Инь Ян, когда вы складываете две равные половинки вместе. Вот ты можете составить свою собственную головоломку, выбрав любые четыре квадрата на шахматной доске, чтобы оставьте поле пустым.

Проблема с 13 отверстиями

Это еще одна интересная задача с 12 пентамино. В предыдущих задачах мы подходим пентамино в область, избегая дырок. Теперь мы стараемся проделать как можно больше дырок. Два отверстия не должны соприкасаться друг друга по периметру. Кроме того, каждое отверстие должно быть окружено восемью квадратами. Доказано, что количество отверстий не может быть больше или равно 14. На 13 лунок всего 2 решения. Вот одно решение.

Ферма Пентамино

Следующее отличается от предыдущей проблемы мозаики. Мы пытаемся образовать забор из 12 пентамино, охватывающих пустое поле . Пентамино вдоль забора должны быть соединены по бокам. Всего четыре формы, в каждой из которых мы постарайтесь максимально увеличить площадь поля.

Сформировать прямоугольный забор вокруг прямоугольного поля.
Сформировать прямоугольный забор вокруг поля любой формы.
Формировать забор любой формы вокруг прямоугольного поля.
Формировать забор любой формы вокруг поля любой формы

Решение проблемы 1 представлено ниже.Доказано максимум.

Трехмерные пазлы

Сделав набор пентамино из кубиков вместо квадратов, вы можете попробуйте решить еще много головоломок. (Деревянные кубики продаются в большинстве ремесленных магазинов, но старайтесь, чтобы они были одинакового размера.) Первая загадка с эти твердые пентамино должны быть помещены в коробку 3х4х5. Десять из двенадцати пентамино можно смоделировать трехмерно со всеми двенадцатью частями.Построить фигуры пентамино в масштабе 2/1, но на этот раз добавлено новое измерение — они должны быть три этажа! Эта техника чертовски сложна, так как пентамино можно использовать любым способом. это работает. Имейте в виду, что есть два пентамино, которые нельзя построить таким образом — буквы W и X.

Некоторые места в Интернете, где можно найти дополнительную информацию:

«Привет, Полимино» http://home.ust.hk/~philipl/omino/omino.html
«Свалка геометрии, страница полимино» http: // www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/polyomino.html

Совместимость с пентамино

Введение

Пентамино — это фигура, состоящая из пяти квадратов, соединенных от края до края. Таких фигур 12, не различающих отражений и вращений. Впервые их перечислил и изучил Соломон Голомб.

Проблема совместимости заключается в том, чтобы найти фигуру, которую можно выложить плиткой из набора полиформ. Совместимость полиомино широко изучается с 1992 г., когда Пабло Колл первым поставил и изучил проблему для пентамино.Два известных сайта: Poly ² омино Хорхе Мирелеса и Полиполимино от Джованни Реста, представьте результаты систематических поисков их авторов. для показателей совместимости. На сайте Мирелеса есть решения других исследователей, особенно Майка Рейда. Насколько мне известно, совместимость полимино в печати не рассматривалась. поскольку Голомб впервые поднял этот вопрос в 1981 году, кроме выпуска 3 Родольфо Марсело Курчана журнал Puzzle Fun (1995) и в серии статей под названием Теория чисел Полимино, написано Андрисом Цибулисом, Энди Лю, Бобом Уэйнрайтом, Улдис Барбанс и Гилберт Ли с 2002 по 2005 год.

Веб-сайты и статьи демонстрируют множество вариантов совместимости с полимино. Они не показывают все текущие результаты. Я делаю это ниже только для совместимости с пентамино-пентамино. Я не готов вести текущий каталог результатов для другие виды пар полимино или для более крупных наборов, таких как тройки пентамино, которые есть у Ливио Зукки собраны здесь.

Я также показываю варианты без отверстий. Насколько я знаю, они были описаны ранее только в Puzzle Fun .

Цифры совместимости с нечетным количеством плиток см. Ливио Зукка Пентамино нечетные пары. Для совместимости с Galvagni (самосовместимость) см. Фигурки Гальваньи и Фигурки Рида для пентамино.

Базовые решения

Тонкие решения

Гибридные решения

Варианты без отверстий

Стол

В этой таблице показано наименьшее количество плиток, которых может хватить. построить фигуру, которую можно разложить на оба пентамино. Имена, используемые для пентамино: Оригинальные имена Голомба.

	F	I	L	N	P	T	U	V	W	X	Y	Z		2	2	2	2	4	4	2	2	2	2
I	10	*	2	2	2	2	2	2	2
I	10	*	2	2	4	12	4	10	×	2	20
L	2	2	*	4	2	2	2	2	2	2	2	44	2	2
N	2	2	4	*	2	2	2	2	2 9 0040	16	2	2
P	2	2	2	2	*	2	2	2	2	4	2	2	4	2
T	2	4	2	2	2	*	4	2	14	4	2	2
U 900	12	2	2	2	4	*	2	2	×	2	4
V	4	4	2	2		2	2	2	*	6	×	2	4
W	2	10	2	2	2	14	2	6	*	?	2	4
X	2	×	44	16	4	4	×	×	?	*	2	?
Y	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	*	2
Z 900	20	2	2	2	2	4	4	4	?	2	*

Решения

Насколько мне известно, эти решения минимальны.Они не обязательно однозначно минимальны.

2 плитки

4 плитки

6 плиток

10 плиток

12 плиток

14 плиток

16 плиток

20 плиток

44 плитки

Самая тонкая фигура совместимости для пары пентамино не всегда то с самой маленькой площадью. Вот самые тонкие из известных решений для пар пентамино.

Ширина 2

Ширина 3

Ширина 4

Ширина 5

Ширина 6

Ширина 7

Ширина 8

Ширина 9

Ширина 12

Ширина 20

X пентамино несовместимо ни с одним из пентамино. I, U, V, W и Z. Однако он совместим с некоторыми их смесями:

Есть ли другие гибридные решения?

Стол

Зеленые фигуры представляют мозаики без отверстий, которые минимальный даже без условия отсутствия отверстий.

	F	I	L	N	P	T	U	V	W	X	Y	Z		2	2	2	2	4	6	2	2	2	2
I	10	*	2	2	2	2	2	2	32	?	10	10	×	2	?
L	2	2	*	4	2	2	2	2	2	×	2	2
N 2 900	2	4	*	2	2	2	2	2	16	2	2
P	2	2	2	2	2	*	2	2	2	2	4	2	2
T	2	32	2	2	2	*	2	2	*	2	16	4	2	30
U	4	?	2	2	2	?	*	?	2	×	2	?
В	6	10	2	2	2	2	?	*	6	×	2	4
W	2	10	2	2	2	16	2	6	*	* 900	2	10
X	2	×	×	16	4	4	×	×	?	*	2	?
Y	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	*	2
Z 900	?	2	2	2	30	?	4	10	?	2	*

Решения

Я опускаю решения, аналогичные описанным выше в разделе «Основные решения».Насколько мне известно, следующие решения минимальны. Они не обязательно однозначно минимальны.

6 плиток

10 плиток

16 плиток

30 плиток

32 плитки

Последнее обновление 06.08.2020.

Вернуться к попарной совместимости < Совместимость с полиформом < Polyform Curiosities

Полковник Джордж Сичерман [ ДОМ | ПОЧТА ]

Пентамино с числами

Пентамино с числами
Aad van de Wetering из Нидерландов.

Следуя «Пазлу Судоку» от Питера Джукена, Аад сделал следующую головоломку.

Разместите кусочки так, чтобы каждый ряд, каждый столбец и диагонали содержат цифры с 1 по 8.
Вы должны заполнить серые ячейки вручную.
Остальные 60 ячеек займут пентамино.
Цифры не обязательно должны быть вертикальными, их можно переворачивать.
Соседи по диагонали (2 точки рядом друг с другом по диагонали). направление) никогда не содержат одно и то же число
Вы получите одно число ‘3’

Джордж Сичерман: «Это мозг, маленький серые клетки, на которые нужно положиться »- Эркюль Пуаро, знаменитый бельгиец

Здесь PDF-файл головоломки.

Хотите подсказку?

Хороший решатели обретают вечную славу
Пишите на: о[email protected]

Имя	Страна	Компьютер	Подсказка
Аад ван де Ветеринг (В создатель)	Нидерланды	х	–
Odette De Meulemeester	Бельгия	–	–
Питер Юкен	Нидерланды	х	–
Лизан Сандерс	Нидерланды	х	–
Мартин Фридеман	Нидерланды	х	–
Aad Thoen	Нидерланды	–	х
Гельмут Постл	Австрия	–	–
Нико Лоойе	Нидерланды	х	–

Вы хотите знать, как Гельмут решил проблему?
Нажмите здесь
Нравится ли вам судоку?
смотреть на http: // www.pentomino.classy.be/sudoku.html
а также http://www.pentomino.classy.be/pipuzzel.html

Лизан Сандерс составила следующую загадку.

Разместите части так, чтобы каждая строка и каждый столбец содержали цифры с 1 по 7.
Вы должны заполнить серые ячейки вручную.
В остальные ячейки вы кладете тромино и тетромино.
Цифры не обязательно должны быть вертикальными, их можно переворачивать.
Вы получите одно число 2

Здесь PDF-файл головоломки.

Хотите подсказку?

Мы используем FlatPoly для решения

Хороший решатели обретают вечную славу
Пишите на: [email protected]

Название	Деревенский	Компьютер	Подсказка
Лизан Сандерс (В создатель)	Нидерланды	х	–
Мартин Фридеман	Нидерланды	х	–
Odette De Meulemeester	Бельгия	х	х
Аад ван де Ветеринг	Нидерланды	х	–
Питер Юкен	Нидерланды	х	–
Нико Лоойе	Нидерланды	х	–

Лизан Сандерс составила вторую головоломку.

А стандартная судоку с 3×3 коробки и диагонали.
Заполните это домино, тромино, тетромино, пентамино, гексомино и гептомино, по 3 штуки.
Цифры не обязательно должны быть вертикальными, их можно переворачивать.
Вы получите одно число «3»

Хороший решатели обретают вечную славу
Пишите на: [email protected]

Имя	Деревенский	Компьютер	Подсказка
Лизан Сандерс (В создатель)	Нидерланды	х	–
Мартин Фридеман	Нидерланды	х	–
Аад ван де Ветеринг	Нидерланды	х	–
Питер Юкен	Нидерланды	х	–
Нико Лоойе	Нидерланды	х	–

Мартин Фридеман: «Лизан Сандерс heeft wat moois uit de hoge hoed» Getoverd.»

Полимино
Полимино
Полионмино — это название, данное плоским фигурам, созданным группами квадратов. касаясь их краями. Полимино обычно называют группами, разделяя характерное количество сторон без учета поворотов и отражений.Например, мономино — это тривиальная группа, состоящая из одного квадрата. Почти все знакомы с форма домино, прямоугольник, состоящий из двух расположенных бок о бок квадратов. Тромино немного более интересны: в этой группе есть два члена, называемых «прямыми» тромино »и« прямое (угловое) тромино ».
Полимино, состоящее из четырех квадратов, называется тетромино, а их пять. из этих. Популярная аркадная игра-головоломка «Тетрис» предлагает игрокам соединить эти полимино, оставляя как можно меньше дырок.

Полимино с пятью квадратами называют пентамино. Двенадцать различных пентамино существовать. Для удобства каждую из них можно представить как букву алфавита и, следовательно, дается «буквенное имя».
Интересная математическая задача задается набором из n квадратов, сколько n-омино здесь? Обозначим это число через P (n). По состоянию на 1994 г. P (n) рассчитывалась для значения от n до n = 24; Д. Х. Редельмайер вычислили, что P (24) = 654 999 700 403.Считается (хотя и не доказано), что P (n + 1) / P (n) будет продолжать увеличиваться с увеличением n.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P (n) 1 1 2 5 12 35 108 369 1285 4655 17073 63600
Ряд интересных задач касается покрытия всех квадратов квадрата 8 на 8. шахматная доска.Очевидно, что для мономино и домино это возможно. Менее очевидно можно ли закрыть шахматную доску с удаленными противоположными углами домино. Это ложность доказана «проверкой на четность»: квадраты на шахматной доске окрашены, как в На диаграмме отмечается, что каждое домино покроет один светлый и один темный квадрат. С количество темных и светлых квадратов неравное, на эту доску нельзя положить домино. Аналогичный тест на четность можно использовать, чтобы показать, что правильные тримино могут покрывать шахматную доску. с удалением одного квадрата, при условии, что это один из квадратов, отмеченных знаком «X» в диаграмма.Шахматная доска (без снятых квадратов) может быть закрыта любым из тетромино. кроме перекоса. Дополнительно можно закрыть шахматную доску одним из каждое из двенадцати пентамино плюс квадратное тетромино.
Пентамино, кажется, поддается наибольшему количеству интригующих головоломки, вероятно, потому, что количество пентамино достаточно мало, чтобы с ними было легко справиться Достаточно большие, чтобы их можно было комбинировать и располагать множеством способов.
Нажмите здесь, чтобы увидеть большой набор пентамино которые можно распечатать и вырезать.
Простой набор головоломок с пентамино состоит из их использования для формирования прямоугольники размером 3 на 20, 4 на 15, 5 на 12 и 6 на 10.
Еще один набор головоломок пентамино находится в тройке. Проблема: из пентомино используйте девять других различных пентамино, чтобы построить масштабную модель. в три раза длиннее и шире данного пентамино. Пример троекратного X пентамино показан справа.

Слева находятся 35 гексомино.

А вот краткий обзор высших полимино:
Во-первых, вот все гептомино, упакованные в прямоугольник с тремя симметричными отверстиями.
А вот и все октамино, упакованные в прямоугольник. Отверстия в набивке неизбежно, потому что шесть октимино содержат недостижимую квадратную единицу.
Я хочу разместить картинку 9-омино в прямоугольнике. Если такая конструкция или изображение существует (или не существует), пришлите мне электронное письмо … вам будет зачислено! Спасибо!
ГАЛЕРЕЯ
ДЕРЕВЯННАЯ МОЗАИКА PENTOMINO
(отрывок из Гюнтера Альбрехта-Бюлера: «Мастерская Пентамино» (немецкий) Фишер Ташенбух Верлаг, Франкфурт (1992))
Речь идет о пентамино.Если вы еще не встречались с ними, это плоские формы, образованные из пяти (гр. pente = пять) единичных квадратов. Квадраты должны касаться друг друга по краю, а не только по углу. Например, показанная форма на рис. 1а — пентамино, а на рис. 1б — нет.
(рисунок 1)
(Обратите внимание, что в данной статье рассматривается только расположение пентамино в плоскости. Однако пентамино также может приобретать трехмерный вид, если сделать каждую из плоских форм толщиной 1 единицу.Мои мозаики из дерева пентамино показывают множество трехмерных форм в перспективе, которые созданы из пентамино. О некоторых других конкретных и интригующих трехмерных задачах о пентамино см. Также «Пентамино-проблема Арлета Оттенса»).
Помимо пентамино есть еще так называемые «пентакубы». Это 29 истинно трехмерных фигур, образованных из 5 кубиков, которые касаются друг друга хотя бы одной стороной. (Ссылки см .: Мартин Гарднер, «Узловатые пончики», W.H. Freeman & Co, Нью-Йорк [1986], глава 3 и след.).

Не считая зеркальных отражений пентамино или форм, получаемых в результате поворота одного на 90 градусов, существует ровно 12 различных форм. Их часто называют заглавной буквой алфавита, на который они больше всего похожи.
(рисунок 2)
Если вы посчитаете отражения и вращения, то есть 63 формы: 8 возможностей вращения и отражения для асимметричных пентамино F, L, N, P и Y; 4 возможности для зеркальных или точечно-симметричных пентамино T, U, V, W и Z; 2 варианта для I и 1 для полностью симметричного X.
Пентамино — детище 22-летнего аспиранта математического факультета Гарварда Соломона В. Голомба (ну … возможно, не совсем так. См. ПЕНТОМИНО Рашми Бхат и Одри Флетчер). В 1954 году он изучил общие формы, которые можно образовать из N единичных квадратов. Если N = 1, есть только одна фигура, а именно мономино. Аналогично, при N = 2 существует только домино. Объединение 3 квадратов дает 2 триомино. N = 4 дает 5 тетромино. При N = 5 получаем 12 пентамино.Есть 35 гексомино и так далее. (Существует программа Амброса Марцетты для вычисления различных полимино ранга N).
Похоже, Соломон Голомб прекрасно понимал потенциал своих «полимино», как он их называл, и представил их американским любителям головоломок в Гарвардском математическом клубе. Тем не менее, никаких серьезных «движений» не последовало, пока Мартин Гарднер, великая математическая головоломка из SCIENTIFIC AMERICAN, не узнал о пентамино и не рассказал о них своим читателям.Вскоре во всем мире люди начали вырезать фигуры из бумаги и играть с этими кусочками совершенно новой головоломки. Небольшое количество одиночных мономино и домино, 2 триомино и 5 тетромино оказались несколько скучными, потому что их возможности казались быстро исчерпанными. 35 гексомино и 108 гептомино были слишком многочисленны и слишком разнообразны, чтобы решение задач полимино могло быть элегантным. Однако 12 пентамино были достаточно сложными, чтобы ставить соблазнительные проблемы, в то время как их небольшое количество из двенадцати допускало математически элегантные и графически приятные решения.
«Движение» вызвало большой ажиотаж. В 1965 году вышла книга Соломона В. Голомба «Полимино» («Сыновья Чарльза Скрибнера», Нью-Йорк, 1959). Мартин Гарднер включил несколько глав о пентамино в свои книги, такие как «Математические головоломки и диверсии» (Саймон и Шустер, Нью-Йорк, 1959). Большинство людей выздоровели вскоре после этого, другие, включая меня, никогда не теряли своей зависимости.
Пентамино — это не только части специальной головоломки, но и алфавит для составления логически законченных текстов, которые могут выражать амбивалентность, парадокс и бесконечность.В отличие от всех других литературных, музыкальных или графических алфавитов, алфавит пентамино завершен: это единственные и все вариации на тему пяти квадратов. В них есть полная внутренняя логика. Действительно, они возникают друг из друга, перемещая один из пяти квадратов в другое место в бесконечном круге.
(рисунок 3).
Они выражают бесконечность. Каждое пентамино может состоять из девяти различных пентамино, состоящих из квадратов в три раза меньшего размера.Каждое из меньших пентамино может состоять из девяти даже меньших. И так далее: Бесконечный регресс, возникают фракталы.
(рисунок 4).
Они выражают простоту. Двенадцать пентамино можно расположить так, чтобы они заполняли более простые формы, а именно прямоугольники площадью 5 x 12 = 60 единичных квадратов. Например, прямоугольники со сторонами (6 x 10), (5 x 12), (4 x 15), (3 x 20) могут состоять из двенадцати основных форм.
(рисунок 5).
Они порождают двусмысленность. Существует не только один способ сформировать прямоугольники из 12 пентамино. Среди триллионов возможностей расположить двенадцать пентамино в прямоугольнике 6×10 существует более 2000 «решений», которые точно заполняют прямоугольник. Согласно книге Артура Кларка «Имперская Земля», существует 2339 решений. Недавно я написал компьютерную программу, чтобы убедиться в правильности числа. (Вы можете загрузить копию и запустить ее в DOS вместе с полным списком решений 6×10).Каждое решение имеет свои завораживающие особенности, симметрию и другие эстетические качества. После нескольких дней тщетных попыток найти решение новичок в пентамино может не поверить, что оно существует. Чтобы быть немного более точным, шансы найти случайно решение задачи, чтобы заполнить прямоугольник 6×10 12 пентамино, очень и очень мала, потому что существует более 2000 решений и N = 12! X8 ⁵ x4 ⁵ x2 = 3×10 ¹⁶ способы разместить 12 пентамино в их различных ориентациях внутри прямоугольника.
Они выражают дополнительные противоположности. Из 12 пентамино можно образовать символ Инь-Ян.
(рисунок 6).
Кроме того, по-эшериански можно превратить промежуток между 6 пентамино в остальные 6 пентамиино. На рисунке показан пример, где пространство между F и X становится W.
(рисунок 7).
Эти и многие другие удивительные качества пентамино делают их кандидатами на художественное выражение.Действительно, в оригинальной версии фильма «Космическая одиссея 2001 года» Артур Кларк, сам увлекающийся пентамино, заставил компьютер HAL играть в игры с пентамино против астронавта Боумена. Позже, в своей «Имперской Земле» Артур Кларк посвятил главу пентамино. Так они вошли в литературный мир.
Настоящая коллекция деревянных мозаик пытается приблизить их к изобразительному искусству. Пентамино, вырезанные из различных слоев фанеры, основаны на единичных квадратах со стороной 1 дюйм, потому что длина в 1 дюйм или целые кратные или дробные части, кажется, особенно хорошо согласуются с нашим чувством пропорций.Фигуры были расположены на «единичной сетке» со сторонами 32 и 48 дюймов, что близко к знаменитому «золотому сечению» 2 / (SQRT (5) -1)), которое играет важную роль в визуальной композиции. Каждая из мозаик представляет собой вариации на определенную тему и решения конкретной проблемы с пентамино в геометрических ограничениях единичной сетки. Упорядоченная, но живая текстура деревянного шпона была выбрана для поверхности пентамино, потому что она предлагала выражение математической точности, уменьшая безличную холодность чрезмерно умственной графики.Ограниченная цветовая гамма дерева была призвана привлечь внимание зрителя к важности форм, не ослепляя глаз цветами.
Трудно исчерпать возможности изготовления таких панелей ни в вашей, ни в моей жизни. Каждая панель имеет 32×48 = 1536 квадратов, что позволяет разместить 1536/5 = 307 фигур пентамино. В среднем у каждого 63/12 = 5 разных ориентаций. Следовательно, есть (12×5) ³⁰⁷ возможностей, что составляет примерно 10 ⁵³³, не считая того, что каждая из форм может быть вырезана из огромного количества шпона разного цвета.Учитывая, что работа над каждой панелью занимает месяц и что вселенная примерно 10 ¹¹ месяц, нам еще предстоит пройти немало возрастов Вселенной, прежде чем мы исчерпаем возможности составлять мозаику из дерева пентамино.
Когда вы смотрите на абстрактные узоры вокруг вас на перегородках художественной галереи Фермилаб, на ум могут прийти два основных вопроса:
1. Что они означают?
и
2.Теперь, когда мы знаем, что Альбрехт-Бюлер может создавать абстрактные картинки, может ли он рисовать и лошадь?
Что касается первого вопроса об их значении, они предназначены как упражнения по различным способам составления паттернов пентамино.
Что касается второго вопроса, то нет, я не умею рисовать лошадь. Мои дети намного талантливее, и поэтому в нашей семье они занимаются рисованием лошадей. Почему тогда я осмелился показать вам эти панели?
Я задавал себе этот вопрос довольно часто.Фактически, я работал в полной секретности, слишком смущенный отсутствием у меня графического мастерства, чтобы показывать результаты кому-либо. Однако совсем недавно я обнаружил ответ на свою проблему: я не визуальный художник!
Очевидно, многие люди могли мне это сказать. Фактически, в течение многих лет я скрывал свою деятельность, опасаясь, что они это сделают. Однако на этот раз я понял, что никто не просит писателя или композитора рисовать лошадей в качестве доказательства квалификации. Как я уже указывал ранее, пентамино — это алфавит, и я размещаю их на сетке единиц, как композитор или писатель.Почему я должен уметь рисовать лошадей?
Разобравшись с этим, позвольте мне еще раз поблагодарить вас и выразить искреннюю надежду, что вы все станете наркоманами пентамино.
(Посетите также страницу Ашиша Махабала.)
ГАЛЕРЕЯ
Пентамино-пазл-книга | Макраффи Пресс
Дом → Книга-головоломка Пентамино
Пентамино — это наборы из 12 фигур, основанные на расположении 5-ти дюймовых квадратов.
Головоломки Пентамино развивают логику и навыки рассуждений, а также повышают пространственное восприятие.
Головоломки в этой книге различаются по сложности. Более легкие головоломки — впереди.
Страницы с 1 по 20 являются начальными головоломками. Пазлы показаны в натуральную величину с внутренними линиями. Один из вариантов увеличения сложности — попросить учащихся смотреть на страницу, но не строить головоломку прямо поверх этого листа.Вместо этого учащиеся использовали бы либо без коврика, либо сетку на странице 85. То же самое можно сделать с любой из головоломок в этой книге.
Страницы 21–27 представляют собой головоломки с животными, на которых не показаны внутренние линии.
На страницах 22 и 24 показаны внутренние линии головоломок с животными на предыдущих страницах.
На страницах 28–41 показаны группы элементов, которые решают головоломки.Сюда входят несколько разных групп частей, которые можно использовать для решения головоломок разными способами.
На страницах с 30 по 41 также показан фрагмент подсказки (серый) и его расположение в головоломке.
Страницы с 42 по 47 — это загадки пути. Загадка на этой странице называется Путь десятков. Линии проводятся вокруг каждых двух частей. Таким образом, разделительная линия между этими двумя частями не показана.
Найдите части пенотомино, которые подошли бы вместе, чтобы составить головоломку. Не закрывайте серые области головоломки.
Страницы с 48 по 54 называются «Безумными окнами». Ответы на каждую из этих головоломок показаны в уменьшенном размере. Не закрывайте серые области головоломки.
На страницах с 55 по 57 показаны головоломки в уменьшенном размере.Попросите учащегося создать эти головоломки на своем рабочем столе.
Page 57 также отсутствуют некоторые внутренние линии для увеличения сложности (не показаны в Интернете).
Страницы с 58 по 61 называются пентолинскими пазлами. Расположение частей показано с помощью «фигурок» для головоломок.
Представьте, какая фигура пентамино представлена фигуркой
.Представьте, что эта линия является центральной линией фигурки пентамино
.
Эта фигура пентамино точно соответствует фигурке, показанной выше.
Поместите кусок пентамино поверх фигурки
на пазле.
страниц с 62 по 79 называются головоломками Windows.Серые квадраты или прямоугольники в головоломках не закрываются. Это дыры или «окна» в головоломках. Эти головоломки сложнее, потому что в них нет внутренних линий. Не все фигуры пентамино используются.
Страницы с 80 по 82 — это ответы на головоломки Windows. Их также можно использовать, как страницы с 55 по 57. Учащиеся могут собирать головоломки без использования циновки. Ответы могут быть предоставлены младшим школьникам, работающим с головоломками Windows.
Page 83 представляет собой прямоугольник, в котором используются все двенадцать фигур пентамино.
Page 84 дает три возможных ответа. Может быть и больше.
Page 85 — это пустая сетка. Это воспроизводимо. Его можно использовать для работы над другими головоломками. Студенты также могут создавать свои собственные головоломки на пустой сетке. Затем они могут обвести контуры частей, чтобы сделать бумажную копию своей головоломки.
Мы знали подростка по имени Джошуа, который использовал секундомер, чтобы определить, сколько времени ему потребовалось, чтобы разгадать загадку.Затем он передал его и бросил вызов своему отцу Майклу, чтобы он выиграл время!
ПЕНТОМИНО
ПЕНТОМИНО
Автор: Рашми Бхат и Одри Флетчер
20 ноября 1995 г.
Пентамино, как говорят, были «изобретены» Соломоном В. Голомбом в 1953 году. во время выступления в Гарвардском математическом клубе. Хотя он придумал название, пентамино появились гораздо раньше.Первое пентамино задача, написанная великим английским изобретателем головоломок Генри Эрнестом Дудени, был опубликован в 1907 году в «Кентерберийских головоломках». Наблюдение, что там двенадцать отличительных узоров, которые могут быть образованы пятью соединенными камнями на доска для игры в го (древняя китайская игра, которая позже распространилась на Японию, играют, помещая черный и белый камень маркеры на доске) приписывается древнему мастеру этой игры. Также, под заголовком «Проблемы рассечения» обширная литература по этому вопросу. появился в 1930-х и 1940-х годах в Fairy Chess Review, британской головоломке. журнал.Тем не менее, через год после доставки Соломон Голомб Гарвардский доклад был опубликован в American Mathematical Monthly; перепечатка части этого материала в майском выпуске журнала Scientific American за 1957 г. пентамино вниманию широкой читающей публики.
Фигуры, состоящие из пяти квадратных блоков, соединенных как минимум одним общим стороны называются пентамино. В наборе уникальных пентамино, названные T, U, V, W, X, Y, Z, F, I, L, P и N соответственно.В качестве мнемонический прием, нужно только запомнить конец алфавита (TUVWXYZ) и слово ФИЛИПиНо. Чтобы сделать набор уникальных пентамино, есть это только два правила, которые необходимо соблюдать. Во-первых, если можно повернуть одну фигуру чтобы выглядеть как другой, две формы не считаются разными. Во-вторых, если одну фигуру можно перевернуть, чтобы она выглядела как другая, две фигуры не считаются отличными. Поскольку существует двенадцать различных формы пентамино, каждая из которых покрывает пять квадратов, их общая площадь составляет шестьдесят квадратов.
Есть несколько способов разместить все двенадцать разных пентамино на столе. Доска 8 x 8, на которой всегда остаются четыре квадрата. Художественно уточняя положения четырех дополнительных квадратов, можно много интересных узоров созданный. Другая очевидная возможность — потребовать, чтобы четыре дополнительных квадраты образуют область 2 x 2 (квадратное тетромино) в указанном положении на доска. Такое размещение приводит к замечательной теореме, которую можно доказать. используя всего три конструкции: Где бы на шахматной доске квадрат ставится тетромино, остальную часть доски можно накрыть двенадцатью пентамино.
Другая проблема — определить наименьшее количество пентамино, которые накроют шахматную доску. Другими словами, некоторые из пентамино размещаются на доске таким образом, что ни одно из остальных не может быть добавлено. Хотя есть несколько различных конфигураций для решения этой головоломки, минимальный номер пять пентамино. Другие шаблоны включают формирование конфигураций 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15 и 3 x 20 прямоугольников с использованием всех двенадцати пентамино.3 x 20 — самый сложно вывести, и есть только одно уникальное решение, кроме возможности вращения заштрихованная центральная часть на 180 градусов.
Р. М. Робинсон, профессор математики Калифорнийского университета в Беркли, предложил еще одну интригующую конструкцию с пентамино, которую он называет «проблема троекратности». Учитывая пентамино, используйте девять других пентамино, чтобы построить масштабная модель в три раза выше и в три раза шире данного произведения.Возможны конструкции всех двенадцати пентамино.
Мало того, что пентамино пользуются большой популярностью среди любителей математических развлечений, они также служат увлекательным «дополнительным» материалом в школьных программах по математике. Там как минимум пять веских причин использовать пентамино в классе. Пентамино воспитывать безразличное отношение к математике и естественным наукам, поощрять атмосферу сотрудничество, поддержка развития процесса решения проблем, обеспечение навыков пространственной способности упражнения и познакомят студентов с элементарной теорией чисел.
В ходе различных исследований было обнаружено, что студенты с тревогой по поводу математика и естественные науки показывают менее высокие результаты в тестах на успеваемость по математике и естественным наукам. Неформальная геометрия, укоренившаяся в открытии пентамино, — отличный неугрожающий деятельность, которую нужно предоставить студентам. Пентамино также можно использовать для исследования концепции конгруэнтности, сходства, трансформации (переворачивания, повороты и слайды), мозаики (наклон), периметр, площадь и объем в непринужденной обстановке.
Ценность сотрудничества можно также продемонстрировать с помощью пентамино. Процесс совместной работы в небольших группах над задачами пентамино способствует развитию желания. среди студентов, чтобы они могли участвовать в более формальной совместной учебной деятельности в будущее.
Действия Pentomino представляют собой передовой опыт с использованием четырехэтапного решения проблем. процесс, который включает в себя понимание проблемы, разработку плана, выполнение плана и проверка работы.
Умение представлять, преобразовывать, генерировать и вспоминать символические, нелингвистические информация называется пространственной способностью. Умственное вращение, один тип пространственной способности, требует от учащихся быстро и точно вращать двух- или трехмерную фигуру. Другой тип пространственной способности, пространственная визуализация, требует от учащихся продемонстрировать способность, которая включает сложные, многоэтапные манипуляции с пространственно представленной информацией.Было обнаружено, что навыки пространственной способности коррелируют с достижениями в математике и естественных науках, а конечная цель практики пространственных способностей — научить учащихся мысленно манипулировать фигурами.
Можно задать провокационные вопросы о семействе -омино. Уникальный набор биомино (фигуры, состоящие из двух квадратов, соединенных по крайней мере одной общей стороной) могут легко быть обнаруженным; есть только одно уникальное биомино. Уникальный набор триомино (фигур состоящий из трех квадратов, соединенных хотя бы одной общей стороной) можно быстро нашел; есть только два триомино.Определение уникального набора квадомино (или тетромино) (фигуры, состоящие из четырех квадратов, соединенных по крайней мере одной стороной) также довольно просто; есть пять квадомино. Тем не менее, открытие количества уникальных -ominoes — это действительно упражнение в анализе числовых паттернов. Хотя генерация числа уникальных -омино, от uni до hex (1-6), относительно просто, не следует вводить в заблуждение. Довольно часто начинающие теоретики чисел преждевременно приходят к выводу, что, поскольку шаблон верен для три или более случаев, это будет справедливо для бесконечного числа случаев; это не верно для семьи -омино.Несмотря на то, что компьютеры были запрограммированы на полубетонную генерацию формы -омино, в настоящее время компьютеры все еще не могут быть запрограммированы на символически предсказать количество уникальных -омино с помощью формулы. Мир математика с нетерпением ждет своего открытия.
Помимо своей загадочной интриги, размещение пентамино на шахматной доске также сделайте это увлекательной соревновательной игрой на ловкость. Играют один, два или три игрока. цель игры — быть последним игроком, который поместит фигуру пентамино на шахматную доску.Игроки по очереди выбирают фишку и кладут ее на доску. Части не должны перекрываться или простираются за границу доски, но они не обязательно должны быть смежными. Игра будет длиться от пяти до двенадцати ходов, никогда не может привести к ничьей, имеет больше открытия, чем шахматы, и очаруют игроков всех возрастов. Хотя посоветовать сложно Какой стратегии следует придерживаться, есть два ценных стратегических принципа. Сначала попробуйте двигайтесь так, чтобы оставалось место только для четного числа фигур.(Это относится только когда есть два игрока.) Во-вторых, если игрок не может проанализировать ситуацию, он должен что-то сделать, чтобы усложнить размещение, чтобы у следующего игрока было еще больше труднее анализировать это, чем он.
В заключение, пентамино предлагают интригующие головоломки, интересные узоры и увлекательные игры. Их также можно использовать в качестве эффективных средств обучения в классе. Занятия пентамино воспитывают безвредное отношение к математике и естественным наукам, способствуют развитию атмосфера сотрудничества, поддержка развития процесса решения проблем, предлагать упражнения на развитие пространственных способностей и знакомить студентов с элементарной теорией чисел.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P (n)	1	1	2	5	12	35	108	369	1285	4655	17073	63600

Пентамино — это… Что такое Пентамино?

Виды и количество фигур

Составление фигур из пентамино

Укладка прямоугольников

Укладка прямоугольников из односторонних пентамино

Укладка фигур с отверстиями

Задача об утроении фигур пентамино

Настольная игра

Варианты настольной игры

Пентамино с заранее выбранными фигурами

Другие варианты

Компьютерные игры

Примечания

См. также

Ссылки

На сколько видов пентамино может делиться фигура?

Видеоурок «Пентамино»

Головоломка «Пентамино» Авторы: Баженова Анастасия, Мансурова Надежда

Презентация на тему «Логическая игра Пентамино»

Материал для занятий кружка «Логическая математика» по теме «Пентамино»

Полимино

Домино

Тримино

Тетрамино

Пентамино

Проект «Пентамино» | Образовательная социальная сеть

Пентамино Страница

Модели в масштабе 3/1

Веселые фигурки (мозаика)

Игра в пентамино

Шахматные доски

Проблема с 13 отверстиями

Ферма Пентамино

Трехмерные пазлы

Некоторые места в Интернете, где можно найти дополнительную информацию:

Совместимость с пентамино

Введение

Стол

Решения

2 плитки

4 плитки

6 плиток

10 плиток

12 плиток

14 плиток

16 плиток

20 плиток

44 плитки

Ширина 2

Ширина 3

Ширина 4

Ширина 5

Ширина 6

Ширина 7

Ширина 8

Ширина 9

Ширина 12

Ширина 20

Стол

Решения

6 плиток

10 плиток

16 плиток

30 плиток

32 плитки

Пентамино с числами

Полимино

Слева находятся 35 гексомино.

Пентамино-пазл-книга | Макраффи Пресс

ПЕНТОМИНО

Автор: Рашми Бхат и Одри Флетчер

20 ноября 1995 г.

Добавить комментарий Отменить ответ