Песочные часы циркуль линейка: Часы песочные настольные ДЕВЕНТЕ Классик на 15 минут голубые (9023201) – купить за 500 ₽

Тимур Василенко

У нас есть много одинаковых песочных часов. Можно ли отмерить на них ровно половину времени?

Что мы можем делать с песочными часами? Три вещи:
1. Запустить их — т.е. песок начал сыпаться.
2. Дождаться конца — весь песок высыпался.
3. Остановить часы — положить их набок, они приостановлены.

Понятно, что мы мгновенно отмечаем окончание, мгновенно переворачиваем часы, причем без ограничения их количества — так мы можем размножить отмеренный интервал времени на сколько угодно часов-экземпляров.

Так вот, можно ли такими операциями отмерить ровно половину времени? Т.е. остановить один экземпляр часов, чтобы в колбах было поровну песка?

По прочтении комментов надо сделать некоторые пояснения к задаче:

1. Задача математическая, т.е. песок состоит из бесконечно малых песчинок — как отрезок из безразмерных точек. Так что посчитать количество песчинок и поделить его пополам, а потом отсчитать нужное количество упавших песчинок не получится.

2. Задача не физическая, т.е. нас интересует не приближенное, а точное решение. Приближенно решить задачу можно с любой точностью, это не проблема (хотя были предложены остроумные решения, типа оставить часы болтаться в невесомости долгое время — песок распределится равномерно, т.е. поровну).

3. Что значит «у нас есть много одинаковых часов»? Бесконечное количество? — Считаем, что это потенциальная бесконечность. Т.е. если нам нужны еще одни часы, то мы засовываем руку в шляпу волшебника и достаем их оттуда. Но по результату мы должны использовать конечное число часов и, кстати, конечное число манипуляций с часами — всех этих положить/перевернуть.

4. Формальности ради в условие нам надо уточнить возможности наших манипуляций с часами. Мы можем это делать в двух случаях:
а) В тот момент, когда произошло некое наблюдаемое нами событие — к примеру, на других часах высыпался весь песок. Собственно, только события такого рода мы и можем наблюдать.
б) Мы можем что-то сделать с часами в случайный момент. К примеру, мы можем остановить или перевернуть часы, когда высыпался не весь песок. Если подумать, то без этой операции «получить случайный момент» мы вообще не можем отмерить интервал, меньший единичного.

Эта задачка типа задач из школьной геометрии «построить циркулем и линейкой». Что мы могли делать этими инструментами? Линейкой могли провести прямую через две точки. Циркулем могли провести окружность с центром в данной точки и радиусом, заданным отрезком, т.е. парой точек. Больше ничего мы не могли сделать! Чем-то напоминает шахматные задачки: у фигур есть правила хода, есть ограничения на позиции на доске, и в рамках этих правил полагалось найти решение. Причем решение «точное», т.е. нельзя было надеяться, что «противник» зевнет ключевой ход, к примеру. И в построениях циркулем и линейкой, и в шахматных задачках можно использовать только конечное число «ходов» (ходов в шахматах и проведенных линий геометрии).

Кстати, и в построениях циркулем и линейкой необходима операция «взять случайную точку (на отрезке, на окружности и т.п.)», без нее невозможны некоторые элементарные вещи. К примеру, элементарная задачка: «

Во-первых, мы можем скопировать любой отмеренный интервал, получить любое количество его копий. Делается это так: пусть у нас есть остановленные часы и нам надо получить двое часов с таким же количеством песка в колбе. Для этого делаем следующее: одновременно ставим эти часы и двое часов с полной колбой, ждем, когда на первых часах высыпется весь песок и в этот момент останавливаем (кладем набок) вторые и третьи часы. Voilà — мы получили требуемое, во вторых и третьих часах сейчас ровно по столько песка, что было изначально в первых часах.

Во-вторых, мы можем складывать и вычитать время в часах. Сложение очевидно: ставим первые часы и третьи, с полной колбой. Как только песок в первых часах закончился, ставим вторые часы. По истечении вторых часов останавливаем третьи часы — в них будет отмерена сумма первых и вторых. Тут надо отдельно рассмотреть случай, когда эта сумма больше единицы (считаем, что все часы отмеряют единичное время, к примеру, одну минуту) — оставляю это читателям как упражнение.

Теперь становится очевидно, что эта задача эквивалентна следующей: «Дана прямая и на ней отрезок. Можно ли одним циркулем найти середину этого отрезка?» Хитрость тут в том, что плоскость нам не дана, можем считать, что прямая — это тонкая натянутая проволока. Циркулем мы можем взять некий отрезок на этой прямой и отложить его вправо ли влево от выбранной точки. Всё, больше ничего не можем делать! Так получится ли найти середину заданного отрезка?

Или другая геометрическая модель: у нас есть окружность и нам надо построить при помощи циркуля две диаметрально противоположные точки. Плоскости у нас по-прежнему нет, можем вообразить, что у нас есть проволочное кольцо и мы циркулем можем взять на нем некую дугу и отложить ее от выбранной точки. Эта модель — мы просто взяли прямую из предыдущего пункта и намотали на окружность единичной длины, так что концы отрезка прямой на окружности совпали.

И вот теперь до решения задачи, до доказательства невозможности требуемого построения, уже рукой подать. Теперь нам поможет уже не геометрия, а алгебраической, т.е. численное представление.
Первым шагом отмерим произвольный момент времени a, 0 < a < 1
Какие точки единичного отрезка мы можем построить, если больше не будем брать других случайных точек?
Это очевидно — все эти точки описываются формулой {Na}, где N — произвольное целое число, а {X} означает дробную часть числа X. Напомню на примерах: {21.57}=0.57, {10/3}=1/3, {-0.3}=0.7 (примеры приводил ради этого последнего случая, с отрицательными вечно путаются).

Итак, что значит, что мы можем построить середину отрезка, применив операцию взятия случайного числа только один раз? (Это частный случай исходной задачи, ее ужесточение) Это значит, что при некотором целом M будет выполнено равенство:

Понятно, что такое возможно только при рациональном a; если же оно иррационально, то такого равенства никогда не будет при целом ненулевом M.

Это мы рассмотрели частный случай задачи, когда операция получения случайного числа была применена один-единственный раз. А если применить ее несколько раз, как быть в этом случае?
Пусть мы применили ее k раз (не обязательно вначале), обозначим эти числа как a

Опять же удваиваем его и получаем в правой части 0. Соображения о невозможности такого основываются на соображениях мощности множеств, т.е. что ни для какого k не существует чисел a₁, a₂ … a_k-1, чтобы через их линейную комбинацию с рациональными коэффициентами можно было бы выразить любое a_k. (Те, кто учил математику хотя бы в объеме первого курса, меня поймут)

Собственно, что и требовалось доказать — построение невозможно. Точное построение. А приближенное — очень даже, причем оно очевидно:

Это называется алгоритмом Евклида, он обеспечивает достижение любой точности и с большой скоростью, но это уже слишком далеко ведет в сторону от изначально рассматриваемой задачи, так что на этом завершаю.

Надеюсь, я не допустил каких-то непростительных ошибок в своем решении.

Мне кажется, неразрешимость содержится уже в формулировке задачи. С одной стороны, отмеряемое время континуально, поскольку песчинок бесконечное множество. С другой стороны, нужно отметить момент середины. А что такое «момент»? Пока мы измеряем дискретное время, момент — это минимальная единица измерения, песчинка в данном случае. Но как только мы говорим, что у нас «идеальный песок», мы лишаем содержания понятие «момент». Возникает апория наподобие апории о стреле. Собственно, в прошлый раз кто-то упоминал корзину с бесконечным количеством яблок.

Не возникает же у нас проблемы поделить на плоскости отрезок пополам с помощью циркуля и линейки? Провести всего три линии!
Что такое середина отрезка? — Точка. Безразмерная. Такая точка отрезка, расстояние от которой до концов отрезка одинаковое. Апория о стреле говорит нам о том, что расстояние не складывается из точек, форма не равна просто множеству точек. Более того, нам скорее даны интуиции равенства форм, чем интуиции равенства огромных чисел или тем более бесконечных множеств.
Задача сродни классической задаче о трисекции угла, только сформулирована в несколько экзотическом антураже. И доказательства невозможности в обоих случаях используют один и тот же математический аппарат.

Думаю, апория нам говорит о том, что геометрия — это некая условность, она описывает физическую реальность с помощью аппарата, который не имеет аналогов в физической действительности (где-то Поппер об этом толково пишет). Такое несоответствие я вижу и в вашей задаче. Если речь о нахождении точки, равноудаленной от концов отрезка, то тут все чисто — все это идеальные понятия. Но совсем другое дело, когда это становится моделью времени, которое является частью физического мира.

Хм, физическое пространство до математического идеализировать получается, а проделать ту же операцию с временем — интуиции другие? Что не так? Ньютонова физика операцию идеализирования делает одинаково и с пространством, и с временем.

Я в данном случае говорю не об отличии времени от пространства, а об отличии геометрии от физики. На базе физики подобная задача разрешима. Неразрешима она становится тогда, когда мы вводим не имеющий физического аналога континуальный песок и требуем точного, а не приближенного решения, переводя задачу из физической плоскости в сферу сугубо идеальной геометрии.

В том-то и дело, что пространство (как и время), в истинном его понимании, не принадлежит множеству того, что попадает под определение физическое. Словосочетание «физическое пространство» почти оксюморон — это сродни графическому отображению отрезка, но не является отрезком в смысле математического объекта. Рисунок не есть математический объект. Карта не есть территория.
Вам уже третий человек говорит ровно то же самое, но все трое разными словами. ) Не обижайтесь, просто задумайтесь. И Кант, к слову, может Вам помочь в понимании. Напомню, всего 30 страниц. ))

————-
P.S. (редакция) Попытаюсь уточнить:
математика работает с тем, что является территорией;
физика, как любая естественная наука, эмпирическая, лишь с «картами» этой территории — это часто называют теоретическими конструктами (например, электрон есть такой теоретический конструкт, созданный именно для удобства).
Подменять в рассуждениях карту на территорию и/или обратно, что Вы и делаете, есть логическая ошибка.
Ваше условие задачи предполагает нечто, как идеальные объекты, с которыми Вы пытаетесь работать. Но исследовать нечто идеальное — математический объект попадает под идеальное, — Вы пытаетесь с помощью реальных объектов (часов, циркулей, линеек и прочих теоретических конструктах, выдумках человеческого сознания).

Как только Вы откажетесь от возможности провести аналогию с любыми материальным объектом;
как только Вы обратите внимание, что в какой-то момент вводите ограничения, то есть создаёте возможность измерения, создаёте возможность частей — «части предмета и всякую величину его можно представить определенными лишь путем ограничения» (Кант) — (создаёте, как говорит, sa_sha_s понятие «момент») и перестанете их вводить, то есть перестанете мешать в кучу измеряемое и бесконечное,
то тут же Ваши рассуждения станут корректными и логически непротиворечивыми,
но задача перестанет иметь смысл и решение.

Edited at 2016-10-11 06:27 am (UTC)

Мне кажется, вы не различаете в моих рассуждениях абстрактные модели и иллюстрации. Вот смотрите, есть такой геометрический факт: Во всяком треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков высот от вершины треугольника до точки пересечения высот, лежат на одной окружности, т.н. «окружности девяти точек». Я сформулировал теорему элементарной геометрии. В книге по элементарной геометрии она, скорее всего, будет сопровождаться чертежом — рисунком, на котором будет изображен не какой-то, а вполне конкретный треугольник, причем линии будут иметь толщину и т.д. Для доказательства теоремы чертеж не нужен — мы работаем с абстрактными объектами, в принципе неизобразимыми (как мы можем изобразить «произвольный треугольник», т. е. по сути все возможные треугольники?), но этот чертеж способствует пониманию доказательства человеком.

В геометрии «циркуля и линейки» это не физические предметы, а абстрактные, части матмодели. В начале у нас есть нечто, какие-то описанные в задаче математические фигуры на плоскости. Дальше мы можем строить новые фигуры — прямые и окружности, но не любые; к примеру, мы знаем, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. У нас даны эти три точки — но мы не можем сказать, что у нас _уже есть_ эта окружность! Она существует потенциально, но еще не построена. У нас есть «абстрактный циркуль», который позволяет провести окружность, если указан ее центр и указан ее радиус. «Указан» — задан уже построенными точками на плоскости. И окружность, проходящая через три точки, может появиться только тогда, когда мы построим ее центр.

В этой задаче рассматриваются абстрактные песочные часы, т.е. вначале осуществляется переход в матмодель, а дальше работаем только там. То, что вы принимаете за переход обратно к физической реальности, это только иллюстрации, для удобства понимания. Как чертежи в книгах по элементарной геометрии.

Чтобы не повторяться: абстрактная математическая модель этой задачи и абстракция «песочных часов» подробно обсуждается в этой ветке дискуссии: http://timur0.livejournal.com/302773.html?thread=1753013#t1753013

PS. Кстати, об «окружности девяти точек». Есть очень красивый геометрический факт: эта окружность касается вписанной в треугольник окружности и трех вневписанных. Этот факт носит имя «теоремы Фейербаха». Я уж думал, не тот ли самый Фейербах? Оказалось, нет, его старший брат, математик.

Спасибо за ответ и за указание ветки дискуссии, которую я не заметил ранее (или её ещё тогда не было?. . но не суть).
Пока что нахожусь на стороне v_pasko и его точки зрения — к тому же, очень хорошо пишет человек, в отличии от косноязычного меня. ))
Но я никогда не против сменить точку зрения, при наличии удовлетворяющих меня аргументов. Буду временами следить за развитием беседы и прений.
Летом случайно натолкнулся на Ваш ЖЖ, но вот как-то раньше не регистрировался тут. Спасибо, кстати, за рецензии на книги — кое-что прочёл с Вашей подачи.

Между прочим, уверяют, что геометрия, как наука, доступна пониманию и постижению слепым от рождения людям. Потому возникает вопрос касательно обязательности чертежей и рисунков в учебниках — нет, я понимаю, что так легче и, вроде как, доходчивей.

Володя — поэт, ему положено владеть словом.

У нас на курсе учился слепой, да и среди профессоров тоже слепые были. Не знаю уж, от рождения или как, но слепота с математикой совместима. Среди студентов даже ходила легенда о слепом математике, доказывающем невообразимые теоремы, причём слово «невообразимые» надо понимать буквально, потому как эти математические факты настолько необычны, что и непонятно, как до них можно додуматься; а у слепого от рождения внутренние интуиции математических объектов принципиально иные, так что в этих интуициях с нашей точки зрения невообразимые факты как раз могли оказаться вполне логичными, если не очевидными.
У меня есть друг скульптор, сейчас он практически полностью слеп. Наследственная болезнь, когда постепенно сужается поле зрения. У него очень интересные скульптуры, удивительное чувство формы. Их отличает то, что нет точки, из которой они лучше всего выглядят, их надо и хочется смотреть с разных сторон и под разными углами. Сам он считает, что скульптуру вообще надо смотреть руками. Не только его скульптуру — любую. Вот пример интуиций, не основанных на зрении. Почему бы такому бы не быть и в математике?

Цитата:
4. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ

Какой же урок извлек Кант из этих антиномий? Он пришёл к выводу 13, что наши идеи пространства и времени нельзя применять к универсуму в целом. Конечно, понятия пространства и времени можно применять к обыденным физическим вещам и событиям. Однако сами пространство и время не являются ни вещью, ни событием: их нельзя наблюдать, они неуловимы. Они представляют собой нечто похожее на рамку, в которую вставляются вещи и события, или на корзину, в которую укладываются наблюдения. Пространство и время не принадлежат реальному эмпирическому миру вещей и событий, это скорее часть нашего умственного багажа, инструмент понимания мира. Наблюдая некоторое событие, мы интуитивно помещаем его в пространственно-временные рамки. Пространственно-временная структура не опирается на опыт, напротив, она служит для формирования опыта.
————
Источник: КАРЛ ПОППЕР. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ОПРОВЕРЖЕНИЯ. РОСТ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ. ЧАСТЬ I. ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ. ГЛАВА 7. КАНТОВСКАЯ КРИТИКА И КОСМОЛОГИЯ
http://gtmarket.ru/laboratory/basis/4711/4719

(Deleted comment)

Нет, это восхищение.

Если уж пошла речь о замене песка и, как подозреваю, часов на нечто иное, то предложу свой вариант.
Предлагаю убрать из условия задачи любую терминологию, имеющую отношение к физическим объектам.

Ниже очень сырая версия формулировки задачи.
В распоряжении имеется множество с бесконечным кол-вом элементов. Сами элементы первоначально представляют собой совершенно одинаковые круги. С запуском Главного процесса, площадь всех кругов начинает равномерно уменьшаться, скорость уменьшения площади кругов есть константа и одинакова для всех. Наблюдатель имеет возможность по в отношении любого круга мгновенно остановить Главный процесс или запустить его вновь только и лишь в отношении конкретного круга или необходимой группы кругов. Один из кругов не участвовал в Главном процессе по воле Наблюдателя и маркирован, как «Образец».
ВОПРОС: Сможет ли Наблюдатель, с помощью некого алгоритма и не измеряя «Образец», получить круг ровно в двое меньший по площади, нежели этот самый «Образец»?